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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices (3)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$f(x)=(2x+3)^2-49.$
\begin{enumerate}
\item Développement :  \\
$f(x)=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2-49=4x^2+12x+9-49\\
=\boxed{\textcolor{red}{4x^2+12x-40}}$.

\item Factorisation :  $f(x)=(2x+3)^2-7^2\\
=\left[(2x+3)+7\right]\left[(2x+3)-7\right]=\boxed{\textcolor{red}{(2x+10)(2x-4)}}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $f(x)=2(x+5)\times 2(x-2)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=4(x+5)(x-2)}}$.

\item En utilisant la forme la mieux adaptée de $f(x)$ :
\begin{enumerate}

\item %Calculer $f(0)$.
$f(x)=4x^2+12x-40$ donc \\
$f(0)=4\times 0^2+12\times 0-40=\boxed{\textcolor{red}{-40}}$

\item %Calculer $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
$f(x)=(2x+3)^2-49$ donc \\
$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\left(2\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)+3\right)-49=(-3+3)-49=0-3=-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-49}}$

%\item Résoudre l'équation $f(x)=-40$.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.\\
%\emph{On utilisera la propriété : \og{}Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul\fg{}}
$f(x)=0$ si, et seulement si, \\
$4(x+5)(x-2)=0$ donc $(x+5)(x-2)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premier cas}} : $x+5=0$ donc $x=-5$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas}} : $x-2=0$ donc $x=2$.\\
\end{enumerate}

L'ensemble des solutions de cette équation est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5~;~2\}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction affine définie par $f(x) = 2x-3$.\\
%Déterminer les images par $f$ de 4~;~de 5~;~- de -2~;~de 12 et de $\dfrac{5}{2}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(4)=2\times 4-3=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

\item $f(5)=2\times 5-3=10-3=\boxed{\textcolor{red}{7}}$.

\item $f(-2)=2\times (-2)-3=-4-3=\boxed{\textcolor{red}{-7}}$.

\item $f(12)=2\times 12-3=\boxed{\textcolor{red}{21}}$.

\item $f\left(\dfrac{5}{2}\right)=2\times \dfrac{5}{2}-3=5-3=\boxed{\textcolor{red}{2}}$
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
Soit la fonction affine $h : x\mapsto \dfrac{5}{3}x+\dfrac{4}{3}$.\\
%Calculer les images de $\dfrac{3}{2}$, $\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{2}{7}$ par cette fonction.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $h\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{5}{\cancel{3}}\times \dfrac{\cancel{3}}{2}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{15}{6}+\dfrac{8}{6}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{23}{6}}}$

\item $h\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{9}+\dfrac{12}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{17-49}{9}}}$.

\item $h\left(\dfrac{2}{7}\right)=\dfrac{5}{3}\times \dfrac{2}{7}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{21}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{10}{21}+\dfrac{28}{21}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{38}{21}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit la fonction affine $f:x\mapsto 3x-2$.\\
%Déterminer les antécédents de -8, de 4, de -17.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x$ est un antécédent de -8 par $f$ si, et seulement si, $f(x)=-8$ donc $3x-2=-8$.\\
On en déduit $3x=-8+2=-6$ d'où $x=\dfrac{-6}{3}=-2$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'antécédent de -8 par $f$ est $-2$.}}

\item $x$ est un antécédent de 4 par $f$ si, et seulement si, $f(x)=4$ donc $3x-2=4$.\\
On en déduit $3x=4+2=6$ d'où $x=\dfrac{6}{3}=2$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'antécédent de 4 par $f$ est $2$.}}

\item $x$ est un antécédent de -17 par $f$ si, et seulement si, $f(x)=-17$ donc $3x-2=-17$.\\
On en déduit $3x=-17+2=-15$ d'où $x=-\dfrac{15}{3}=-5$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'antécédent de 17 par $f$ est $-5$.}}


\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4.5)
\psframe(0.2,0.2)(4.3,4.3)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0.2,1)(3.3,1)(3.3,4.3)(1.7,4.3)(1.7,2.8)(0.2,2.8)%JIHEFG
\psline{<->}(0,0.2)(0,4.3)\uput[l](0,2.25){4}
\psline{<->}(0.2,4.5)(1.7,4.5)\uput[u](0.95,4.5){2}
\psline{<->}(3.3,4.5)(4.3,4.5)\uput[u](3.8,4.5){$x$}
\uput[ul](0.2,4.3){A} \uput[ur](4.3,4.3){B} \uput[dr](4.3,0.2){C} \uput[dl](0.2,0.2){D} 
\uput[ur](1.7,4.3){E} \uput[ul](1.7,2.8){F} \uput[ur](0.2,2.8){G} \uput[ul](3.3,4.3){H} 
\uput[dr](3.3,1){I} \uput[dr](0.2,1){J} 
\end{pspicture}

\end{center}\begin{enumerate}
\item Dans la figure ci-dessus, AEFG, AHIJ et ABCD sont des carrés.\\

\begin{enumerate}
\item %Calculer AH en fonction de $x$ ;\\
$ABCD$ est un carré donc $AB=4$.\\
$AH=AB-HB=\boxed{\textcolor{red}{4-x}}$.

\item %En déduire l'aire de AHIJ puis préciser, dans la liste ci-dessous, la (ou les) expression(s) algébrique(s) qui
% correspond(ent) à  l'aire de la partie hachurée.
L'aire de $AHIJ$ est alors $\boxed{\textcolor{red}{AH^2=(4-x)^2}}$.\\
L'aire de la partie hachurée est alors \\
$\mathscr{A}=AH^2-AE^2=(4-x)^2-2^2$.\\
C'est la réponse $\boxed{\textcolor{red}{M = (4 - x)^2 - 2^2}}$

\end{enumerate}


\item Développons et réduisons :

$Q = (4 - x)^2 - 4=4^2-2\times 4\times x+x^2-4\\
=16-8x+x^2-4=\boxed{\textcolor{red}{x^2-8x+12}}$.

\medskip

\item %Factoriser $Q$.
Factorisons $Q$ :\\
$Q=(4-x)^2-2^2=\left[(4-x)+2\right]\left[(4-x)-2\right]=(4-x+2)(4-x-2)=(6-x)(2-x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{Q=(6-x)(2-x)}}$.

\item %Calculer $Q$ pour $x = 2$. \\
%Que traduit ce résultat pour la figure ?
Pour $x=2$, on trouve $Q=(6-2)(2-2)=4\times 0=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.\\
On en déduit que, pour $x=2$, la partie hachurée a une aire nulle.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère l'expression : \\
$A = (2x + 1)^2 - (x - 5)(2x + 1).$

\begin{enumerate}
\item %Développer et réduire $A$. 
$A=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2-\left[x\times 2x+x\times 1-5\times 2x-5\times 1\right]\\
=4x^2-4x+1-\left[2x^2+x-10x-5\right]\\
=4x^2+4x+1-2x^2+9x+5=\boxed{\textcolor{red}{2x^2+13x+6}}$.

\item Factorisons $A$ :\\
$A= (2x + 1)^2 - (x - 5)(2x + 1)\\
=(2x+1)\left[(2x+1)-(x-5)\right]\\
=(2x+1)(2x+1-x+5)=\boxed{\textcolor{red}{(2x+1)(x+6)}}$.

\item %Trouver deux valeurs de $x$ qui annulent l'expression $(2x + 1)(x + 6)$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x+1=0$ si, et seulement si, $2x=-1$ donc $x=-\dfrac{1}{2}$.

\item $x+6=0$ si, et seulement si, $x=-6$.\\
Les deux valeurs de $x$ qui annulent cette expression sont -6 et $-\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  