\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : correction du TD \no 2 sur les vecteurs}}\end{center}



\subsection{}
$ABC$ est un triangle quelconque.

Construire les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ tels que : 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ; $[AM]$ ests alors la diagonale issue de $A$ du parallélogramme formé sur les deux côtés consécutifs $[AB]$ et $[AC]$.

\item $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ ; de même, $[BN]$ est la diagonale issue de $B$ dans le parallélogramme formé sur les deux côtés consécutifs $[BA]$ et $[BC]$.

\item $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$

\item $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}$.\\
On a $\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CQ}$ donc $Q$ est tel que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CQ}$
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Figure}} :
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-4)(10,8)
\pspolygon[linewidth=1pt](3,6)(2,1)(6,2)
\pspolygon[linewidth=1pt,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid](3,6)(2,1)(5,-3)(6,2)
\pspolygon[linewidth=1pt](2,1)(6,2)(7,7)(3,6)
\pspolygon[linewidth=1pt](6,2)(3,6)(-1,5)(2,1)
\pspolygon[linewidth=1pt](2,1)(6,2)(9,-2)(5,-3)
\psline[linewidth=1pt](3,6)(2,1)
\psline[linewidth=1pt](2,1)(6,2)
\psline[linewidth=1pt](6,2)(3,6)
\psline[linewidth=1pt](3,6)(2,1)
\psline[linewidth=1pt](2,1)(5,-3)
\psline[linewidth=1pt](5,-3)(6,2)
\psline[linewidth=1pt](6,2)(3,6)
\psline[linewidth=1pt](2,1)(6,2)
\psline[linewidth=1pt](6,2)(7,7)
\psline[linewidth=1pt](7,7)(3,6)
\psline[linewidth=1pt](3,6)(2,1)
\psline[linewidth=1pt](6,2)(3,6)
\psline[linewidth=1pt](3,6)(-1,5)
\psline[linewidth=1pt](-1,5)(2,1)
\psline[linewidth=1pt](2,1)(6,2)
\psline[linewidth=1pt](2,1)(6,2)
\psline[linewidth=1pt](6,2)(9,-2)
\psline[linewidth=1pt](9,-2)(5,-3)
\psline[linewidth=1pt](5,-3)(2,1)
\psdots[dotstyle=*](3,6)
\rput[bl](3.08,6.2){$A$}
\psdots[dotstyle=*](2,1)
\rput[bl](2.08,1.2){$B$}
\psdots[dotstyle=*](6,2)
\rput[bl](6.08,2.2){$C$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](5,-3)
\rput[bl](5.08,-2.84){$M$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](7,7)
\rput[bl](7.08,7.16){$N$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](-1,5)
\rput[bl](-0.92,5.16){$P$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](9,-2)
\uput[r](9,-2){$Q$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
Soient trois points A, B et C du plan et I le milieu de [AB].

%Démontrer que $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$.
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\left(\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IA}\right)+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IB}\right)=\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$.\\
Comme $I$ st le milieu de $[AB]$, $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.\\
D'où $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Autour d'un mot caché}}
Construire sur la grille ci-dessous les 18 points $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$, $I$, $J$, $K$, $L$, $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$ et $U$ définis respectivement par les égalités vectorielles ci-dessous :\\
Tous les vecteurs seront construits au crayon à papier et les 18 points seront marqués au stylo. Gommer ensuite tous les vecteurs qui ont servi à la construction des points, ainsi qu'éventuellement tous les points inutiles, pour ne garder que les points O, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, P, Q, R, S, T et U. Tracer alors au stylo les segments [FG], [FC], [DE], [BI], [BJ], [OA], [IH], [MN], [LK], [RQ], [RS], [SU], [QR] et [PT].

\noindent Vous découvrez alors le mot caché!\\

\textbf{\textcolor{red}{Égalités vectorielles :}} (\textbf{\textcolor{red}{lire de gauche à droite }}!)\\

$\begin{array}{lclclcl}
\overrightarrow{OC}=-\cfrac{5}{2}\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}& ; & \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OB} &;&
 \overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} &;& \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{OB}\\
  \overrightarrow{DG}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} &;&   \overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} &;& 
   \overrightarrow{HI}=-2\overrightarrow{OA} &;&  \overrightarrow{BJ}=2\overrightarrow{OA}\\
  \overrightarrow{HK}=\cfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}&;&  \overrightarrow{KL}=2\overrightarrow{OB}&;&
  \overrightarrow{LM}=-\overrightarrow{OA}&;&
  \overrightarrow{AN}=\cfrac{7}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\
 \overrightarrow{AP}=4\overrightarrow{OA}&;&  \overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}&;&
  \overrightarrow{QR}=-2\overrightarrow{OA}&;&
  \overrightarrow{RS}=-2\overrightarrow{OB}\\
\overrightarrow{ST}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}&;&  \overrightarrow{TU}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}&&&&\\
\end{array}$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.6,yunit=0.6}
\begin{pspicture}(-6,-5)(16,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.6pt](-6,-5)(16,5)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(2,0)(0,4)
\uput[d](0,0){$O$}\uput[d](2,0){$A$}\uput[l](0,4){$B$}
\psline[linewidth=2pt]{->}(2,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-5,-4)%C
\uput[l](-5,-4){$C$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-5,0)%D
\uput[l](-5,0){$D$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-3,0)%E
\uput[u](-3,0){$E$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-5,4)%F
\uput[l](-5,4){$F$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](-1,4)%G
\uput[u](-1,4){$G$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](4,-4)%H
\uput[d](4,-4){$H$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,-4)%I
\uput[l](0,-4){$I$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](4,4)%J
\uput[u](4,4){$J$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](7,-4)%K
\uput[d](7,-4){$K$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](7,4)%L
\uput[u](7,4){$L$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](5,4)%M
\uput[u](5,4){$M$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](9,4)%N
\uput[u](9,4){$N$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](10,0)%P
\uput[l](10,0){$P$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](14,4)%Q
\uput[u](14,4){$Q$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](10,4)%R
\uput[u](10,4){$R$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](10,-4)%S
\uput[d](10,-4){$S$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](12,0)%T
\uput[r](12,0){$T$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](14,-4)%U
\uput[d](14,-4){$U$}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-1,4)(-5,4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(0,4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-5,-4)(-5,4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-5,0)(-3,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,4)(4,4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(2,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(0,-4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,-4)(4,-4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](5,4)(9,4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](7,4)(7,-4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](10,4)(14,4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](10,-4)(14,-4)
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](10,4)(10,-4)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](10,0)(12,0)
\end{pspicture}
\end{center}
Le mot caché est donc \textbf{\textcolor{red}{FETE}}
\label{fin}
\end{document}  