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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Équations de droites et systèmes d'équations}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Équation cartésienne d'une droite}}
Remarque : le mot cartésien vient du mathématicien et philosophe René Descartes (1596-1650).

\subsubsection{\textcolor{blue}{Vecteur directeur d'une droite}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{Propriété\textcolor{red}{}}
Doient $\overrightarrow{u}$ une vecteur et $A$ un point.\\
L'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ soient colinéaires est une droite passant par $A$.\\
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est alors appelé vecteur directeur de cette droite.
\end{bclogo}

\begin{center}
\psset{xunit=,yunit=,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-2)(6,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-3,-2)(6,4)
\psplot[linewidth=2pt]{-3}{6}{(--1.772--0.4*x)/2.3}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(-1.98,0.44)(1.009394495412844,0.945981651376147)
\psdots[dotstyle=*](2.7,1.24)
\rput[bl](2.78,1.44){$A$}
\psdots[dotstyle=*](5,1.64)
\rput[bl](5.08,1.84){$M$}
\rput[bl](-0.5,0.78){$\overrightarrow{u}$}
\end{pspicture}

\end{center}
\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Soient $d$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$. Et une droite $d'$ de vecteur directeur $\overrightarrow{v}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Tous les vecteurs directeurs de $d$ sont les vecteurs non nuls colinéaires à $\overrightarrow{u}$.

\item Les droites $d$ et %d' sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $d$ et %d' sont parallèles.
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation cartésienne d'une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété et définition}}
Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels non tous nuls (l'un au moins est non nul).\\
L'ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées vérifient l'équation $ax+by+c=2$ est une droite, de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.\\
L'équation $ax+b+c=0$ est appelée \textbf{\textcolor{blue}{équation cartésienne}} de la doigte $d$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : une droite a une infinité d'équations cartésiennes, proportionnelles entre elles.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit l'équation cartésienne $2x-3y+3=0$ et  $d$ la droite correspondante.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Il est \og{}évident\fg{} que le point $A(0~;~1)$ a des coordonnées qui vérifient cette équation (il suffit de remplacer !)

\item Un vecteur directeur de cette droite $d$ est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}
Cette droite est représentée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-3,-3)(8,6)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-3}{8}{(2*x+3)/3}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=3,linecolor=blue](0,1)
\uput[ul](0,1){A}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(3,3)(6,5)
\uput[u](4,3.67){$\overrightarrow{u}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que l'un au moins des deux nombres $a$ e $b$ ne soit pas nul.\\
Toute droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$, avec $c\in\mathbb{R}$.\\

\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $d$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}$.\\
La droite $d$ admet une séquation cartésienne de la forme $\boxed{\textcolor{red}{7x-5y+c=0}}$.\\
On détermine la valeur de $c$ à partir des coordonnées d'un point connu de la droite.


\subsection{\textcolor{red}{Équation réduite de droite}}
Nous avons vu que toute droite a une équation cartésienne de la forme $ax+by+c=0$ et réciproquement, si les trois nombres $a$, $b$ et $c$ ne sont pas simultanément nul.\\
Une équation écrite sous cette forme n'est pas très pratique à utiliser.\\
On va voir deux formes réduites.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Droite parallèle à l'axe des ordonnées }}
Soit $d$ une droite parallèlèle à l'axe des ordonnées.\\
Une équation cartésienne de la droite $d$ peut d'écrire sous la forme $x=k$, où $k\in\mathbb{R}$ ($k$ erst donc une constante).
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-1,-2)(5,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2,-2)(2,5)
\uput[r](2,1){$d$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : Si $d$ a pour équatiion $x=k$, $k\in\mathbb{R}$, tous les points de la droite $d$ ont une abscisse égale à $k$.\\
Une telle droite n'est pas représentative d'une fonction, car si tel était le cas, une même abscisse aurait plusieurs images, ce qui est impossible pour une fonction.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Droite sécante à l'axe des ordonnées}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété et définition}}
Soit $d$ une droite sécante à l'axe des ordonnées. L'équation cartésienne de la droite $d$ peut s'écrire sous la forme $y=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.\\
Cette équation est appelée équation réduite de $d$.\\
Cette droite est la représentation graphique d'une fonction affine.\\
$m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine.
\end{bclogo}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.5,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-4)(5,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-4)(5,2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-3,-4)(5,2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{5}{0.5*x-2}
\end{pspicture}
\end{center}

Remarques : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ordonnée à l'origine $p$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.\\

\item Soient $a\left(x_A~;~y_A\right)$ et $B\left(x_B~;~y_B\right)$ deux points de la droite d'équation $y=mx+p$\\
Le coefficient directeur est : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (vu au moment des fonctionns affines).
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux droites de coefficients directeurs $m$ et $m'$ sont parallèles si, et seulement si, $m=m'$.
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues $x$ et $y$ peut s'écrire sous la forme \\
\systeme{{ax+by=c},{a'x+b'y=c'}}, où $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des nombres données.\\
Les deux équations doivent être vérifiées simultanément.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un couple $(x~;~y)$ est solution du sytème s'il est solution simultanément de deux équations.

\item Résoudre un système coonsiste à déterminer \textbf{\textcolor{red}{tous}} les copies solutions du système.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Remarque : les deux méthodes de résolution sont expliquées page 563 dans le livre.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Lien entre droites et systèmes}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Soient les droites $(d)$ et $(d')$ d'équations respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$.\\
Soit le système $\mathscr{S}$ : \systeme{{ax+by=c},{a'x+b'y=c'}}.\\
Un poit $M(x~;~y)$ appartient à $d$ et à $(d')$ si, et seulement si, le couple $(x~;~y)$ est solution dun système $\mathscr{S}.$
\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{red}{Remarqu}}es :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si les deux droites sont sécante, elle ont un unique point d'intersection et le système a alors un seul couple solution.

\item Si $d$ et $d'$ sont strictement parallèles, elles n'ont aucun point commun et le système n'a alors aucune solution.

\item Si $d$ et $d'$ sont confondues, elles ont tous leurs points commun et le système a alorsune infinité de solutions..
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  