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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les nombres entiers}}\end{center}
%issus d'Hyperbole


\subsection{}
%Citer un multiple de 7 compris entre 75 et 80.
Un multiple de 7 compris entre 75 et 80 est $\boxed{\textcolor{red}{77}}$ ($77=7\times 11$).

\subsection{}
Lloris affirme :  \og{}-121 est un multiple de 11\fg{}A-t-il raison ?\\
Oui, il a raison car $\boxed{\textcolor{red}{121=11\times 11=11^2}}$.

\subsection{}
Laquelle de ces affirmations est exacte?
\begin{enumerate}[a)]
\item 81 est un diviseur de 3. C'est \textbf{\textcolor{red}{faux}}. 3 est un diviseur de 81.

\item 185 est divisible par 5. \textbf{\textcolor{red}{Vrai}}, car $185=5\times 37$.

\item 253 est un multiple de 3.  C'est \textbf{\textcolor{red}{faux}}.
\end{enumerate}

\subsection{}
Recopier et compléter chaque phrase.
\begin{enumerate}
\item %$144 = 24 \times  6$ donc 24 est un \dots\dots de 144.
$144 = 24 \times  6$ donc 24 est un \textbf{\textcolor{red}{diviseur}} de 144.

\item  %$\dfrac{84}{7}=12$ donc 84 est \dots\dots par 7 et par \dots\dots.
$\dfrac{84}{7}=12$ donc $84=7\times 12$ ; 84 est \textbf{\textcolor{red}{divisible}} par 7 et par \textbf{\textcolor{red}{12}}.

\item %$295 = 59 \times  5$ donc 295 est un \dots\dots de 59 et de \dots\dots.
$295 = 59 \times  5$ donc 295 est un \textbf{\textcolor{red}{multiple}} de 59 et de \textbf{\textcolor{red}{5}}.
\end{enumerate}

\subsection{}
$n$ désigne un entier de $\mathbb{Z}$.\\
Lesquelles de ces écritures désignent un nombre pair ?
\begin{enumerate}[a)]
\item $2n$ ; \textbf{\textcolor{red}{vrai}}

\item $4n$ ; \textbf{\textcolor{red}{vrai}} car $4n=2\times 2n$ qui est bien un multiple de 2.

\item $2n+3$ ; \textbf{\textcolor{red}{faux}} ; $2n+3=2n+2+1=\underbrace{2(n+1)}_{\text{nombre pair}}+1$ donc c'est un nombre impair.

\item 2n-2 ; \textbf{\textcolor{red}{vrai}} car $2n-2=2(n-1)$ qui est donc un multiple de 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
$n$ désigne un entier de $\mathbb{Z}$.\\
Lesquelles de ces écritures désignent un nombre pair ?
\begin{enumerate}[a)]
\item $2n+1$ ; \textbf{\textcolor{red}{faux}}, c'est un nombre pair augmenté de 1, donc un nombre impair.

\item $2n-1$ ; \textbf{\textcolor{red}{faux}}, c'est un nombre pair diminué de 1, donc un nombre impair.

\item $4n+3$ ; \textbf{\textcolor{red}{faux}} : $4n+3=4n+4-1=4(n+1)-1=2\times 2(n+1)-1$ donc un nombre pair diminué de 1 ; il est donc impair.

\item $2n+4$ ; \textbf{\textcolor{red}{vrai}}, car $2n+4=2(n+2)$ qui est un multiple de 2.
\end{enumerate}

\subsection{}
$a$ désigne un nombre de $\mathbb{Z}$.\\
Démontrer que :
\begin{enumerate}
\item la différence de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.\\
Deux multiples de $a$ sont de la forme $ka$ et $k'a$ où $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.\\
Alors : $k'a-ka=\boxed{\textcolor{red}{(k'-k)a}}$ qui est un multiple de $a$ car $k'-k$ est un entier.

\item le produit de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.\\
De même : $ka\times k'a=\boxed{\textcolor{red}{kk'a\times a}}$ qui est un multiple de $a$.
\end{enumerate}

\subsection{}
$n$ désigne un nombre de $\mathbb{Z}$.
\begin{enumerate}
\item %Écrire en fonction de $n$ le nombre précédent et le nombre suivant $n$.
Le nombre précédent $n$ est $\boxed{\textcolor{red}{n-1}}$ ; le suivant est $\boxed{\textcolor{red}{n+1}}$.

\item %Additionner ces trois nombres. De quel nombre la somme est-elle un multiple ?
La somme des trois nombres est $(n-1)+n+(n+1)=n-1+n+n+1=n+n+n-1+1=\boxed{\textcolor{red}{3n}}$.

\item %Énoncer une propriété traduisant cette propriété.
On en déduit que la somme de trois entiers relatifs consécutifs est un \textbf{\textcolor{red}{multiple de 3}}.
\end{enumerate}

\subsection{}
Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair. \\
Soient $2n+1$ et $2p+1$ deux nombres impairs.\\
Leur produit est $(2n+1)(2p+1)=2p\times 2p+2n\times 1+1\times 2p+1\times 1=4np+2n+2p+1=\underbrace{2\left(2np+n+p\right)}_{\text{nombre pair}}+1$ donc on a un nombre impair.

\subsection{}
$n$ désigne un nombre de $\mathbb{Z}$.\\
Étudier la parité du nombre $n^3$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $n$ est pair, $n=2p$ où $p\in\mathbb{Z}$.\\
Alors $n^3=(2p)^3=2^3p^3=8p^3=\boxed{\textcolor{red}{2\times 4p^3}}$ qui est un nombre pair.

\item Si $n$ est impair, $n=2p+1$ donc $n^3=(2p+1)\times (2p+1)\times (2p+1)$\\
$(2p+1)\times (2p+1)$ est impair comme produit de deux nombres impairs (ovoir exercice précédent) ; on le multiplie de nouveau par un nombre impair, donc le produit final est impair.
\end{enumerate}

\subsection{}
Expliquer  pourquoi chacun de ces nombres n'est pas premier :
\begin{enumerate}[a)]
\item $39=3\times 13$ donc 39 n'est pas premier.

\item $72=2\times 36$ donc 72 n'est pas premier

\item $145=5\times 29$ donc 145 n'est pas premier

\item $153=3\times 51$ donc 153 nest pas premier.
\end{enumerate}

\subsection{}
Claire affirme :  \og{}La somme de deux nombres impairs est un nombre premier.\fg{}\\
Que peut-on en penser ?\\
C'est \textbf{\textcolor{red}{faux}} ; 1 er 3 sont impairs et $1+3=4$ qui n'est pas premier.


\label{fin}
\end{document}  