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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices du livre sur les inéquations-produits (ou quotients)}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{\no 95 page 165}}

\begin{enumerate}
\item Soit l'inéquation $\dfrac{2x+1}{4-x}>1$ pour $x\neq 4$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est donné : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{4\right\}}}$

\item Pour $x\in\mathscr{D}$, $\dfrac{2x+1}{4-x}>1\Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{4-x}-1>0\Leftrightarrow \dfrac{2x+1-(4-x)}{4-x}>0\Leftrightarrow \dfrac{2x+1-4+x}{4-x}>0\Leftrightarrow \dfrac{3x-3}{4-x}>0\Leftrightarrow \dfrac{3(x-1)}{4-x}>0\Leftrightarrow\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{x-1}{4-x}>0}}$ (en divisant (simplifiant) par 3 qui est positif).

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe du numérateur}} : $x-1=0\Leftrightarrow x=1$ et $x-1>0\Leftrightarrow x>1$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe du dénominateur}} : $4-x=0\Leftrightarrow x=4$ et $4-x>0\Leftrightarrow x<4$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&4&&\pI\\
\hline
x-1&&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
4-x&&+&\l&+&\bb&-&\\
\hline
(x-1)(4-x)&&-&\z&+&\bb&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item L'ensemble des solutions est alors : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]1~;~4[}}$
\end{enumerate}

\item Soit l'inéquation $\dfrac{1}{2x-4}\leqslant 1$ pour tout réel $x\neq 2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}$.

\item $\dfrac{1}{2x-4}\leqslant 1\Leftrightarrow \dfrac{1}{2x-4}- 1\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{1-(2x-4)}{2x-4}\leqslant 0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5-2x}{2x-1}\leqslant 0}}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe du numérateur}}\\
$5-2x=0\Leftrightarrow 5=2x\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$\\
$5-2x>0\Leftrightarrow 5>2x\Leftrightarrow \dfrac{5}{2}>x\Leftrightarrow x<\dfrac{5}{2}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe du dénominateur}}\\
$2x-4>0\Leftrightarrow 2(x-2)>0\Leftrightarrow x-2>0\Leftrightarrow x>2$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&2&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }5-2x&&+&\bb&-&\l&-&\\
\hline
\text{Signe de }2x-4&&+&\bb&-&\l&-&\\
\hline
\text{Signe du quotient }\dfrac{5-2x}{2x-4}&&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\-\infty~;~2[ \cup \left[\dfrac{5}{2}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}

\item Soit l'inéquation $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x-2}\leqslant 0$ pour $x\neq 0$ et $x\neq 2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0~;~2\right\}}}$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Transformation}} : Pour $x\in\mathscr{D}$, $\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x-2}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{x(x-2)}-\dfrac{x}{x-2}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{x-2-x}{x(x-2)}\leqslant 0\Leftrightarrow -\dfrac{2}{x-2}\leqslant 0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x(x-2)}\geqslant 0}}$ (en divisant par -2 qui est négatif)

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe de x}} : évident

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{x-2}$}} :\\
$x-2=0\Leftrightarrow x=2$ et $x-2>0\Leftrightarrow x>2$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&2&&\pI\\
\hline
x&&-&\bb&+&\bb&+&\\
\hline
x-2&&-&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
x(x-2)&&+&\bb&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~0[ \cup ]2~;~+\infty[}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  