\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint,cancel}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'accompagnement personnalisé (AP4) du 3 octobre}}\end{center}



\subsection{}
Pour chacun des nombres suivants, déterminer le plus petit ensemble de nombres auquel il appartient.
\begin{enumerate}[$a=~$]
\item $\dfrac{25}{27}$ ne peut pas se simplifier ; c'est le quotient de deux entiers : $\boxed{\textcolor{red}{a\in\mathbb{Q}}}$

\item $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{b\in\mathbb{R}}}$

\item $\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2^2\times 2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{c\in\mathbb{N}}}$

\item $\dfrac{468}{234}=\dfrac{2\times \cancel{234}}{\cancel{235}}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{d\in\mathbb{N}}}$

\item $0,123$ ; $e\in\mathbb{D}$ (trois chiffres après la virgule) ou $e=\dfrac{123}{10^3}$, quotient d'une entier par une puissance de 10.
\end{enumerate}

\subsection{}
POur chacun des cas suivants, donner l'intersection $I \cap J$ et la réunion $I \cup J$.
\begin{enumerate}[a)]
\item $I=[3~;~6]$ et $J=[4~;~10]$\\
$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=[4~;~6]}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=[3~;~10]}}$

\item $I=]-4~;~6]$ et $J=[10~;~15]$\\
$\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=\emptyset}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=]-4~;~6] \cup [10~;~15]}}$ (pas d'autre manière d'écrire la réunion)

\item $I=]-\infty~;~2]$ et $J=[-2~;~+\infty[$\\
$I \cap J=[-2~;~2]]$ et $I \cup J=]-\infty~;~+\infty[$ donc $\boxed{\textcolor{red}{I \cup J=\mathbb{R}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Exprimer les appartenances suivantes sous forme d'inégalités :

\begin{enumerate}[a)]
\item $x \in]-\infty~;~0]$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\leqslant 0}}$.

\item $x \in]-3~;~12]$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{-3<x\leqslant 12}}$

\item $y \in[5~;~+\infty[$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant 5}}$
\end{enumerate}



\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f (x) = -2x +3$
\begin{enumerate}
\item %Calculer les images suivantes : \\
%$f (1)~;~f (3)~;~f (7)~;~f (-1) ~;~f (-2) ~;~f (-10)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f (1)=-2\times 1+3=-2+3=1$

\item $f (3)=-2\times 3+3=-6+3=-3$

\item $f (7)=-2\times 7+3=-11$

\item $f (-1) =-2\times (-1)=3=2+3=5$

\item $f (-2) =-2\times (-2)+3=4+3=7$

\item $f (-10)=-2(-10)+3=20+3=23$.

\end{enumerate}
\item Déterminer les antécédents par $f$ des nombres suivants : 1~;~3~;~7 et -1.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On cherche le ou les nombre(s) $x$tel(s) que $f(x)=1$.\\
$f(x)=1$ équivaut à $-2x+3=1$ équivaut à $-2x=-2$ d'où $x=\dfrac{-2}{-2}=1$. L'antécédent de 1 est 1.

\item $f(x)=3$ équivaut à $-2x+3=3$ équivaut à $-2x=0$ d'où $x=0$. L'antécédent de 3 est 0.

\item $f(x)=7$ équivaut à $-2x+3=7$ équivaut à $-2x=4$ d'où $x=\dfrac{4}{-2}=-2$. L'antécédent de 7 est -2.

\item $f(x)=-1$ équivaut à $-2x+3=-1$ équivaut à $-2x=-4$ d'où $x=\dfrac{-4}{-2}=2$. L'antécédent de -1 est 21.
\end{enumerate}

\item %Résoudre l’équation $f (x) = 10$
$f (x) = 10$ équivaut à $-2x+3=10$ donc $-2x=7$ d'où $x=\dfrac{7}{-2}=-\dfrac{7}{2}$

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $]2; +\infty[$ par : \[f (x) =\dfrac{3}{x -2}\]
\begin{enumerate}
\item %Justifier pourquoi $f$ ne peut être définie en 2.
Le dénominateur $x-2$ s'annule en 2, or, on ne peut pa	s diviser par 2. La fonction n'est donc pas définie en 2.

\item %Calculer $f (3)$, $f (4)$ , $f (8)$ et $f (12)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f (3)=\dfrac{3}{3-2}=\dfrac{3}{1}=3$

\item $f (4)=\dfrac{3}{4-2}=\dfrac{3}{2}$

\item $f (8)=\dfrac{3}{8-2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

\item $f (12)=\dfrac{3}{12-2}=\dfrac{3}{10}$
\end{enumerate}

\item %Résoudre l’équation $f (x) =\dfrac{3}{4}$.
$f(x)=\dfrac{3}{4}$ équivaut à $\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{3}{4}$ donc $x-2=4$ qui donne $\boxed{\textcolor{red}{x=6}}$ (deux fractions qui ont le même numérateur sont égale si, et seulement si, elles ont le même dénominateur.)\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{6\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
La fonction $f$ est définie par $f(x)=x^2+1$ et a pour courbe représentative$\mathscr{C}_f$.\\
%Le point $A(-2~;~5)$ appartient-il à $\mathscr{C}_f$ ?
$f(-2)=(-2)^2+1=4+1=5$ donc $A$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$.


\label{fin}
\end{document}  