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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD sur les nombres}}\end{center}

\subsection{}
%Parmi les nombres suivants, donner les multiples de 5, les multiples de 17 et les multiples de 6. Justifier.

On considère la liste de nombres :

\NumTabs{4}
\begin{inparaenum}[a)]

\noindent \item 10
\tab\item 510
\tab\item 34
\tab\item 72
\tab\item 85
\tab\item 28
\tab\item 60
\tab\item 97
\end{inparaenum}


\begin{enumerate}
\item 10, 510, 85 et 60 sont des multiples de 5 (l'écriture décimale se terminant par 0 ou 5).\\
\NumTabs{4}
\begin{inparaenum}
\noindent \item $10=5\times 2$ \tab\item $510=5\times 102$ \tab\item $85=5\times 17$ \tab\item $60=5\times 12$
\end{inparaenum}


\item Les multiples de 17 sont 510, 34, 85.

\NumTabs{3}
\begin{inparaenum}

\item $510=17\times 30$ \tab\item $34=17\times 2$ \tab\item $85=17\times 5$
\end{inparaenum}

\item Les multiples de 6 sont : 510, 72, 60

\NumTabs{3}
\begin{inparaenum}
\item $510=6\times 85$ \tab\item $72=6\times 12$\tab\item $60=6\times 10$
\end{inparaenum}
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les nombres $a=35$ et $b=25$.
\begin{enumerate}
\item Donner un multiple de $a$ et un multiple de $b$.\\
Un multiple de $a$ s'écrit sous la forme $a\times k$ avc $k\in \mathbb{Z}$ ; les premiers multiples de $a$ sont :\\
0~;~35~;~70~;~105~;~140~;~175~;~210 etc.

\bigskip

Un multiple de $b$ s'écrit sous la forme $b\times k$ avc $k\in \mathbb{Z}$ ; les premiers multiples de $b=25$ sont :\\
0~;~25~;~50~;~75~;~100~;~125~;~150~;~175~;~200 etc.

\item %Donner un nombre qui soit multiple simultanément de $a$ et de $b$ (multiple commun à $a$ et à $b$).
\begin{itemize}
\item Un multiple évident de $a$ et $b$ est le produit $ab$ donc $35\times 25=875$ est donc un multiple de 35 et de 25.

\item Un autre multiple commun à ces deux nombres est 175, qui appartient aux deux listes de multiples.
\end{itemize}

\item %Quel est le plus multiple positif commun à $a$ et à $b$ ? (PPCM)
Le plus petit multiple commun strictement positif commun à ces deux nombres est 175.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\text{PPCM}(35~;~25)=175}}$

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}

\item L'ensemble des diviseurs de 15 est $\mathscr{D}(15)=\{[1~;~3~;~5~;~15\}$\\
L'ensemble des diviseurs de 35 est $\mathscr{D}(35)=\{1~;~5~;~7~;~35\}$\\
Le PGCD de ces deux nombres est 5.

\item L'ensemble des diviseurs de 60 est $\mathscr{D}(60)=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~10~;~12~;~15~;~20~;~30~;~60\}$.\\
L'ensemble des diviseurs de 40 est $\mathscr{D}(40)=\{1~;~2~;~4~;~5~;~8~;~10~;~20~;~40\}$.\\
Le PGCD de 60 et 40 est 20.

\item L'ensemble des diviseurs de 45 est $\mathscr{D}(45)=\{1~;~3~;~5~;~9~;~15~;~45\}$\\
$\mathscr{D}(64)=\{1~;~2~;~4~;~8~;~16~;~32~;~64\}$.\\
$\text{PGCD}(45~;~64)=1$ ; ce sont des nombres premiers entre eux.

\item $\mathscr{D}(270)=\{1~;~2~;~3~;~5~;~6~;~9~;~10~;~15~;~18~;~27~;~30~;~45~;~54~;~90~;~135~;~270\}$\\
$\mathscr{D}(180)=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~9~;~10~;~12~;~15~;~18~;~20~;~30~;~36~;~45~;~60~;~90~;~180\}$.\\
$\text{PGCD}(270~;~180)=90$
\end{enumerate}


\subsection{}
Dans chacun des cas, chercher le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur puis mettre la fraction sous forme irréductible (non simplifiable)

\begin{enumerate}
\item $\mathscr{D}(45)=\{1~;~3~;~5~;~9~;~15~;~45\}$ ; $\mathscr{D}(20)=\{1~;~2~;~4~;~5~;~10~;~20\}$ ; $\text{PGCD}(45~;~20)=5$.\\
On en déduit  : $\dfrac{45}{20}=\dfrac{45\div 5}{20\div 5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{4}}}$


\item $\text{PGCD}(63~;~42)=21$ donc $\dfrac{63}{42}=\dfrac{63\div 21}{42\div 21}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}}$

\item $\text{PGCD}(21~;~56)=1$ donc 21 et 56 sont peers entre eux ; $\dfrac{121}{56}$ est irréductible.

\item $\text{PGCD}(270~;~180)=90$ donc $\dfrac{270}{180}=\dfrac{270\div 90}{180\div 90}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}}$
\end{enumerate}



\subsection{(\textcolor{red}{Vrai ou faux}) }
Déterminer, en justifiant, si chacune des affirmatons suivantes est vraie ou fausse :
\begin{enumerate}
\item Tout nombre entier strictement positif a un nombre pair de diviseurs. \\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} :  1 est strictement positif et n'a qu'un diviseur.

\item Il y a plus de nombres premiers entre 20 et 30 qu'entre 40 et 50.
\textcolor{red}{FAUX}: \\
les nombres premiers entre 20 et 30 sont 31~;~37 ; ceux entre 40 et 50 sont 41~;~43~;~47

\item Un diviseur d'un nombre premier est toujours premier.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : les nombres premiers  sont divisibles par 1 qui n'est pas premier.
\end{enumerate}

\subsection{}
Parmi les nombres rationnels suivants, quels sont ceux qui appartiennent à $\mathbb{D}$ ?\\
\begin{tabular}{p{3cm}p{3cm}p{3cm}p{3cm}p{3cm}p{3cm}}
$\dfrac{3}{2}$&$\dfrac{5}{12}$&$\dfrac{4}{3}$&$\dfrac{7}{4}$&$-\dfrac{35}{25}$&$\dfrac{13}{20}$
\end{tabular}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item  $\dfrac{3}{2}=\dfrac{3\times 5}{2\times 5}=\dfrac{15}{10}$, quotient d'un entier par une puissance de 10 donc $\dfrac{3}{2}$ est décimal ou $\dfrac{3}{2}=1,5$ qui n'a qu'un chiffre après la virgule.

\item $\dfrac{5}{12}=0,41666666666666\cdots$ ; il y a une infinité de chiffres après la virgule donc ce nombre n'est pas décimal.

\item $\dfrac{4}{3}=1,33333\cdots$ donc ce nombre n'est pas décimal.

\item $\dfrac{7}{4}=1,75$ donc c'est un nom re décimal ou $\dfrac{7}{4}=\dfrac{7\times 25}{4\times 25}=\dfrac{175}{100}=\dfrac{175}{10^2}$, quotient d'un entier par une puissance de 10.

\item $-\dfrac{35}{25}=-\dfrac{35\times 4}{25\times 4}=-\dfrac{140}{100}$ qui est décimal.

\item $\dfrac{13}{20}=\dfrac{13\times 5}{20\times 5}=\dfrac{65}{100}$ donc c'est un nombre décimal.

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Montrer que le carré d'un nombre pair est pair.\\
Soit $n$ un nombre pair ; il existe donc $p\in\mathbb{Z}$ tel que $n=2p$.\\
Alors $n^2=(2p)^2=4p^2=2\times 2p^2$ qui est un nombre pair (multiple de 2)

\item %Montrer que le carré d'un nombre impair est impair.
$n$ est impair $n=2p+1$.\\
Alors : $n=(2p+1)=(2p+1)(2p+1)=2p\times 2p+2p+2p+1=4p^2+4p+1=2\left(2p^2+2p\right)+1=2q+1$ avec $q=2p^2+2p$ donc on a bien un nombre impair.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document} 