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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD1 sur les fonctions affines}}\end{center}




\subsection{}
Parmi les expressions suivantes, quelle sont celles de fonctions affines ?
linéaires ? On précisera leurs coefficients directeurs.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x)=\sqrt{3}x-\dfrac{1}{5}=mx=p$ avec $\begin{cases}m=\sqrt{3}\\p=-\dfrac{1}{5}\end{cases}$ donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{affine}}.

\item $g(x)=\sqrt{2x+3}$ ; $g(x)$ ne peut pas se mettre sous la forme $mx=p$ donc $g$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas affine}}.

\item $h(x)=\pi x=mx=p$ avec $\begin{cases}m=\pi\\p=0\end{cases}$ ; $h$ est \textbf{\textcolor{red}{linéaire}} (fonction affine particulière)

\item $k(x)=\dfrac{1-2x}{x-4}$ ; $k$ n'est pas affine. L'ensemble de définition est $\mathbb{R}\setminus\left\{4\right\}$, donc $k$ \textbf{\textcolor{red}{ne peut pas être affine}}, puisqu'une fonction affine est définie sur $\mathbb{R}$.\\
Autre raison : $k(x)$ ne peut se mettre sous la forme $mx=p$.

\item $\ell(x)=2(x-\sqrt{5})-2x=2x-2\sqrt{5}-2x=-2\sqrt{5}=mx=p$ avec $\begin{cases}m=0\\p=-2\sqrt{5}\end{cases}$.\\
$\ell$ est une fonction \textbf{\textcolor{red}{affine, constante}}.

\end{enumerate}


\subsection{}
Donner le sens de variation des fonctions définies ci-dessous :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x) = 4- 2x =-2x+4=mx=p$ avec $\begin{cases}m=-2\\p=4\end{cases}$ ;\\
$f$ est affine, son coefficient directeur est négatif, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item $g(x) = x=mx=p$ avec $\begin{cases}m=1\\p=0\end{cases}$ ;\\
$g$ est affine, son coefficient directeur est positif, donc $g$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item $h(x) =\dfrac{-1+5x}{3}=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}x=\dfrac{5}{3}x-\dfrac{1}{3}=mx=p$ avec $\begin{cases}m=\dfrac{5}{3}\\p=-\dfrac{1}{3}\end{cases}$.\\
$h$ est affine, son coefficient directeur est positif, donc $h$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.


\item $k(x) = (\pi-4)x + 6=mx=p$ avec $\begin{cases}m=\pi-4<0\\p=6\end{cases}$.\\
$k$ est affine, son coefficient directeur est négatif, donc $k$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item $\ell(x) =\dfrac{2x+3}{4}-\dfrac{x}{2}=\dfrac{2x}{4}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{4}=\begin{cases}mx=p\end{cases}$ avec $\begin{cases}m=0\\p=\dfrac{3}{4}\end{cases}$.\\
$\ell$ est affine, son coefficient directeur est nul, donc $\ell$ est \textbf{\textcolor{red}{constante}}.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{x+3}{\pi}$.\\
%Trouver sans calculs, tous les réels $x$ tels que :
$f(x)=\dfrac{1}{\pi}x+\dfrac{3}{\pi}=mx=p$ avec $\begin{cases}m=\dfrac{1}{\pi}\\p=\dfrac{3}{\pi}\end{cases}$.\\
$f$ est affine, croissante, car $a>0$ ; $f$ conserve donc l'ordre.

\begin{enumerate}
\item $f(x)>f(3)$ équivaut à $x>3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]3~;~+\infty[}}$

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&3&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\cb&\m{f(3)}&\ch&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f(1)<f(x)<f(4)$ équivaut à $1<x<4$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]1~;~4[}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
Donner le tableau de signe des fonctions affines suivantes :

\begin{enumerate}
\item $f:x\longmapsto 3x+5$\\
$f$ est affine.\\
$f(x)=0$ équivaut à $3x+5=0$, donc $3x=-5$ puis $x=-\dfrac{5}{3}$.\\
Le coefficient directeur de cette fonction affine est $m=3>0$ ; cette fonction est donc croissante.\\
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signe}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{5}{3}&&\pI\\
\hline
f(x)=3x+5&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\item $f:x\longmapsto -2x+7$\\
$f$ est affine.\\
$f(x)=0$ équivaut à $-2x+7=0$ donc $x=\dfrac{7}{2}$ puisque $ax+p=0$ pour $x=-\dfrac{b}{a}$ avec ici $m=-2$ et $p=7$ (ou on résout l'équation $-2x+7=0$ directement).\\`
Le coefficient directeur est $a = -2$, négatif, donc $f$ est décroissante.\\
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{7}{2}&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f:x\longmapsto -5x-9$\\
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes}} : (même méthode que pour la question 2.)
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{9}{5}&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}




\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction linéaire $f$  telle que \\
$f(3) = 4$.\\
$f$ est affine donc il existe $a$ tel que $f(x)=ax$.\\
$f(3)=4$ donne $a\times 3=4$ donc $3m=4$ d'où $m=\dfrac{4}{3}$.\\
on en conclut que $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{4}{3}x}}$.

\item Déterminer la fonction affine $g$ telle que \\
$g(1) = 3$ et $g(-2) = -3$.\\
Comme $g$ est affine, il existe $a$ et $b$ tels que $g(x)=mx=p$.\\
$g(1)=3$ donc $a\times a+p=3$.\\
$g(-2)=-3$ donc $a\times (-2)+p=-3$, soit $-2a+p=-3$.\\
$a$ et $b$ sont donc solutions  du système : $\begin{cases}a+p=3~L_1\\-2a+p=-3~L_2\end{cases}$.\\
On soustrait les deux lignes : $L_1-L_2$ :\\
$(a+b)-(-2a+b)=3-(-3)$ d'où $a+b+2a-p=-6$ donc $3m=-6$ qui donne $m=-2$.\\
Or $a+p=3$, donc $p=3-m=3-2=1$.\\
Finalzmnt : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=2x+1}}$

\item  Déterminer la fonction affine $h$ telle que $h(2) = -5$ et $h(7) = 3$.\\
$h$ est affine donc il existe $a$ et $b$ tels que $h(x)=mx=p$.\\
$h(2)=-5$ équivaut à $2a+p=-5$\\
$h(7)=35$ équivaut à $7a+p=3$\\
$a$ et $b$ sont donc solutions du système $\begin{cases}2a+p=-5~\left(L_1\right)\\7a+p=3~\left(L_2\right)\end{cases}$\\
En soustrayant les deux lignes, $L_2-L_1$, on obtient :\\
$(7a+b)-(2a+b)=3-(-5)$ dnc $7a+b-2a-p=3+5$ d'où $5m=8$ qui donne, en divisant par 5 : $\boxed{\textcolor{red}{m=\dfrac{8}{5}}}$.\\
Cacule le $b$ : $2a+p=-5$ donc $p=-5-2m=-5-2\times \dfrac{8}{5}=-5-\dfrac{16}{5}=\dfrac{-25-16}{5}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{41}{5}}}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : l'expression de $h(x)$ est : $\boxed{\textcolor{red}{h(x)=\dfrac{8}{5}x-\dfrac{41}{5}}}$

\end{enumerate}


\subsection{}
Dans la plupart des pays, les températures se mesurent en \degre C (Celcius) ; en Grande Bretagne ou aux États-Unis, les températures se mesurent en \degre F \\
(Fahrenheit).\\
Historiquement, Fahrenheit a décidé de définir son échelle par deux températures de référence :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item une température basse, la plus basse qu’il ait mesurée durant l'hiver de 1708 à 1709 dans sa ville natale de Dantzig. Plus tard, en laboratoire, il atteint cette température lors de la solidification d’un mélange d’un volume égal de chlorure d’ammonium et d’eau ;

\item une température haute, celle du sang du cheval.
\end{enumerate}
La conversion de degrés C en degrés F se fait désormais à l'aide d'une fonction affine $f:x\longmapsto mx=p$, où $x$ est en degrés C.\\
On sait que, à pression normale : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item l'eau pure gèle à 0 \degre C et à 32 \degre F

\item l'eau pure bout à 100 \degre C et à 212 \degre F
\end{enumerate}

\begin{enumerate}

\item %Déterminer les valeurs de $a$ et de $b$.
D'près les renseignements, on a :\\
$a\times 0+p=32$ d'où $p=32$\\
$a\times 100+p=212$.\\
$a$ et $b$ sont donc solutions du système $\begin{cases}p=32\\100a+p=2122\end{cases}$\\
La deuxièmeèmz équation donne $100m=212-32=180$ donc $m=\dfrac{180}{100}=\dfrac{9}{5}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Par conséquent}} : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{9}{5}x+32}}$

\item %En déduire la température en \degre F quand elle est de 30 \degre C.
$f(30)=\dfrac{9}{5}\times 30+32=9\times 6+32=54+32=86$ donc 30 \degre C équivalent à 86 \degre F.

\item  En déduire la température en \degre C quand elle est de -10 \degre F ?\\
Cela revient à chercher un antécédent de $-10$ par $f$.\\
On résout l'équation $f(x)=-10$ donc $\dfrac{9}{5}x+32=-10$.\\
On e déduit : $\dfrac{9}{5}x=-10-32=-42$ d'où $x=\dfrac{-42}{\frac95}=-42\times \dfrac{5}{9}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{210}{9}\approx -23,3 \text{\degre C}}}$.
\end{enumerate}









\label{fin}
\end{document}  

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