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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{blue}{2\up{nde} Correction des exercices sur les vecteurs (1)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}



\subsection{}
À l'aide du quadrillage, construire l'image des points R, S et T par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
\begin{center}
\psset{unit=0.45}
\begin{pspicture}(0,0)(14,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(14,8)%grille
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(3,5)(6,7)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=3,dotangle=45](5,3)(6,1)(10,5)
\uput[u](3,5){A},
\uput[u](6,7){B}
\uput[u](5,3){R}
\uput[u](8,5){R'}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(5,3)(8,5)
\uput[u](6,1){S'}
\uput[u](9,3){S}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(6,1)(9,3)
\uput[u](10,5){T}
\uput[u](13,7){T'}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(10,5)(13,7)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
Six carrés sont juxtaposés comme sur la figure ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=1.5}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,2.2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(3,2)%grille
\uput[u](0,2){K}\uput[u](1,2){L}\uput[ul](2,2){M}\uput[u](3,2){N}
\uput[ul](0,1){H}\uput[ul](1,1){G}\uput[ul](2,1){F}\uput[ul](3,1){E}
\uput[d](0,0){A}\uput[d](1,0){B}\uput[d](2,0){C}\uput[d](3,0){D}

\end{pspicture}
\end{center}

%Donner l'image 
\begin{enumerate}[a)]
\item L'image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AH}}$ est $G$ ;

\item L'image de F par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{DB}}$ est $H$ ;

\item L'image de L par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{MB}}$ est $A$ ;

\item L'image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{HM}}$ est $F$ ;

\item L'image de G par la translation de vecteur $\overrightarrow{\text{HG}}$ est $F$.
\end{enumerate}




\columnbreak

\subsection{}
STUV est un parallélogramme de centre O.\\
On commence par faire une figure :
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-0.5)(5,3)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=red!10,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.92,0.2)(3.04,0.4)(4.12,2.46)(0.16,2.26)
\psline[linewidth=2pt](-0.92,0.2)(3.04,0.4)
\psline[linewidth=2pt](3.04,0.4)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](4.12,2.46)(0.16,2.26)
\psline[linewidth=2pt](0.16,2.26)(-0.92,0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.92,0.2)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](3.04,0.4)(0.16,2.26)
\psdots[dotstyle=*](-0.92,0.2)
\rput[bl](-1.22,0.3){$S$}
\psdots[dotstyle=*](3.04,0.4)
\rput[bl](3.26,0.32){$T$}
\psdots[dotstyle=*](4.12,2.46)
\rput[bl](4.2,2.66){$U$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0.16,2.26)
\rput[bl](0.24,2.42){$V$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](1.6,1.33)
\rput[bl](1.68,1.48){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de S par la translation qui transforme V en U ?
L'image de S par la translation qui transforme V en U est T.

\item %En déduire une égalité entre deux vecteurs.
On en déduit que $\overrightarrow{VU}=\overrightarrow{ST}$
\end{enumerate}

\item %Donner un vecteur égal à $\overrightarrow{\text{UT}$.
$\overrightarrow{UT}=\overrightarrow{VS}$ (ces deux vecteurs caractérisent la même translation)

\item %Les vecteurs $\overrightarrow{\text{SO}$ et $\overrightarrow{\text{OU}$ sont-ils égaux ?
Les vecteurs $\overrightarrow{SO}$ et $\overrightarrow{OU}$ sont égaux. En effet, O est le milieu de la diagonale [SU] donc ces deux vecteurs caractérisent la même translation.
\end{enumerate}
%
\subsection{}
$ABCD$ est un parallélogramme de centre O.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure à main levée.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-1)(5,3)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=red!10,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.92,0.2)(3.04,0.4)(4.12,2.46)(0.16,2.26)
\psline[linewidth=2pt](-0.92,0.2)(3.04,0.4)
\psline[linewidth=2pt](3.04,0.4)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](4.12,2.46)(0.16,2.26)
\psline[linewidth=2pt](0.16,2.26)(-0.92,0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.92,0.2)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](3.04,0.4)(0.16,2.26)
\psdots[dotstyle=*](-0.92,0.2)
\rput[bl](-1.22,0.3){$A$}
\psdots[dotstyle=*](3.04,0.4)
\rput[bl](3.26,0.32){$B$}
\psdots[dotstyle=*](4.12,2.46)
\rput[bl](4.2,2.66){$C$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0.16,2.26)
\rput[bl](0.24,2.42){$D$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](1.6,1.33)
\rput[bl](1.68,1.48){$O$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Parmi les égalités suivantes, quelles sont celles dont on est \textbf{sûr} qu’elles sont vraies ?


\begin{enumerate}
\item $OA = OC$ : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}} ; puisque $ABCD$ est un parallélogramme, $O$ est le milieu des diagonales, donc les longueurs $OA$ et $OC$ sont égales.

\item $AB = CD$ : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}  ; dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur.

\item $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ : \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}  ; ces deux vecteurs ne vont pas dans le même sens, donc ne caractérisent pas la même translation. 

\item $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}  ; cette fois, les deux vecteurs caractérisent la même translation, car les deux côtés $[AD]$ et $[BC]$ sont parallèles et de même longueur.

\item $[DO] = [BO]$ ; \textbf{\textcolor{red}{FAUX}} ; certes, ces segments ont la même longueur, mais ne sont pas au même endroit. Deux segments sont identiques s'ils ont la même origine et la même extrémité. 

\item $OD = OB$ : \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}  puisque $O$ est le milieu de la diagonale $[BD]$

\item $OA = OB$ : \textbf{\textcolor{red}{FAUX} }en général ; pour que ce soit vrai, il faudrait que les deux diagonales du parallélogramme $ABCD$ aient la même longueur. $ABCD$ serait alors un \textbf{\textcolor{blue}{rectangle}}.

\item $(OA) = (OD)$ : \textbf{\textcolor{red}{FAUX}} ; ces deux droites ne sont pas égales. 
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} ; bien faire la distinction être les différentes notations !
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $[AB]$ est le segment d'extrémités $A$ et $B$.

\item $[AB)$ est la demi-droite partant de $A$ et passant par $B$, donc illimitée du côté de $B$.

\item $(AB)$ est la droite passant par $A$ et $B$.

\item $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur d'origine $A$ et d'extrémité $B$.

\item $AB$ est la longueur du segment $[AB]$ ; c'est donc un \textbf{\textcolor{red}{nombre}}
\end{enumerate}

\subsection{}
$ABCD$ est un parallélogramme.
\begin{enumerate}
\item Dans la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$, construire l’image $E$ de $B$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(9, 3.5)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.92,0.2)(3.04,0.4)(4.12,2.46)(0.16,2.26)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=red!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](-0.92,0.2)(3.04,0.4)(8.08,2.66)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](-0.92,0.2)(3.04,0.4)
\psline[linewidth=2pt](3.04,0.4)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](4.12,2.46)(0.16,2.26)
\psline[linewidth=2pt](0.16,2.26)(-0.92,0.2)
\psline[linewidth=2pt](-0.92,0.2)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](3.04,0.4)(0.16,2.26)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-0.92,0.2)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](-0.92,0.2)(3.04,0.4)
\psline[linewidth=2pt](3.04,0.4)(8.08,2.66)
\psline[linewidth=2pt](8.08,2.66)(4.12,2.46)
\psline[linewidth=2pt](4.12,2.46)(-0.92,0.2)
\psdots[dotstyle=*](-0.92,0.2)
\rput[bl](-1.22,0.3){$A$}
\psdots[dotstyle=*](3.04,0.4)
\rput[bl](3.26,0.32){$B$}
\psdots[dotstyle=*](4.12,2.46)
\rput[bl](4.2,2.66){$C$}
\psdots[dotstyle=*](0.16,2.26)
\rput[bl](0.24,2.42){$D$}
\psdots[dotstyle=*](1.6,1.33)
\rput[bl](1.68,1.48){$O$}
\psdots[dotstyle=*](8.08,2.66)
\rput[bl](8.16,2.82){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier.
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BE}$

\item $ABCE$ est un parallélogramme.

\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CE}$.

\item $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CE}$

\item $C$ est le milieu de $[DE]$.
 
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}

\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(9.5,7)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.14,1.14)(8.64,1.94)(6.76,5.76)(1.26,4.96)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=yellow!30,fillstyle=solid,opacity=0.99](1.33,-1.17)(6.83,-0.37)(4.95,3.45)(-0.55,2.65)
\psline[linewidth=2pt](3.14,1.14)(8.64,1.94)
\psline[linewidth=2pt](8.64,1.94)(6.76,5.76)
\psline[linewidth=2pt](6.76,5.76)(1.26,4.96)
\psline[linewidth=2pt](1.26,4.96)(3.14,1.14)
\psline[linewidth=2pt](3.14,1.14)(6.76,5.76)
\psline[linewidth=2pt](8.64,1.94)(1.26,4.96)
\psline[linewidth=2pt]{->}(6.76,5.76)(4.95,3.45)
\psline[linewidth=2pt](1.33,-1.17)(6.83,-0.37)
\psline[linewidth=2pt](6.83,-0.37)(4.95,3.45)
\psline[linewidth=2pt](4.95,3.45)(-0.55,2.65)
\psline[linewidth=2pt](-0.55,2.65)(1.33,-1.17)
\psline[linewidth=2pt](1.26,4.96)(-0.55,2.65)
\psline[linewidth=2pt](8.64,1.94)(6.83,-0.37)
\psline[linewidth=2pt](3.14,1.14)(-0.55,2.65)
\psline[linewidth=2pt](3.14,1.14)(6.83,-0.37)
\psdots[dotstyle=*](3.14,1.14)
\uput[d](3.14,1.14){$A$}
\psdots[dotstyle=*](8.64,1.94)
\rput[bl](8.72,2.14){$B$}
\psdots[dotstyle=*](6.76,5.76)
\rput[bl](6.84,5.96){$C$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.26,4.96)
\rput[bl](1.34,5.12){$D$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](4.95,3.45)
\rput[bl](4.62,3.8){$O$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](1.33,-1.17)
\uput[d](1.33,-1.17){$A'$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](-0.55,2.65)
\uput[l](-0.55,2.65){$D'$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](6.83,-0.37)
\rput[bl](7.04,-0.56){$B'$}
\end{pspicture*}
\end{center}
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$.
\begin{enumerate}
\item Dans la translation de vecteur $\overrightarrow{CO}$ :
\begin{enumerate}
\item %quelle est l’image de $C$ ?
L'image de $C$ est $O$.

\item %quelle est l’image de $O$ ?
L’image de $O$ est $A$.
\end{enumerate}

\item Construire les images respectives $A’$, $B’$ et $D’$ des points $A$, $B$ et $D$ dans la translation de vecteur $\overrightarrow{CO}$.\\
Voir figure.

\item 
\begin{enumerate}
\item Tracer le quadrilatère $A’B’OD’$, image de $ABCD$ dans cette translation.

\item %Quelle est sa nature ?
Démontrons que ce quadrilatère est un parallélogramme.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Par construction : $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DD'}$.

\item Puisque $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DD'}$, $OAD'D$ est un parallélogramme, donc $OD=AD$.

\item Pour les mêmes raisons, $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BB'}$, donc $OAB'B$ est un parallélogramme, d'où $AB'=OB$.

\item $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$, donc $O$ est le milieu de la diagonale $[DB]$.\\
On en déduit $OD=OB$.\\
On en déduit $AD'=AB'$.

\item $A$ est donc le milieu de $[D'B']$.\\
$A$ est donc le milieu des deux diagonales $[D'B']$ et $OA'$ ; on en déduit que $A’B’OD’$ est un parallélogramme
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  