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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de l'accompagnement personnalisé du 10 octobre}}\end{center}

\subsection{}
Pour les fonctions $f$ et $g$ suivantes, définies sur $\mathbb{R}$, déterminer les images du nombre réel $a$.


\begin{enumerate}[a)]
\item 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=x^2+2x-5$.\\
Alors : $f(-2)=(-2)^2+2\times (-2)-5=4-4-5=\boxed{\textcolor{red}{-5}}$

\item $g(x)=\frac{1}{2}x^2+x+1$\\
Alors : $g(-2)=\dfrac{1}{2}\times (-2)^2+(-2)+1=\dfrac{1}{2}\times 4-2+1=2-2+1=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=x^3-x+2$\\
$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3-\left(-\dfrac{1}{2}\right)+2=-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{-1+4+16}{8}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{19}{8}}}$

\item $g(x)=(2x+1)(x+2)$.\\
$g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\left(2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)+1\right)\left(-\dfrac{1}{2}+2\right)=(-1+1)\left(-\dfrac{1}{2}+2\right)=0\times \left(-\dfrac{1}{2}+2\right)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=2x^2-1$\\
$f(\sqrt{2})=2\times \left(-\sqrt{2}\right)^2-1=2\times 2-1=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\item $g(x)=x^3-2x+1$\\
$g\left(-\sqrt{2}\right)=\left(-\sqrt{2}\right)^2-2\times \left(-\sqrt{2}\right)+1=(-1)^3\times \sqrt{2}^3+2\sqrt{2}+1=-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+1=\boxed{\textcolor{red}{1}}$\\
En effet : $\sqrt{2}^3=\sqrt{2}^2\times \sqrt{2}=2\sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=\frac{4x+2}{3}+\frac{3-2x}{6}$.\\
%Déterminer le ou les antécédents de $-\frac{11}{6}$ par $f$.
$x$ est un antécédent de $-\dfrac{11}{6}$ par $f$ si, et seulement si, $f(x)=-\dfrac{11}{6}$.\\
On résout l'équation : $f(x)=-\dfrac{11}{6}$.\\
Or $f(x)=\frac{4x+2}{3}+\frac{3-2x}{6}=\dfrac{2(4x+2)}{6}+\dfrac{3-2x}{6}=\dfrac{8x+4+3-2x}{6}=\dfrac{6x+7}{6}$.\\
$f(x)=-\dfrac{11}{6}$ équivaut à $\dfrac{6x+7}{6}=-\dfrac{11}{6}$\\
Donc : $6x+7=-11$ d'où $6x=-18$ et finalement $x=-\dfrac{18}{6}=\boxed{\textcolor{red}{-3}}$.\\
$-\dfrac{11}{6}$ a un seul antécécdent par $f$ qui est -3.

\subsection{}
Donner l'intervalle qui correspond à chaque inégalité :

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|lp{3cm}p{1cm}p{3cm}|}\hline
a)&$3\leqslant x\leqslant 5$&$\Leftrightarrow $&$x\in[3~;~5]$\\
\hline
b)&$-2< x\leqslant 2$&$\Leftrightarrow $&$x\in]-2~;~2]$\\
\hline
c)&$2\leqslant x$&$\Leftrightarrow$&$x\in[2~;~+\infty[$\\
\hline
d)&$1\leqslant x$&$\Leftrightarrow $&$x\in[1~;~+\infty[$\\
\hline
e)&$-5\leqslant x$&$\Leftrightarrow $&$x\in[-5~;~+\infty[$\\
\hline
\end{tabular}

\newpage


\subsection{}
Donner l’inégalité qui correspond à chaque intervalle :

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|lp{3cm}p{1cm}p{3cm}|}\hline
a)&$x\in[5~;~9]$&$\Leftrightarrow$ &$5\leqslant x\leqslant 9$\\
\hline
b)&$x\in[3~;~+\infty[$&$\Leftrightarrow$&$x\geqslant 3$\\
\hline
c)&$x\in]-\infty~;~-2[$&$\Leftrightarrow$ &$x<-2$\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{}
Voici la courbe $\mathscr{C}$ représentative d'une fonction $f$:
\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-4)(6,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-4)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-8,-4)(6,5)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red](-7,-3)(-6,-1)(-5,-3)(-4,1)(-3,4)(-1,-2)(0,1)(2,3)(3,1)(4,-2)(5,-1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-7,-3)(-6,-1)(-5,-3)(-4,1)(-3,4)(-1,-2)(0,1)(2,3)(3,1)(4,-2)(5,-1)
\uput[u](2,3){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les images de -6, -4 et 0 par $f$ ?\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-6)=-1$

\item $f(-4)=1$

\item $f(0=1)$
\end{enumerate}.

\item Combien 3 a-t-il d'antécédents par $f$ ? Donner leurs valeurs.
$3$ a trois antécédents par $f$ qui sont environ -3,9 ; -2 et 2.

\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=1$.
Les solutions de l'équation $f(x)=1$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-4~;~-2~;~0~;~3\}}}$

\item Donner le tableau de variation de $f$.\\
On obtient : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-7&&-6&&-5&&-3&&-1&&2&&4&&5\\
\hline
\m{f(x)}&-3&\c&\h{-1}&\d&-3&\c&\h{4}&\d&-2&\c&\h{3}&\d&-2&\c&\h{-1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  