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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : corrigé du contrôle sur les fonctions (1 heure)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle \\
$I=[a~;~b]$.\\
%Qu'appelle-t-on courbe représentative de $f$ sur $I$ ?
La courbe représentative de $f$ sur $I$ est l'ensemble des points $M(x~;~f(x))$ pour $x$ appartenant à $I$ (c'est du cours !)

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par \[f(x)=3x+5\text{ et }g(x)=\dfrac{1}{x+2}.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$.
L'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$ car, pour tout $x\in\mathbb{R}$, on peut calculer $f(x)=3x+5$.

\item %Expliquer pourquoi l'ensemble de définition de $g$ est $\mathbb{R}\{-2\}$.\\
L'ensemble de définition de $g$ est $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ car on n'a pas le droit de diviser par 0 ; or, le dénominateur $x+2$ s'annule pour $x=-2$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer l'image de 3 par $f$.
L'image de 3 par $f$ est $f(3)=3\times 3+5=9+5=14$. $\boxed{\textcolor{red}{f(3)=14}}$

\item %Calculer $f(5)$.
$f(5)=3\times 5+5=15+5=20$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=20}}$

\item %Calculer $g(0)$ et $g(3)$
$g(0)=\dfrac{1}{0+2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$ et $g(3)=\dfrac{1}{3+2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}}}$

\item %Calculer l'antécédent de 7 par $f$.
L'antécédent de 7 par $f$ est le nombre $x$ tel que $f(x)=7$, donc $3x+5=7$.\\
$3x+5=7$ donne $3x=2$ d'où $x=\dfrac{2}{3}$.\\
L'antécédent de 7 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{2}{3}}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative sur $I=]-1~;~+\infty[$ de la fonction $f:x\mapsto\dfrac{x}{x+1}.$\\
%Parmi les points suivants, quels sont ceux qui appartiennent à $\mathscr{C}$ ? \textbf{Justifier} !\\
%$A(-2~;~2)$~;~$B(2~;~0,333)$~;~$C\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'abscisse de A n'appartient pas à l'ensemble de définition, donc A n'appartient pas  $\mathscr{C}$.\\
Toutefois, si on avait pris l'ensemble complet de définition, $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}$, on aurait $f\left(x_A\right)=f(-2)=\dfrac{-2}{-2+1}=\dfrac{-2}{-1}=2=y_A$ donc $\boxed{\textcolor{red}{A\in\mathscr{C}}}$.

\item $f\left(x_B\right)=f(2)=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}\neq 0,333$ donc $d\left(x_B\right)\neq y_B$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B\notin\mathscr{C}}}$.

\item $f\left(x_C\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac12}{\frac12+1}=\dfrac{\frac12}{\frac32}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{3}=y_C$ donc $\boxed{\textcolor{red}{C\in\mathscr{C}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
On considère une fonction $f$ dont la courbe $\mathscr{C}$ est donnée ci-dessous.\\



\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ ?
L'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ est [-3~;~3]. 

\item %Quel est le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ est 3 ; il est atteint pour $x=2$.

\item %Quel est le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
Le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ est -1 ; il est atteint pour $x=-1$.

\item %Quelles sont les images de -3 ? de -1 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'image de -3 est $\boxed{\textcolor{red}{f(-3)=1}}$.

\item L'image de -1 est $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=-1}}$.
\end{enumerate}

\item %Quels sont les antécédents de 2 par $f$ ?
Les antécédents de 2 par $f$ sont 1 et 3

\item %Dresser le tableau de variation de $f$
Tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-3&&-1&&2&&3\\
\filet
\m{f(x)}&\h{1}&\d&-1&\c&\h{3}&\d&2\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2,)(4,5)
\psset{algebraic=true}
\psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1,linewidth=1.5pt] {<->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\pscurve[linewidth=2pt](-3,1)(-1,-1)(0,0)(2,3)(3,2)
\uput[dr](0,0){0}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,gridlabels=0](-4,-2)(4,4)
\psdots(-3,1)(3,2)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1,2)
\uput[u](2,3){$\mathscr{C}$}
\uput[u](4,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-3,2)(3,2)

\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}

 \medskip 


Soit  $f$ une fonction définie sur l'intervalle  $\left[-8;5 \right]$. Son tableau de variations est le suivant :


\begin{center}
\begin{variations}
x&-8&&-5&&-3&&2&&5\\
\hline
\m{f(x)}&\h{6}&\d&1&\c&\h{3}&\dh&\m{0}&\db&-2\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %Comparer $f\left(-\dfrac{17}{3}\right)$ et $f\left(-6\right)$
	$-\dfrac{17}{3}>-\dfrac{18}{3}=-6$ et $-\dfrac{17}{3}<\dfrac{-15}{3}=-5$ donc $-6<-\dfrac{17}{3}<-5$.\\
	Sur l'intervalle [-8~;~3], $f$ est décroissante donc renverse l'ordre.\\
	$-\dfrac{17}{3}>-6$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f\left(-\dfrac{17}{3}\right)<f(-6)}}$.
	
	\item %Quel est le nombre de solutions de l'équation f$(x)=2$ ?
L'équation f$(x)=2$ a trois solutions : une dans l'intervalle [-8~;~-5], une dans [-5~;~-3]  et une dans [-3~;~2].\\

	\item %Résoudre l'inéquation $f(x)>0$ ?
	L'inéquation $f(x)>0$ a pour solutions $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-8~;~2[}}$.
	
	\item Pour chacune des propositions suivantes, justifier : si elle est vraie ; si elle est fausse ou si le tableau ne permet pas de conclure.	
\begin{enumerate}
	\item \og Si $x$ est un réel de l'intervalle $\left[-8;-3 \right]$  alors $3 \leqslant f(x)\leqslant 6$.\fg\\
	\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $f(-5)=1$ qui n'est pas compris entre 3 et 6.

	\item \og Si $3 \leqslant f(x)\leqslant 6$ alors $ x \in \left[-8;-3 \right]$.\fg\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : pour $x\in]-3~;~5]$, $f(x)\leqslant 3$.

	\item \og Tous les réels de l'intervalle  $\left[-8;0 \right]$ ont une image supérieure ou égale à 1.\fg\\
	Le tableau 	ne permet pas de conclure ; $0\in[-3~;~2]$ mais on ne connaît pas l'image de 0, seulement qu'elle est comprise entre 0 e 3. 
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  