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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} ; correction du contrôle sur les fonctions}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $(O~;~I~;~J)$.\\
On suppose que $f(3)=5$.\\
Répondre par Vrai ou Faux. Justifier

\begin{enumerate}[a)]
      \item $3$ a pour image $5$ par $f$. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

      \item $3$ est un antécédent de $5$ par $f$.\textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

      \item Le point d'abscisse $5$ de $\mathcal{C}$ a pour ordonnée $3$. \textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : c'est le point d'abscisse 3 qui a une ordonnée égale à 5.

      \item $3$ est l'abscisse d'un point de $\mathcal{C}$ d'ordonnée $5$. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par $g(x)=x^2+3$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère $(O~;~I~;~J)$.\\
Répondre par Vrai ou Faux (Justifier)
\begin{enumerate}[a)]
\item l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions :\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : $f(x)=0$ s'écrit $x^2+3=0$ donc $x^2=-3$. Il n'y a aucune solution puisque le carré d'un réel est positif
      
\item $7$ admet deux antécédents par $f$.\\
$x$ est un antécédent de 7 signifie que $x^2+3=7$ donc \\
$x^2=7-3=4$ ; il y a bien deux solutions, -2 et 2 donc 7 a deux antécédents. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}
      
\item L'image de -1 par $f$ est 2.\\
L'image de -1 est $f(-1)=(-1)^2+3=1+3=4$ donc \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}
      
\item Le point $A(3~;~12)$ est un point de $\mathcal{C}$.\\
$f(3)=3^2+3=9+3=12$ donc $f\left(x_A\right)=y_A$ ; \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}
      
\item $\mathcal{C}$ ne coupe pas l'axe des abscisses.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} puisque l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.

\item $\mathscr{C}$ coupe l'axe des ordonnées au point B(0~;~3).\\
$f\left(x_B\right)=f(0)=0^2+3=3=y_B$ donc $\mathscr{C}$ coupe 'axe des ordonnées en B ; \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

\item $f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{28}{9}$.\\
$f\left(-\dfrac{1}{3}\right)=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+3=\dfrac{1}{9}+3=\dfrac{1+27}{9}=\dfrac{8}{9}$ ; \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-4)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-4)(5,4)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-4,1)(-3,3)(-2,4)(-1,0)(1,-3)(2,0)(3,1)(4,-1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-3,3)(-2,4)(-1,0)(1,-3)(2,0)(3,1)
\psdots[dotscale=2](-4,1)(4,-1)
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item %Sur quel ensemble $f$ est--elle définie ?
$f$ est définie sur [-4~;~4].

\item %Quelle est l'image de -3 ?
Ll'image de -3 est $\boxed{\textcolor{red}{f(-3)=3}}$

\item %Quel est le maximum de $f$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de $f$ est 4 ? Il est atteint pour $x=-2$.

\item %Quel est le minimum de $f$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le minimum de $f$ est -3. Il est atteint pour $x=1$

\item %5 a-t-il un antécédent par $f$ ?
5 n'a pas d'antécédent par $f$ car le maximum de $f$ est 4.

\item %Quels sont les antécédents de 0 par $f$ ?
0 a trois antévédents par $f$ : ce sont -1~;~2 et environ 3,8.

\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
Tableau de variation de $f$
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&-2&&1&&3&&4\\
\hline
\m{f(x)}&-1&\c&\h{4}&\d&-3&\c&\h{1}&\d&-1\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{center}

\subsection{}
Le tableau de variation d'une fonction $f$ est donné ci-dessous.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-2&&2&&4&&8\\
\hline
\m{f(x)}&\h{6}&\d&2&\c&\h{4}&\d&-5&\c&\h{1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de -5 par $f$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{f(-5)=6}}$.

\item %Quel est le minimum de $f$ sur [-5~;~8] ?
Le minimum de $f$ sur [-5~;~8] est -5, atteint pour $x=4$.

\item %Comparer les nombres $f(-4)$ et $f(-3)$. Expliquer.
-4 et -3 appartient à l'intervalle [-5~;~-2], intervalle sur lequel $f$ est décroissante.\\
$f$ renverse l'ordre. $-4<-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-4)>f(-3)}}$

\item %Comparer les nombres $f(3)$ et $f(3,5)$. Expliquer.
3 et 3,5 appartient à l'intervalle [2~;~4], intervalle sur l quel $f$ est décroissante.\\
$f$ renverse l'ordre. $-4<3,5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-4)>(3,5)}}$

\item %Peut-on comparer $f3)$ et $f(7)$ ?
On ne peut pas comparer $f(3)$ et $f(7)$ car $3$ et 7 appartiennent à deux intervalles différents sur lesquels  les variations de f sont différentes.

\item D'après le tableau de variation, $f(-3)>2$ et $f(-4)=-5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-3)>f(-4)}}$.


\item %Tracer dans le repère ci-dessous une courbe représentative possible pour représenter $f$.
Une courbe représentative possible pour représenter $f$ est :
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-6)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-6,-6)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-6)(9,7)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,6)(-2,2)(2,4)(2.6,2)(2.8,0)(4,-5)(8,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-5,6)(-2,2)(2,4)(4,-5)(8,1)
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  
une courbe représentative possible pour représenter $f$.