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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD sur les fonctions (1)}}\end{center}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-6 ; 8]$. La courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous.\\
	
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-2.5)(9,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(x^2-6*x+5)/(x^2+2)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-3)(9,6)

\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(9,6)

\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,6){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-6}{8}{\f}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu, dotscale=.8](-6,2.026)(8,.318)
\psdot[dotstyle=x,dotscale=2](0,2.5)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](-7,2.5)(9,2.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Lire graphiquement l'image de 0 par la fonction $f$.
Graphiquement, l'image de 0 par la fonction $f$ est $f(0)\approx 2,5$.

\item %Résoudre graphiquement l'équation  $f(x)=0$.
L'équation  $f(x)=0$ a pour solutions les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l'axe des abscisses : on trouve $\mathscr{S}=\{1~;~5\}$.

\item %Résoudre graphiquement l'inéquation  $f(x)\geqslant \dfrac{5}{2}$.
L'inéquation  $f(x)\geqslant \dfrac{5}{2}$ a pour solutions les abscisses de tous les points dont les ordonnées sont supérieures ou égales à 2,5, donc les abscisses des points situés au-dessus de la droite tracée en rouge sur la figure (dont tous les points ont une ordonnée ale à 2,5).\\
$\mathscr{S}=\{-4~;~0\}$.

%\item Donner le tableau de variation de la fonction $f$.
\item %Si $a$ est un réel de l'intervalle $[-4 ; 5]$, à quel intervalle appartient $f(a)$ ?
Si $a$ est un réel de l'intervalle $[-4 ; 5]$, $f(a)$ décrit l'intervalle $[-0,5~;~2,5]$
\end{enumerate}

Remarque : la fonction tracée est définie par $f(x)=\dfrac{x^2-6x+5}{x^2+2}$

\subsection{}


Soit  $f$ la fonction définie sur l'intervalle  $\left[-6;7 \right]$ par $f(x)=\dfrac{4x-3}{x^2+1}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer l'image de $-\dfrac{1}{2}$.
L'image de $-\dfrac{1}{2}$ par la fonction $f$ est $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{4\times \left(-\dfrac{1}{2}-3\right)}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+1}=\dfrac{-2-3}{\dfrac{1}{4}+1}=\dfrac{-5}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{4}}=\dfrac{-5}{\dfrac{5}{4}}=-\cancel{5}\times \dfrac{4}{\cancel{5}}=\boxed{\textcolor{red}{-4}}$.

\item %Déterminer l'antécédent de 0 par la fonction  $f$.
Un antécédent de 0 par la fonction  $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=0$.\\
$f(x)=0$ équivaut à $\dfrac{4x-3}{x^2+1}=0$ donc à $4x-3=0$ (car une fraction n'est nulle que si son numérateur est nul).\\
$4x-3=0$ équivaut à $4x-3\textcolor{red}{+3}=0\textcolor{red}{+3}$ donc $4x=3$ donc, en divisant par 4 :\\
$\dfrac{4x}{\textcolor{red}{4}}=\dfrac{3}{\textcolor{red}{4}}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{3}{4}}}$.\\
0 n'a qu'un antécédent par $f$, le nombre $\dfrac{3}{4}$.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=1$.
$f(x)=1$ équivaut à $\dfrac{4x-3}{x^2+1}=1$ donc $4x-3=x^2+1$ d'où $0=x^2-4x+4$ qui s'écrit $(x-2)^2=0$ (en remarquant une identité remarquable, que nous verrons plus tard dans l'année).\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1\}}}$.

\item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-13,-5)(16,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
\def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
\def\f{(4*x-3)/(x^2+1)}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-13,-5)(16,2)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-13,-5)(16,2)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](16,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,2){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-13}{16}{\f}
\psdots[linewidth=1pt, linecolor=bleu, dotscale=.8](-6,-.72973)(7,.5)
\uput[ul](7,.5){\footnotesize{\bleu{$\mathcal{C}_{f}$}}}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](-13,-1.5)(16,-1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item %À l'aide du graphique, déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=-\dfrac{3}{2}$.
Graphiquement, on trouve que l'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=-\dfrac{3}{2}$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-3~;~0,25\right\}}}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $[-2~;~2]$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x+5}$.

\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
La fonction est définie sur $[-2~;~2]$ donc l'ensemble de définition est $[-2~;~2]$.\\

En fait, le dénominateur doit être différent de 0, donc il faut que $x\neq -5$.\\
L'ensemble de définition est donc $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-5\right\}$.\\
On peut aussi écrire $\mathscr{D}=]-\infty~;~-5[ \cup ]-5~;~+\infty[$ ; l'intervalle proposé [-2~;~2] est bien compris dans cet ensemble.

\item %Les points suivants sont-ils sur la courbe représentative de $f$ :\\
Un point $M(x~;~y)$ appartient à la courbe $\mathscr{C}_f$ si, et seulement si, $y=f(x)$.
$f(0)=0=y_0$ donc $O(0~;~0)\in\mathscr{C}$\\
$f(1)=\dfrac{1}{6}=y_A$ donc $A\left(1~;~\dfrac{1}{6}\right)\in\mathscr{C}$\\
$f(3)=\dfrac{9}{8}\neq y_B$ donc $B\left(3~;~\dfrac{1}{5}\right)\notin \mathscr{C}$\\
$f(-2)=\dfrac{(-2)^2}{-2+5}=\dfrac{4}{3}\neq y_C$ donc $C\left(-2~;~\dfrac{4}{7}\right)\notin\mathscr{C}$\\
$f(-3)=\dfrac{9}{2}=y_D$ donc $D\left(-3~;~\dfrac{9}{2}\right)\in\mathscr{C}$.

\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}
On donne sur la figure ci-dessous les courbes représentatives de deux fonctions $f$ et $g$, nommées, respectivement, $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, définies toutes deux sur l'intervalle $[-3,5\,;\,3,5]$.

\begin{center}
    \def\xmin{-4.1} \def\xmax{4.1} \def\ymin{-4.1} \def\ymax{7.1}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{unit=0.5cm}
\psgrid[griddots=10,gridlabels=0pt,gridwidth=.5pt, gridcolor=black, subgridwidth=.3pt, subgridcolor=black, subgriddiv=1](0,0)(-16,\ymin)(16,\ymax)
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psdots(0,0)(1,0)(0,1)%
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[u](1,0){$I$}
\uput[r](0,1){$J$}
\uput[ul](\xmax,0){$x$}
\uput[dr](0,\ymax){$y$}

\psplot[plotpoints=200,algebraic=true]{-3.5}{3.5}{0.25*(x-1)*(x+3)*(x-2)}%Cf
\psplot[plotpoints=200,algebraic=true]{-3.5}{3.5}{-0.25*(x-1)*(x-1)+4}%Cg
\psdots(-3.5,-3.09375)(-3.5,-1.0625)(3.5,6,09375)(3.5,2.4375)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-3,0)(-2,3)(-1,3)(1,0)(1,4)(2,0)(3,3)

\uput[u](1,4){$\mathcal{C}_g$}
\uput[ul](-2,3){$\mathcal{C}_f$}
%:
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](-4,1.5)(4,1.5)
\end{pspicture*}\end{center}

%\medskip

\textsc{\textbf{Partie A}}\\
Des phrases sont proposées ci-dessous.\\
Indiquer si elles sont vraies ou fausses et, si elles sont fausses, les corriger pour qu'elles deviennent vraies.

\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item L'image de $-2$ par $g$ est 3 : faux, 3 est l'image de -2 par $f$.
  \item $1,5$ a trois antécédents par $f$ : vrai
\columnbreak

  \item 3 est un antécédent de $-2$ par $f$ : vrai puisque $f(2)=3$
  \item 0 a pour image 2 par $f$  : faux, $f(0)=1,5$
 \end{enumerate} 
\end{multicols}


\medskip

\textsc{\textbf{Partie B}} \\
Avec la précision permise par le graphique, résoudre les équations et inéquations suivantes.

\begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
  \item $f(x)=0$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~1~;~2\}}}$
  
  \item $g(x)>0$ : $\mathscr{S}=]-3~;~3,5]$
  
  \item $f(x)\geqslant 3$ : $\mathscr{S}=[-3~;~-2] \cup [3~;~3,5]$

  \item $g(x)< 3$ : $\mathscr{S}=[-3,5~;~-1[ \cup ]3~;~3,5]$
  
  \item $f(x)=g(x)$ a pour solutions les abscisses des points d'intersection des deux courbes, puisque pour une même valeur de $x$, on doit avoir les mêmes  ordonnées $f(x)$ et $g(x)$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~-1~;~3\}}}$.
  \item $f(x)>g(x)$ : les points de $\mathscr{C}_f$ doivent être en dessous de ceux de $\mathscr{C}_g$ pour une même valeur de $x$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-3,5~;~-3[ \cup ]-1~;~3]}}$.
 \end{enumerate} 
\end{multicols}

\medskip

\textsc{\textbf{Partie C}}\\
Déterminer graphiquement le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. \\
\emph{(On pourra présenter sa réponse sous la forme d'un tableau.)}\\
Sur $[-3,5~;~-3]$, $f(x)\leqslant 0$ ; sur $[-3~;~1]$, $f(x)\geqslant 0$ ; sur $[1~;~2]$, $f(x)\leqslant 0$ et sur $[2~;~3,5]$, $f(x)\geqslant 0$.\\
Résumons cela dans un tableau :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-3,5&&-3&&1&&2&&3,5\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\label{fin}
\end{document}  