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% pour le pied de page central
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\title{\textcolor{red}{Équations d'une droite ; systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents



\subsection{\textcolor{blue}{Exemples préliminaires}}
On rappelle que deux vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ sont colinéaires si, et seulement si, $xy'-x'y=0$ (condition de colinéarité).

\begin{enumerate}
\item On considère les points A(2~;~3) et $B(5~;~-7)$ et $M(x~;~y)$.

\noindent On cherche une relation liant $x$ et $y$ traduisant l'appartenance de $M$ à la droite $(AB)$.

On a vu dans un chapitre précédent que l'alignement des points $A$, $B$ et $M$ se traduise par exemple par la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AM}}$.

$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}3\\-10\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AM}}\begin{pmatrix}x-2\\y-3\end{pmatrix}$.

On applique la condition de colinéarité : on doit avoir $3(y-3)-(-10)(x-2)=0$ d'où $10x+3y-29=0$.

On peut mettre cette relation sous la forme $3y=-10x+29$ puis $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{10}{3}x+\dfrac{29}{3}}}$ qui est de la forme $y=ax+b$, donc $y=f(x)$ en posant $f(x)=ax+b$ qui est une fonction affine.

\bigskip

\item On considère les points A(2~;~3) et $B(2~;~-9)$ et $M(x~;~y)$.

\noindent On cherche une relation liant $x$ et $y$ traduisant l'appartenance de $M$ à la droite $(AB)$.

$\overrightarrow{\text{AB}}\begin{pmatrix}0\\-12\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{\text{AM}}\begin{pmatrix}x-2\\y-3\end{pmatrix}$.

La condition de colinéarité entre ces deux vecteurs donne $0(y-3)+12(x-2)=0$; donc $12(x-2)=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=2}}$, de la forme $x=k$ où $k$ est un réel.

Cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées ; tous les points de cette droite ont la même abscisse, 2.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : une telle droite n'a pas de coefficient directeur.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Caractérisation analytique d’une droite}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{D}$ une droite. On appelle équation cartésienne d'une droite une relation entre les coordonnées $x$ et $y$ d'un point quelconque de la droite $\mathscr{D}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ un repère du plan.\\
Soit $\mathscr{D}$ une droite du plan.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\mathscr{D}$ est parallèle à l’axe des ordonnées, alors l’équation de $\mathscr{D}$ est de la forme $x = k$, 
où $k$ est un nombre réel. (tous les points de $\mathscr{D}$ ont la même abscisse)

\item Si $\mathscr{D}$ est sécante à l’axe des ordonnées, alors l’équation de $\mathscr{D}$ est de la forme $y = ax + b$ (équation \textbf{réduite}), 
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.\\
$a$ est appelé le coefficient directeur de la droite $\mathscr{\text{ d}}$.\\
$b$ est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite $\mathscr{D}$.

\bigskip

On remarque que la fonction $f:x\mapsto ax+b$ est alors une fonction affine.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{La démonstration générale se fait comme l'exemple préliminaire, en utilisant la colinéarité de deux vecteurs :}}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}

\begin{enumerate}
\item Donner une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où A et B ont pour coordonnées $A\left(3~;~5\right)$ et $B(3~;~7)$.


\item même question avec $A(3~;~8)$ et $B(-1~;~5)$.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solutions :}}
\begin{enumerate}
\item A et B ont même abscisse, donc une équation de $(AB)$ est $x=k$. Comme $x_A=3$, une équation de $(AB)$ est $\boxed{\textcolor{red}{x=3}}$.

\item A et B n'ont pas la même abscisse, donc $\left(AB\right)$ est sécante à l'axe des ordonnées.\\
Son équation réduite est de la forme $y=ax+b$.\\
$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{3}{4}$.\\
L'équation réduite est $y=\dfrac{3}{4}x+b$.\\
A appartient à la droite, donc ses coordonnées vérifient l'équation (ou celles de B).\\
$y_A=\dfrac{3}{4}x_A+b$ donc $b=8-\dfrac{3}{4}\times 3=8-\dfrac{9}{4}=\dfrac{23}{4}$.\\
L'équation réduite est $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{23}{4}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Position relative de deux droites}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Droites parallèles}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient deux droites $d$ et $d'$ toutes deux sécantes à l'axe des ordonnées, d'équations réduite $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$.\\
$d$ et $d'$ sont parallèles si, et seulement si, $a=a'$.
\end{bclogo}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
Soient deux points A et B de la droite $d$ ; les droites passant par A et B et parallèles à l'axe des ordonnées coupent $d'$ en A' et B'.\\
On a donc $x_A=x_{A'}$ et $x_B=x_{B'}$\\
$d\parallel d'\iff  \text{ABB'A' est un parallélogramme}\iff [AB']\text{ et } [A'B]\text{ ont le même milieu}\\
\iff .\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x_{A'}+x_B}{2}=\dfrac{x_A+x_{B'}}{2}\\ \dfrac{y_{A'}+y_B}{2}=\dfrac{y_A+y_{B'}}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x_B-x_A=x_{B'}-x_{A'}\\y_B-y_A=y_{B'}-y_{A'}\end{array}\right.\\
\iff \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{Y_{B'}-y_{A'}}{x_{B'}-x_{A'}}$ car $x_{A'}=x_A$ et $x_{B'}=x_B$.\\
$\iff m=m'$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Droites sécantes}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $d:y=ax+b$ et $d':y=a'x+b'$ deux droites dans un plan muni d'un repère.\\
Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes si, et seulement si, $a\neq a'$.\\
Dans ce cas, les deux droites ont un point d'intersection, donc les coordonnées vérifient le système $\left\{\begin{array}{l}y=ax+b\\y=a'x+b'\end{array}\right.$.
\end{bclogo}
\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}\\
Soient $d:y=2x-3$ et $d':y=-3x+5$.\\
Montrer que $d$ et $d'$ sont sécantes et déterminer les coordonnées du point d'intersection..\\

Les deux coefficients directeurs, 2 et -3 sont différents, donc les deux droites sont sécantes.\\
Pour trouver les cordonnées du point d'intersection, on résout le système : $\left\{\begin{array}{l}y=2x-3\\y=-3x+5\end{array}\right.$.\\
$\left\{\begin{array}{l}y=2x-3\\y=-3x+5\end{array}\right.\iff y=2x-3\\2x-3=-3x+5\iff\left\{\begin{array}{l}y=2x-3\\x=\dfrac{8}{5}\end{array}\right.$.\\
On en déduit $x=\dfrac{8}{5}$ et $y=2x-3=2\times \dfrac{8}{5}-3=\dfrac{1}{5}$.

\subsection{\textcolor{blue}{Résolution de systèmes de deux équations linéaires}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Définitions}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle équation linéaire à deux inconnues une équation du type $ax+by=c$, où a, b, c sont des réels appelés coefficients ; x et y sont les inconnues avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls.\\

\noindent 
Un couple $(x~;~y)$ est solution de cette équation si, et seulement si, l'égalité $ax+by+c=0$ est vraie.\\

\noindent On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues l'ensemble formé par deux équations, quidoivent être vérifiées simultanément ; un couple $(x~;~y)$ est solution du système si, et seulement si, il est solution de chacune des équations.

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : une équation linéaire peut-être vue comme l'équation d'une droite.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item si $b=0$, l'équation $ax+by=c$ s'écrit $ax=c$ d'où, comme $a$ ne peut être lui aussi nul, $x=\dfrac{c}{a}$, donc l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

\item Si $b\neq 0$, $ax+by=c\iff by=-ax+c\iff y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{a}$ qui est l'équation d'une droite de sécante à l'axe des ordonnées, de coefficient directeur égal à $-\dfrac{b}{a}$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{red}{Méthode par combinaison}}
On considère un système $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c~(E)\\a'x+b'y=c'~(E')\end{array}\right.$ avec $a$ et $b$ pas tous les deux nuls, de même que $a'$ et $b'$, donc $(a~;~b)\neq (0~;~0)$ et $(a';~b')\neq(0~;~0)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On multiplie l'une des équations ou les deux par un (ou des) nombre(s) pour se ramener à un même coefficient, au signe près, pour $x$ ou pour $y$. (même méthode que pour trouver un dénominateur commun à deux fractions)

\item On additionne ou soustrait alors les deux équations pour faire disparaître une des inconnues.

\item On obtient alors une équation du premier degré que l'on résout.

\item On utilise une des équations initiales (la plus simple) pour trouver la valeur de l'autre inconnue (ou on applique la même méthode en travaillant sur l'autre inconnue).
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}

Résoudre le système $\left\{\begin{array}{l}2x+3y=5~(E_1)\\3x-2y=7~(E_2)\end{array}\right.$\\

\noindent On multiple $\left(E_1\right)$ par 3 et $\left(E_2\right)$ par 2.\\
On obtient $\left\{\begin{array}{l}6x+9y=15~\left(E_1'\right)\\6x-4y=14~\left(E_2'\right)\end{array}\right.$.

\noindent On soustrait par exemple $\left(E_1'-E_2'\right)$ :\\
On obtient $(6x+9y)-(6x-4y)=15-14\iff13y=1$.\\
On en déduit $y=\dfrac{1}{13}$.\\

\noindent On remplace $y$ par $\dfrac{1}{13}$ dans l'équation $\left(E_1\right)$.\\
$2x+3\times \dfrac{1}{13}=5$ donc $2x=5-3\times \dfrac{1}{13}=5-\dfrac{3}{13}=\dfrac{65-3}{13}=\dfrac{62}{13}$ donc $x=\dfrac{\frac{62}{13}}{2}=\dfrac{31}{13}$\\
L'ensemble des solutions du système est le couple $\left(\dfrac{31}{13}~;~\dfrac{1}{13}\right)$. $\mathscr{S}=\left\{\left(\dfrac{31}{13}~;~\dfrac{1}{13}\right)\right\}$.\\


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Interprétation géométrique}} : ce couple représente les coordonnées du point d'intersection des deux droites dont les équations sont les deux équations du système.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(9,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-1)(9,6)
\psgrid(-4,-1)(9,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4}{9}{(--5-2*x)/3}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{9}{(--7-3*x)/-2}
\rput[tl](-3.34,5.22){\begin{minipage}{5cm}
$2x+3y=5\\ \iff y=-\dfrac23x+\frac53$
\end{minipage}}
\rput[tl](5.06,4.18){\begin{minipage}{5cm}
$3x-2y=7\\ \iff y=\frac32x-\frac72$
\end{minipage}}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.3846153846,0.0769230769)
\uput[ur](2.38,0.07){\darkgray{$A\left(\dfrac{31}{13}~;~\dfrac{1}{13}\right)$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{red}{Méthode de résolution par substitution}}
\textbf{\textcolor{red}{Conseil :}} N'utilisr cette méthode que si l'un des coefficients de $x$ ou $y$ vaut 1 ou -1.\\
On part d'une des équations : on exprime une des inconnues en fonction de l'autre (en évitant d'introduire une fraction).\\
On remplace alors dans l'autre équation par ce que l'on a trouvé.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}}\\
Résoudre $\left\{\begin{array}{l}x+3y=5~\left(E_1\right)\\5x-2y=13~\left(E_2\right)\end{array}\right.$\\

\noindent $E_1$ s'écrit $x=-3y+5$.\\
On remplace $x$ par $-3y+5$ dans la seconde équation.\\
On obtient $5(-3y+5)-2y=13\iff -15y+25-2y=13\iff -17y=-12\iff y=\dfrac{12}{17}$\\
On remplace alors dans la première équation : $x=-3y+5=-3\times \dfrac{12}{17}+5=\dfrac{49}{85}$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\left(\dfrac{49}{85}~;~\dfrac{12}{17}\right)\right\}}}$

\label{fin}
\end{document}  