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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde groupe 2 : contrôle sur développements, factorisations et fonctions affines}}\end{center}


%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Développer les expressions suivantes :
\begin{enumerate}[$A=$]
\item $(2x+5)(3x-2)=2x\times 3x-2\times 2x+5\times 3x-5\times 2=6x^2-4x+15x-10=\boxed{\textcolor{red}{6x^2+11x-10}}$.

\item $(8x-3)^2=(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $\begin{cases}a=8x\\b=3\end{cases}$\\
$=(8x)^2-2\times 8x\times 3+3^2=\boxed{\textcolor{red}{64x^2-48x+9}}$

\item $(5x-3)(5x+3)=(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ avec $\begin{cases}a=5x\\b=3\end{cases}$\\
$=(5x)^2-3^2=\boxed{\textcolor{red}{25x^2-9}}$\marginpar{3,5}
\end{enumerate}

\subsection{}
Factoriser les expressions suivantes :
\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\underbrace{(7x+4)}_{a}\underbrace{(5x-2)}_{b}-\underbrace{(7x+4)}_{a}\underbrace{(2x-4)}_{c}=ab-ac$ avec $\begin{cases}a=(7x+4)\\b=(5x-2)\\c=(2x-4)\end{cases}$\\
$=a(b-c)=(7x+4)\left[(5x-2)-(2x-4)\right]=(7x+4)(5x-2-2x+4)=\boxed{\textcolor{red}{(7x+4)(3x+2)}}$

\item $(4x+7)^2-(3x-5)^2=a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec $\begin{cases}a=(4x+7)\\b=(3x-5)\end{cases}$\\
=$\left[(4x+7)+(3x-5)\right]\left[(4x+7)-(3x-5)\right]=(4x+7+3x-5)(4x+7-3x+5)=\boxed{\textcolor{red}{(7x+2)(x+12)}}$
\end{enumerate}\marginpar{3}

\subsection{}
%Donner la définition d'une fonction affine.
Une fonction $f$ est affine s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$, $f(x)=ax+b$.\marginpar{1}

\subsection{}
%Les fonctions suivantes sont-elles affines ? Si oui, donner le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.

\begin{enumerate}[a)]
\item $f:x\mapsto 13x+7$.\\
C'est une fonction affine car $13x+7=ax+b$.\\
Le coefficient directeur est $\boxed{\textcolor{red}{a=13}}$ et l'ordonnée à l'origine est $\boxed{\textcolor{red}{b=7}}$.

\item $g:x\mapsto \dfrac{7x-5}{3}$.
C'est une fonction affine car $\dfrac{7x-5}{3}=\dfrac{7}{3}x-\dfrac{5}{3}=ax+b$.\\
Le coefficient directeur est $\boxed{\textcolor{red}{a=\dfrac{7}{3}}}$ et l'ordonnée à l'origine est $\boxed{\textcolor{red}{b=\dfrac{5}{3}}}$.

\item $h=x\mapsto 5x^2+7$.\\
Ce n'est pas une fonction affine car $x^2+7$ n'est pas de la forme $ax+b$.
\end{enumerate}\marginpar{3}

\subsection{}
Quel est le sens de variation des fonctions affines  suivantes ? Expliquer !

\begin{enumerate}[a)]

\item $g:x\mapsto -5x+2$ ; le coefficient directeur est $-5$, négatif, donc $g$ est décroissante.

\item $g:x\mapsto 13x-5$ ; le coefficient directeur est $13$, positif, donc $h$ est croissante.\marginpar{2}
\end{enumerate}

%\columnbreak

\newpage


\subsection{}
Représenter ci-dessous les droites $\mathscr{D}_f$, $\mathscr{D_g}$ et $\mathscr{D}_h$, représentatives des fonctions affines \\
$f:x\mapsto 2x-1$, $g:x\mapsto -3x+4$ et $h:x\mapsto \dfrac{1}{3}x-3$.\\
%Marquer à côté des droites leurs noms !
On peut par exemple calculer les coordonnées de deux points pour chacun des droites :


\begin{multicols}{3}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&4\\
\hline
f(x)=2x-1&-1&7\\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&3\\
\hline
g(x)=-3x+4&-4&5\\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&6\\
\hline
h(x)= \dfrac{1}{3}x-3&-3&-1\\
\hline
\end{array}$

\end{multicols}
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5.5,-6)(8,7.5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-6)(8,7.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-6)(8,7)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-2.5}{4}{2*x-1}
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-1}{3}{-3*x+4}
\psplot[linewidth=2pt]{-5}{7}{x/3-3}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,-1)(4,7)(0,-4)(3,5)(0,-3)(6,-1)
\uput[ur](0,4){$\mathscr{D}_f$}\uput[ur](3,5){$\mathscr{D}_g$}\uput[d](6,-1){$\mathscr{D}_h$}
\end{pspicture}
\end{center}\marginpar{4,5}

\subsection{}
Sur le graphique ci-dessous sont représentées trois droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$, représentant trois fonctions affines $f_1$, $f_2$ et $f_3$.\\
%Lire graphiquement leurs coefficients directeurs et leurs ordonnées à l'origine
\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-6)(7,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-6)(7,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-6)(7,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-8.92}{8.92}{(7*x)/3-5}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-8.92}{8.92}{-4*x+3}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-8.92}{8.92}{2}
\rput[tl](-1.12,5.3){$d_1$}
\rput[tl](5.62,2.66){$d_2$}
\uput[ul](4,4.33){$d_3$}
\end{pspicture*}
\end{center}}
\hfill
\parbox{12cm}{\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_1$ passe par les points de coordonnées $(0~;~3)$ et $(2~;~-5)$.\\
L'ordonnée à l'origine est $\boxed{\textcolor{red}{b_1=3}}$ et le coefficient directeur est \\
$a_1=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-5-3}{2-0}=\dfrac{-8}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-4}}$.

\item $d_2$ est parallèle à l'axe des abscisses, donc le coefficient directeur est $\boxed{\textcolor{red}{a_2=0}}$ et l'ordonnée à l'origine est $\boxed{\textcolor{red}{b_2=2}}$.

\item $d_3$ passe par les points de coordonnées $(0~;~-5)$ et $(3~;~2)$.\\
L'ordonnée à l'origine est $\boxed{\textcolor{red}{b_3=-5}}$ et le coefficient directeur est \\$a_3=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2-(5)}{3-0}=\dfrac{7}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{3}}}$.
\end{enumerate}}\marginpar{3}
%\end{multicols}
\label{fin}
    \end{document}  