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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD \no 4}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$ s'écrit $\overrightarrow{DA}+4\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}$ donc $\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$ qui donne $5\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$\\
D'où $4\overrightarrow{AB}=-5\overrightarrow{DA}=5\overrightarrow{AD}$.\\
En multipliant par $\dfrac{1}{5}$, on a : $\dfrac{4}{5}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}}}$.
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\psline(0,0)(5,2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,0)(5,2)(4,1.6)
\uput[d](0,0){$A$}
\uput[d](5,2){$B$}
\uput[d](4,1.6){$D$}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $4\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ s'écrit \\$4\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BD}\right)+2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ donc \\$4\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+2\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$.\\
D'où ; $4\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{CD}$ et en divisant par 4 et en simplifiant : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}}}$.\\
On a $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$ avec $k=-\dfrac{1}{2}$.\\
Remarque : les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ont la même direction donc les droite $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

\item $\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$ s'écrit \\
$\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$ donc \\
$2\overrightarrow{CB}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ qui donne\\$2\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+DC=0$.\\
Alors on trouve $2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ qui donne \\
$\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}}}$.

\item $5\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CB}=7\overrightarrow{AD}-4\overrightarrow{AC}$ équivaut à \\
$5\overrightarrow{AB}-3\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)=7\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\right)-4\overrightarrow{AC}$\\
équivaut à $5\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{CA}-3\overrightarrow{AB}=7\overrightarrow{AC}+7\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AC}$ équivaut à $5\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=7\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{AC}+7\overrightarrow{CD}$\\
équivaut à $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AC}+7\overrightarrow{CD}$ d'où \\$2\overrightarrow{AB}=7\overrightarrow{CD}$ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}=\dfrac{7}{2}\overrightarrow{CD}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$ABCD$ est un rectangle ; $I$ est le milieu de $[AB]$.\\
$E$ tel que $\overrightarrow{IE}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}$ et $F$ est le symétrique de $E$ par rapport à $I$


\begin{enumerate}
\item Figure :
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(6,4)
\psframe(0,0)(5,3)
\uput[l](0,0){A}\uput[r](5,0){B}\uput[u](5,3){C}\uput[l](0,3){D}\uput[l](2.5,0){I}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](2.5,0)(1.67,-1)(3.33,1)
\uput[d](1.67,-1){E}\uput[ul](3.33,1){F}
\psline(1.67,-1)(5,3)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Voir figure pour $F$.\\
Par construction, $\overrightarrow{FI}=\overrightarrow{IE}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{FI}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}}}$.

\item $\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{FI}+\overrightarrow{IB}$ (relation de Chasles)\\
$=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}=-\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\
=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\
=-\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ \\
car $-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{-1+3}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{FB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}}}$

\item $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (car ABCD est un rectangle) donc $\overrightarrow{FB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

\newpage


\item On obtient alors : \\
$\overrightarrow{FB}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)\\
=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.\\
Conclusion : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{FB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{DB}}}$.

\item Les droites $(FB)$ et $(DB)$ ont donc la même direction et sont alors parallèles ; comme elles ont un point commun, elles sont \textbf{\textcolor{red}{confondues}} donc les points D, F et B sont \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $I$ est le milieu d'un segment $[AB]$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,1)
\psline(0,0)(3,0)
\psdots(0,0)(3,0)(1.5,0)
\uput[d](0,0){A}\uput[d](3,0){B}\uput[d](1.5,0){I}
\end{pspicture}
\end{center}
On a : $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

\item $M$ est un point quelconque :\\
$\left(\overrightarrow{MA}+M\overrightarrow{MB}\right)=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\\
=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}$ puisque, d'après a), $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.\\
Donc, en divisant par 2 :  \\
\[\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)}}.\]
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item D'après la question 1; (b), pour tout point $M$, $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC'}$, donc en appliquant cette propriété avec $G$, on trouve :\\
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GC'}$.\\
Or $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ donc 
\[\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GC}}}.\]
On en déduit $--\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GC'}$ ; les deux vecteurs $\overrightarrow{GC}$ et $\overrightarrow{GC'}$ ont donc la même direction. Les droites $(GC)$ et $(GC')$ sont parallèles avec $G$ comme point commun. On en déduit que ces deux droites sont confondues. $G$ appartient donc à la droite $\left(CC'\right)$.

\item Avec le même raisonnement, on montre que $G$ appartient aux droites $\left(BB'\right)$ et $\left(AA'\right)$.

\item Les trois droites $\left(AA'\right)$, $\left(BB'\right)$ et $\left(CC'\right)$ sont les trois \textbf{\textcolor{red}{médianes}} du triangle $ABC$.\\
$G$ est donc le \textbf{\textcolor{red}{centre de gravité}} du triangle $ABC$
\end{enumerate}
Conclusion : le centre de gravité $G$ du triangle (point d'équilibre) est le point $G$ vérifiant : 
\[\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}}}.\] 

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Figure}} :
\begin{center}
\psset{unit=0.9,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,0)(6,6)
\pspolygon(2,5)(0,1)(5,2)
\psline[linewidth=1pt](2,5)(0,1)
\psline[linewidth=1pt](0,1)(5,2)
\psline[linewidth=1pt](5,2)(2,5)
\psplot[linewidth=1pt]{-5.98}{11.86}{(--9.5-3.5*x)/0.5}
\psplot[linewidth=1pt]{-5.98}{11.86}{(--3.5--2.5*x)/3.5}
\psplot[linewidth=1pt]{-5.98}{11.86}{(-13--1*x)/-4}
\psdots[dotstyle=*](2,5)
\rput[bl](2.08,5.2){$A$}
\psdots[dotstyle=*](0,1)
\rput[bl](0.16,0.66){$B$}
\psdots[dotstyle=*](5,2)
\rput[bl](5.08,2.2){$C$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](2.5,1.5)
\rput[bl](2.72,1.26){$A'$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](3.5,3.5)
\rput[bl](3.58,3.66){$B'$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](1,3)
\rput[bl](0.8,3.32){$C'$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](2.3333333333333335,2.6666666666666665)
\rput[bl](2.5,2.28){$G$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  