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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère la figure ci-dessous.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(5,6)
\pspolygon[linestyle=none](0,0)(3,-2)(4,1)(1,3)
\pspolygon[linestyle=none](3,-2)(0,0)(-2,5)(1,3)
\psline{->}(0,0)(3,-2)
\psline{->}(0,0)(1,3)
\psline(0,0)(3,-2)
\psline(3,-2)(4,1)
\psline(4,1)(1,3)
\psline(1,3)(0,0)
\psline{->}(0,0)(4,1)
\psline{->}(3,-2)(-2,5)
\psline(3,-2)(0,0)
\psline(0,0)(-2,5)
\psline(-2,5)(1,3)
\psline{->}(3,-2)(1,3)
\psdots[linecolor=darkgray](0,0)
\rput[bl](0.08,0.12){\darkgray{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](3,-2)
\rput[bl](3.08,-1.88){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1,3)
\rput[bl](1.08,3.12){\blue{$C$}}

\psdots[linecolor=darkgray](4,1)
\rput[bl](4.08,1.12){\darkgray{$D$}}
\psdots[linecolor=darkgray](-2,5)
\rput[bl](-1.92,5.12){\darkgray{$E$}}
\psarc(1,3){3.61}{-50}{0}
\psarc(3,-2){3.16}{30}{90}
\psarc[linecolor=red](1,3){3.61}{130}{160}
\psarc[linecolor=red](0,0){5.39}{90}{120}

\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construisons le point D tel que $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.\\
On construit le parallélogramme formé sur les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ; D est le quatrième sommet du parallélogramme.

\item Construire le point E tel que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.\\
$\overrightarrow{BE}$ est le vecteur diagonale du parallélogramme formé sur les deux vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$
\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{EF}$.\\
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ car ABCD est un parallélogramme ; $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DG}$ car G est le symétrique de A par rapport à D donc AD=DG et les points sont alignés ; $\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{EF}$ car DEFG est un parallélogramme.

\item $\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ pour les mêmes raisons.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$ (relation de Chasles)

\item $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BD}$ car la somme de deux vecteurs de même origine est le vecteur diagonale du parallélogramme formé sur ces deux vecteurs.

\item $\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GE}$ (même raison)

\item $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ car $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{DC}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{\textcolor{red}{B}E}+\overrightarrow{E\textcolor{red}{C}}=\overrightarrow{BC}$

\item $\overrightarrow{A\textcolor{red}{B}}+\overrightarrow{B\textcolor{red}{C}}=\overrightarrow{AC}$

\item $\overrightarrow{O\textcolor{red}{M}}+\overrightarrow{M\textcolor{red}{P}}=\overrightarrow{\textcolor{red}{O}P}$

\item $\overrightarrow{A\textcolor{red}{D}}+\overrightarrow{D\textcolor{red}{M}}+\overrightarrow{M\textcolor{red}{G}}=\overrightarrow{AG}$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $(3x+5)^2=(3x)^2+2\times 3x\times 5+5^2=\boxed{\textcolor{red}{9x^2+30x+25}}$

\item $(3x+7)(3x-7)=(3x)^2-7^2$=\boxed{\textcolor{red}{9x^2-49}}
\end{enumerate}

\subsection{}
$(a+b)^2-(a-b)^2=\left[a^2+ab+b^2\right]-\left[a^2-2ab+b^2\right]\\
=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=\boxed{\textcolor{red}{4ab}}$

\subsection{}
$(x+1)^2-x^2=\left(x^2+2\times x\times 1\right)+1^2-x^2=x^2+2x+1-x^2\\
=\boxed{\textcolor{red}{2x+1}}$.\\
Avec $x=10^{18}$, le résultat exact est donc $2\times 10^{18}+1\neq 0$ donc le copain a raison.\\
Le problème est la capacité d'affichage à l'écran de la calculatrice. $10^{18}+1$ est un nombre trop grand et elle arrondit le résultat à $10^{18}$ pour l'afficher en notation scientifique, d'où 0 pour le résultat.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le taux d'augmentation est $t=4\:\%$.

\item Le coefficient multiplicateur associé est alors :\\
$C=1+t=1-+\dfrac{4}{100}=1,04$.
\end{enumerate}

\item Le nombre de naissances en 2004 est $\numprint{767624}\times 1,04=\numprint{767624}$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Le coefficient multiplicateur associ à une baisse de 20\:\% est $C=1-\dfrac{20}{100}=0,8$.

\item Le nouveau prix de la tablette est alors \\
$199*0,8=\boxed{\textcolor{red}{159,2\text{~\euro}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Sot $t$ me taux d'augmentation. Le coefficient multiplicateur est $C=4$.\\
$t=C-1=4-1=3=\dfrac{300}{100}=\boxed{\textcolor{red}{300\:\%}}$.\\
Le taux d'augmentation est 300\:\% et non 400\:\%.

\subsection{}
Le taux d'augmentation est $t=10,22\:\%$ ; le coefficient multiplicateur est $C=1+\dfrac{10,22}{100}=1,1022$.\\
Si $x$ est le prix du timbre en 2019, on a : $1,1022x=0,97$ donc $x=\dfrac{0,97}{1,1022}\approx \boxed{\textcolor{red}{0,88\text{~\euro}}}$.\\
Le prix du timbre vert est 0,88 \euro{} en 2019.


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  