\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Factorisation d'une expression algébrique}}\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Factorisations}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Factoriser une expression algébrique consiste à la transformer(lorsque c'est possible) pour qu'elle soit sous la forme d'un produit de facteurs le plus simples possibles.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque : }} Toutes les expressions algébriques ne sont pas factorisables dans $\mathbb{R}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $x^4+1$ ne peut pas se factoriser dans $\mathbb{R}$.




\subsection{\textcolor{blue}{Règles utilisées pour factoriser une expression}}
On utilise essentiellement ces cinq règles, dont les trois identités remarquables .

\bigskip


\parbox{8cm}{\textbf{\textcolor{red}{Avec un facteur commun :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $ab+ac=a(b+c)$

\item $ab-ac=a(b-c)$

\end{enumerate}}\hfill
\parbox{8cm}{

\textbf{\textcolor{red}{Avec une identité remarquable :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

\item $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

\item $a^2-b^2=(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)$

\end{enumerate}}



\subsection{\textcolor{blue}{Comment factoriser une expression algébrique ?}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Méthode}}
\begin{itemize}
\item On recherche d'abord si l'expression a un facteur commun (évident ou pas) pour utiliser l'une des deux premières règles.

\item S'il n'y pas de facteur commun, on essaye de voir si l'on peut appliquer une identité remarquable.

\item Il peut y avoir les deux cas combinés.

\item Dans des cas rares, il faut d'abord développer, simplifier, puis factoriser le résultat.
\end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip


Les exemples qui suivent ont pour but de vous montrer les différents cas possibles. La liste n'est évidemment pas exhaustive ; on ne devient \og bon \fg~dans les factorisations qu'en s'entraÓnant beaucoup.\\
(voir, par exemple le site Euler de l'académie de Versailles : cliquer \href{http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/recherche_fiche.jsp}{ici})

\subsection{\textcolor{blue}{Exemples avec un facteur commun}}
\begin{enumerate}[1)]
\item $2\textcolor{red}{x}y+3\textcolor{red}{x}z=x(2y+3z)$

\bigskip

\item $x^2-3x=\textcolor{red}{x}\times x-3\textcolor{red}{x}=x(x-3)$

\bigskip

\item \textbf{\textbf{Factoriser}} $(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(-2x+9)$.\\
On essaye de voir comment est constituée l'expression pour voir quelle règle l'on va utiliser.\\\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(2x+3)}}_{a}\underbrace{(5x+7)}_{b}+\underbrace{\textcolor{red}{(2x+3)}}_{a}\underbrace{(-2x+9)}_{c}\\
=ab+ac$ en posant : $\left\{\begin{array}{l}a=2x+3\\b=5x+7\\c=-2x+9\end{array}\right.\\
=a(b+c)\\
=(2x+3)\left[(5x+7)+(-2x+9)\right]\\
=(2x+3)(5x+7-2x+9)\\
=(2x+3)(3x+16)$\\
donc : $\boxed{(2x+3)(5x+7)+(2x+3)(-2x+9)=(2x+3)(3x+16)}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(3x+5)(7x-4)-(5x-3)(3x+5)$.\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(7x-4)}_{b}-\underbrace{(5x-3)}_{c}\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\\
=\textcolor{red}{a}b-c\textcolor{red}{a}$ en posant : $\left\{\begin{array}{l}a=3x+5\\b=7x-4\\c=5x-3\end{array}\right.$\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} $ab-ca=ab-ac=a(b-c)$. En rempla\c cant $a$, $b$ et $c$ par leurs expressions, on trouve :\\
$(3x+5)\left[(7x-4)-(5x-3)\right]\\
=(3x+5)(7x-4-5x+3) \text{(attention au signe - devant la parenthèse)}\\
=(3x+5)(2x-1)$\\
donc : $\boxed{(3x+5)(7x-4)-(5x-3)(3x+5)=(3x+5)(2x-1)}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)$.\\
On remarque que : $(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)=\underbrace{\textcolor{red}{(7x+1)}}_{a}\underbrace{(7x+1)}_{a}-\underbrace{\textcolor{red}{(7x+1)}}_{a}\underbrace{(3-2x)}_{b}\\
=\textcolor{red}{a}a-\textcolor{red}{a}b$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=7x+1\\b=3-2x\end{array}\right.\\
=a(a-b)\\
=(7x+1)\left[(7x+1)-(2-3x)\right]\\
=(7x+1)(7x+1-2+3x)\\
=(7x+1)(10x-1)$\\
Par conséquent : $\boxed{(7x+1)^2-(7x+1)(3-2x)=(7x+1)(10x-1)}$.

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(x+3)^2-(x+3)$.\\
Il est clair que $(x+3)$est un facteur commun.\\
$(x+3)^2-(x+3)\\
=\underbrace{\textcolor{red}{(x+3)}}_{a}\times \underbrace{(x+3)}_{a}-\underbrace{(x+3)}_{a}\times 1\\
=\textcolor{red}{a}\times a-\textcolor{red}{a}\times 1$ avec $a=(x+3)\\
=a(a-1)\\
=(x+3)[(x+3)-1]\\
=(x+3)(x+2)$.\\
D'où : $\boxed{(x+3)^2-(x+3)=(x+3)(x+2)}$.


\subsection{\textcolor{blue}{Avec un facteur commun moins apparent}}


\item \textbf{Factoriser} : $(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)$.\\
Il n'y pas de facteur commun apparent, mais il est clair que $6x+10=2(3x+5)$.\\
Par conséquent : $(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)=(3x+5)(2x+7)-2(3x+5)(x+13)$.\\
$\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(2x+7)}_{b}-2\underbrace{\textcolor{red}{(3x+5)}}_{a}\underbrace{(x+13)}_{c}\\
=\textcolor{red}{a}b-2\textcolor{red}{a}c$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=3x+5\\b=2x+7\\c=x+13\end{array}\right.\\
=a(b-2c)\\
=(3x+5)\left[(2x+7)-2(x+13)\right]\\
=(3x+5)(2x+7-2x-26)\\
=(3x+5)(-19)\\
=-19(3x+5)$.\\\\
Par conséquent : $\boxed{(3x+5)(2x+7)-(6x+10)(x+13)=-19(3x+5)}$

\bigskip

\item \textbf{Factoriser} $(15x-3)(2x+7)-10x+2$.\\
On remarque que : $15x-3=5(3x-1)$ et $-10x+2=-(10x-2)=-2(5x-1)$.\\\\
Par conséquent : \\
$(15x-3)(2x+7)-10x+2=3\underbrace{\textcolor{red}{(5x-1)}}_{a}\underbrace{(2x+7)}_{b}-2\underbrace{\textcolor{red}{(5x-1)}}_{a}=3\textcolor{red}{a}b-2\textcolor{red}{a}$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=5x-1\\b=2x+7\end{array}\right.\\
=a(3b-2)\\
=(5x-1)(3(2x+7)-2)\\
=(5x-1)(6x+21-2)\\
=(5x-1)(6x+19)$.\\
D'où : $\boxed{(15x-3)(2x+7)-10x+2=(5x-1)(6x+19)}$



\subsection{\textcolor{blue}{Avec des identités remarquables}}

\item \textbf{Factoriser} : $9x^2+42x+49$.\\
Il n'y aucun facteur commun donc on recherche si on peut faire apparaÓtre une identité remarquable.\\\\
$9x^2+42x+49=(3x)^2+2\times (3x)\times 7+7^2=a^2+2ab+b^2$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=3x\\b=7\end{array}\right.\\
=(a+b)^2\\
=(3a+7)^2$.\\
Par conséquent : $\boxed{9x^2+42x+49=(3x+7)^2}$

\item \textbf{Factoriser} : $100x^2-121$.\\
$100x^2-121=(10x)^2-11^2=a^2-b^2$ avec $a=10x$ et $b=11\\
=(a+b)(a-b)\\
=(10x+11)(10x-11)$.\\
D'où : $\boxed{100x^2-121=(10x+11)(10x-11)}$

\item \textbf{Factoriser} $(2x+9)^2-(3x-13)^2$.\\
On voit que l'expression est la différence de deux carrés, ce qui fait penser à une identité remarquable.\\\\
$(2x+9)^2-(3x-13)^2\\
=a^2-b^2$ avec $a=(2x+9)$ et $b=(3x-13)\\
=(a+b)(a-b)\\
=\left[(2x+9)+(3x-13)\right]\left[(2x+9)-(3x-13)\right]\\
=(2x+9+3x-13)(2x+9-3x+13)\\
=(5x-4)(-x+22)$\\\\
Par conséquent : $\boxed{(2x+9)^2-(3x-13)^2=(5x-4)(-x+22)}$


\subsection{\textcolor{blue}{Avec facteur commun et identités remarquables}}


\item  \textbf{Factoriser} $A=(4x-4)-(5x-13)(x-1)+x^2-1$\\
On remarque que : $4x-4=4(x-1)$ et $x^2-1=x^2-x^2=(x+1)(x-1)$ (identité remarquable).\\
Par conséquent :\\
$A=4\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}-\underbrace{(5x-13)}_{b}\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}+\underbrace{(x+1)}_{c}\underbrace{\textcolor{red}{(x-1)}}_{a}$\\
$=4\textcolor{red}{a}-b\textcolor{red}{a}+c\textcolor{red}{a}$ avec $a=(x-1)$ ; $b=(5x-13)$ et $=(x+1)$\\
$=a(4-b+c)\\
=(x-1)[4-(5x-13)+(x+1)]\\
=(x-1)(4-5x+13+x-1)\\
=(x-1)(-4x+16)\\
=(x-1)\times 4(-x+4)\\
=4(x-1)(-x+4)$\\\\
D'où : $\boxed{A=(4x-4)-(5x-13)(x-1)+x^2-1=4(x-1)(-x+4)}$.

\item \textbf{Factoriser} $B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)$\\
On remarque que : $x^2-4x+4=x^2-2\times x\times 2+2^2=(x-2)^2$ (identité remarquable) et que $(2-x)=(-1)\times (x-2)=-(x-2)$.\\\\
Par conséquent : 
$B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)\\
=(x-2)^2+(1-5x)\times (-1)\times (2-x)+(x-2)\\
=\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}\underbrace{(x-2)}_{a}-\underbrace{(1-5x)}_{b}\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}+\underbrace{\textcolor{red}{(x-2)}}_{a}$ avec $a=(x-2)$, $b=(1-5x)$\\
$=\textcolor{red}{a}a-b\textcolor{red}{a}+\textcolor{red}{a}\\
=a(a-b+1)\\
=(x-2)[(x-2)-(1-5x)+1]\\
=(x-2)(x-2-1+5x+1)\pm\pm
=(x-2)(6x-2)\\
=(x-2)\times 2(3x-1)\\
=2(x-2)(3x-1)$.\\\\
Par conséquent : $\boxed{B=x^2-4x+4+(1-5x)(2-x)+(x-2)=2(x-2)(3x-1)}$

\subsection{\textcolor{blue}{Quand on ne voit ni facteur commun, ni identité remarquable}}

\item \textbf{Factoriser} $3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)$.\\
On ne voit ni facteur commun , ni identité remarquable.\\
En développant, on trouve ;\\
$A=3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)\\
=3x^2-5x+18+(15x^2-27x+10x-18)\\
3x^2-5x+18+15x^2-27x+10x-18\\
=18x^2-22x\\
=9\times \textcolor{red}{2x}\times x-11\times \textcolor{red}{2x}\\
=2x(9x-11)$.\\\\
D'où : $\boxed{3x^2-5x+18+(3x+2)(5x-9)=2x(9x-11)}$
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}\\
Vous verrez en Première une technique pour factoriser, lorsque cela est possible, toute expression du second degré, c'est-à-dire une expression du type $ax^2+bx+c$, $a$, $b$ et $c$ réels, $a\neq 0$.


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Pour s'entraîner sur Internet sur le site Euler de l'académie de Versailles}}



\subsection{\textcolor{blue}{Développements :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Développement d'une expression de la forme $f(x)=a(bx+c)$ où a, b et c sont trois entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/developpement/latex/developpement7.jsp}{ici}

\item Développement d'une expression de la forme$ f(x)=a(bx+c)$ où a, b et c sont trois nombres rationnels : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/developpement/latex/developpement2.jsp}{ici}

\item Développement d'une expression de la forme $f(x)=(ax+b)(cx+d)$ où a, b, c et d sont quatre entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/developpement/latex/developpement3.jsp}{ici}

\item Développement d'une expression de la forme $f(x)=(ax+b)(cx+d)$ où a, b, c et d sont quatre nombres rationnels : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/developpement/latex/developpement4.jsp}{ici}

\item Développement d'expressions algébriques en utilisant des identités remarquables à coefficients entiers : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/developpement/pdf/developpement1.jsp}{ici}

\item Développement d'expressions algébriques en utilisant des identités remarquables à coefficients donnés en écriture fractionnaire : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/developpement/pdf/developpement2.jsp}{ici}

\item Calcul de nombres de la forme $\left(a-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{b}\right)$ où a et b sont deux entiers naturels : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/radicaux/pdf/radicaux3.jsp}{ici}

\item Ecriture de nombres A de la forme $A=(a+b\sqrt{c})^2$ sous la forme $A=d+e\sqrt{f}$ où a, b, c, d, e et f sont six entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/radicaux/pdf/radicaux2.jsp}{ici}

\item Développement d'une expression algébrique de la forme $(ax+b)^2+(cx+d)(ex+f)$ où a, b, c, d, e et f sont six entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/developpement/latex/developpement8.jsp}{ici}

\item Calcul de nombres de la forme $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ où a et b sont deux entiers naturels : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/radicaux/pdf/radicaux4.jsp}{ici}

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Factorisation :}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Ecriture d'une expression algébrique sous la forme $A(x)=a(bx+c)$ où a, b et c sont trois entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/factorisation/latex/factoriser5.jsp}{ici}

\item Factorisation d'une expression algébrique de la forme $A(x)=(ax+b)(cx+d)+(ax+b)(ex+f)$ : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/factorisation/latex/factoriser3.jsp}{ici}

\item Factorisation d'une expression algébrique de la forme $A(x)=k(ax+b)(cx+d)+k'(ax+b)(ex+f)$ : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/factorisation/latex/factoriser4.jsp}{ici}

\item Factorisation d'une expression algébrique de la forme $A(x)=(ax+b)(cx+d)-(ax+b)(ex+f) $: cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/factorisation/latex/factoriser7.jsp}{ici}

\item Factorisation d'expressions algébriques dont les coefficients sont entiers en utilisant une identité remarquable : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/factorisation/pdf/facteurs3.jsp}{ici}

\item Factorisation d'expressions algébriques dont les coefficients sont donnés en écriture fractionnaire en utilisant une identité remarquable : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/factorisation/pdf/facteurs4.jsp}{ici}


\item Factorisation d'une expression algébrique de la forme $A(x)=(ax+b)^2-(cx+d)^2$ où a, b, c et d sont quatre entiers relatifs donnés : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/factorisation/latex/factoriser8.jsp}{ici}

\item Factorisation d'expressions algébriques de la forme $A(x)=(ax+b)^2+(ax+b)(cx+d)$ où a, b, c et d sont quatre entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/factorisation/latex/factoriser9.jsp}{ici}

\item Factorisation d'expressions algébriques de la forme $A(x)=(ax+b)^2-(ax+b)(cx+d)$ où a, b, c et d sont quatre entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/factorisation/latex/factoriser10.jsp}{ici}

\item Factorisation d'expressions algébriques dont les coefficients sont écrits à l'aide de radicaux en utilisant une identité remarquable : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/factorisation/pdf/facteurs5.jsp}{ici}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  
\label{fin}
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