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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Informations chiffrées}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Proportion et pourcentage}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Population et sous-population}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle population un ensemble d'éléments appelés individus.\\
On appelle sous-population une partie de la population
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} :   la classe de 2nde 6 constitue une population; les élèves sont des individus ; l'ensemble des garçons est une sous-population, de même que l'ensemble des filles.

\subsubsection{\textcolor{red}{Proportion d'une sous-population}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère une population de $N$ individus et une sous-population de $n$ individus.\\
La proportion d'individus de la sous-population, notée $p$, est $p=\dfrac{n}{N}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : cette proportion peut s'exprimer en pourcentage.\\
On rappelle que $x~\%=\dfrac{x}{100}$.\\
Exemple, dans une classe de 35 élèves, il y a 18 garçons.\\
La proportion de garçons est $p=\dfrac{18}{35}\approx 0,514=\dfrac{51,4}{100}=51,4~\%$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Pourcentage de pourcentage}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On considère une population notée $A$, une sous-population $B$ de $A$ et une sous-population $C$ de $B$.\\
On note $p_B$ la poporyion d'individus de la population $B$ dans $A$ et $p_C$ celle de $C$ dans $B$.\\
La proportion $p$ d'individis de $C$ dans $A$ est $\boxed{\textcolor{red}{p=p_B\times p_C}}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : dans un lycée, il y a 345 élèves de seconde ; la seconde 1 contient 35 élèves, donc 18 garçons.\\
La proportion d'élèves de seconde 1 parmi la population des élèves de seconde est $p_1=\dfrac{35}{345}$.\\
La proportion de garçons de seconde 1 parmi les élèves de seconde 1 est $p_2=\dfrac{18}{35}$.\\
On en déduit que la propotion d'élèves de garçons de seconde 1 parmi les élèves de seconde est \\
$p=p_1\times p_2=\dfrac{35}{345}\times \dfrac{18}{35}=\dfrac{18}{345}\dfrac{6}{145}\approx 0,0521=\dfrac{5,21}{100}$ soit 5,21~\%.

\subsection{\textcolor{blue}{Variation absolue variation relative}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère une valeur qui varie au cours du temps. on note $V_i$ la valeur initiale et $V_f$ la valeur finale.\\
La \textbf{variation absolue} de la quantité est la différence $\boxed{\textcolor{red}{V_f-V_i}}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : un prix est passé au cours de l'été de 1,40 \euro{} à 1,50 \euro{}. \\
La variation absolue de ce prix est $1,50-1,40=0,1$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Variation relative}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une quantité passe la valeur initiale $V_i$ à la valeur finale $V_f$. La variation relative de cette quantité est $\dfrac{V_f-V_i}{V-i}$.\\
Cette variation relative s'appelle aussi \textbf{taux d'évolution} (nombre sans unité)
\end{bclogo}

\bigskip

On pose $t=\dfrac{V_f-Vi}{V_i}$ (tux d'évolution).\\
On a alors $tV_i=V_f-V_i$ donc $V_i+tV_i=V_f$ soit $V_f=V_i+tV_i=(1+t)V_i$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et propriété}}
Le nombre $C=1+t$ s'appelle le \textbf{coefficient multiplicateur}.\\
Si $t$ est négatif, $C<1$ et la quantité diminue.\\
Si $t$ est positif, $C>1$ et la quantité augmente.\\
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : 

\begin{enumerate}
\item Un prix augmente de $t=3~\%$ ; le coefficient pultiplicateur est $C=1+\dfrac{3}{100}=1,03$.\\
Le prix est multiplié par 1,03.

\item Dans un pays qui subit une forte inflation, les prix ont été multipliés par 4 en un mois.\\
On a donc $C=4$ ; or $C=1+t$ donc $t=C-1=3=\dfrac{300}{100}=300~\%$.\\
Le taux d'inflation a été de 300~\% durant ce mois.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Taux d'évolutions successives}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Taux d'évolution global}}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple} : } En 2005, un objet avait un prix de 120 \euro. Son prix a augmenté en un an de 3~\%. L'année suivante, son prix augmenté de 2~\%.\\
Quel est alors son prix ?\\
Le premier coefficient multiplicateur est $C_1=1+3\:\%=1+\dfrac{3}{100}=1,03$.

En 2006, son prix vaut  : $120\times C_1=\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right)=120\times 1,03=123,6$~\euro.

Le deuxième coefficient directeur est $C_2=1+2\:\%=1+\dfrac{2}{100}=1,02$.

En 2007, son prix vaut : $123,60\times C_2=120\times 1,03\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=120\times 1,03\times 1,02=126,072\approx \boxed{\textcolor{red}{126,7~\text{\euro}}}$.\\
Cela revient à calculer $120\times C$ en posant $\boxed{\textcolor{red}{C=C_1\times C_2}}$

\noindent On voit que cela revient à multiplier les coefficients multiplicateurs entre eux.\\


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Cas général}}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $y_{0}$, $y_{1}$, \dots $y_{n}$ des nombres réels strictement positifs.\\
$t_{1}$, $t_{2}$, \dots $t_{n}$ sont les taux d'évolution successifs permettant de passer de $y_{1}$ à $y_{2}$, de $y_{2}$ à $y_{3}$, \dots, de $y_{n-1}$ à $y_{n}$.\\\\
Le coefficient multiplicateur global $T$ permettant de passer de $y_{0}$ à $y_{n}$ est le \textbf{\textcolor{red}{produit}} des $n$ coefficients.\\
$C=C_1\times C_2\times \cdots C_n$, autrement dit :
$1+T=(1+t_{1})(1+t_{2})\cdots(1+t_{n})$ donc \\
\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{T=(1+t_{1})(1+t_{2})\cdots(1+t_{n})-1}}$
\end{center}.
\end{bclogo}

\bigskip

\subsubsection{\textcolor{red}{Taux d'évolution réciproque}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}\\
Un objet coûte 20 \euro. Son prix subit une hausse de 2 ~ \%.

\begin{enumerate}
\item Quel est son nouveau prix ?

\item Quel est le montant de la baisse qu'il doit subir pour retrouver sa valeur initiale ?
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Réponses :}}\\

\begin{enumerate}
\item Le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 2~\% est $1+2~\%=1,02$.\\
Le nouveau prix est : $20\times 1,02=20,4$.

\item Soit $t$ le taux de baisse ; le coefficient multiplicateur est alors : $1+t$.\\
On doit donc avoir : $(20\times 1,02)\times (1+t)=20$, d'où, après simplification par 20 :\\
$1,02\times (1+t)=1$, et, par conséquent : $1+t=\dfrac{1}{1,02}$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{t=\dfrac{1}{1,02}-1}}$.\\
Alors : $t\approx -0,01960$, soit environ $-1,96~\%$.\\
On dit que le taux d'évolution réciproque de $2~\%$ est de $-1,96~\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et propriété}}
Les coefficients multiplicateurs de deux évolutions réciproques sont inverses l'un de l'autre.\\
Soit $t$ le taux d'évolution subi par un nombre. On appelle taux d'évolution réciproque le taux $t'$ qu'il faut alors appliquer pour retrouver le nombre de départ.
\[\text{On a }: t'=\dfrac{1}{1+t}-1\]
\end{bclogo} 

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
Le coefficient multiplicateur est $C=1+t$.\\
Le coefficient multiplicateur de l'évolution réciproque est $C'$ avec $C'=\dfrac{1}{C}$.
Le coefficient multiplicateur associé est $1+t'$.\\
On a $C'=1+t'=\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{1+t}$ d'où :
$\boxed{\textcolor{red}{t'=\dfrac{1}{1+t}-1}}$.\\
$t'$ est le \textbf{\textcolor{red}{taux d'évolution réciproque}} du taux $t$\\


\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}

\begin{enumerate}
\item Pour un taux $t=3~\%$, on obtient $t'=\dfrac{1}{1+0,03}-1\approx -0,029\approx -2,9~\%$.\\
Le taux dévolution réciproque de 2~\% est de -2,9~\%.

\item Pour un taux $t=-10~\%$, on obtient $t'=\dfrac{1}{1-0,1}-1\approx 0,111\approx 11,1~\%$.\\
Le taux dévolution réciproque d'une baisse de 10~\% est d'environ 11,1~\%.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  