\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur les fonctions (1 heure)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle \\
$I=[a~;~b]$.\\
Qu'appelle-t-on courbe représentative de $f$ sur $I$ ?

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies par \[f(x)=3x+5\text{ et }g(x)=\dfrac{1}{x+2}.\]
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}$.

\item Expliquer pourquoi l'ensemble de définition de $g$ est $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.\\
\emph{Rappel :} $\mathbb{R}\setminus\{-2\}=]-\infty~;~-2[ \cup ]-2~;~+\infty[$.

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de 3 par $f$.

\item Calculer $f(5)$.

\item Calculer $g(0)$ et $g(3)$

\item Calculer l'antécédent de 7 par $f$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit $\mathscr{C}$ la courbe représentative sur $I=]-1~;~+\infty[$ de la fonction \[f:x\mapsto\dfrac{x}{x+1}.\]
Parmi les points suivants, quels sont ceux qui appartiennent à $\mathscr{C}$ ? \textbf{Justifier} !\\
$A(-2~;~2)$~;~$B(2~;~0,333)$~;~$C\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right)$

\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
On considère une fonction $f$ dont la courbe $\mathscr{C}$ est donnée ci-dessous.\\

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2,)(4,5)
\psset{algebraic=true}
\psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1,linewidth=1.5pt] {<->}(0,0)(-4,-2)(4,4)
\pscurve[linewidth=2pt](-3,1)(-1,-1)(0,0)(2,3)(3,2)
\uput[dr](0,0){0}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,gridlabels=0](-4,-2)(4,4)
\psdots(-3,1)(3,2)
\uput[u](2,3){$\mathscr{C}$}
\uput[u](4,0){$x$}\uput[l](0,4){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ ?

\item Quel est le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? En quelle valeur est-il atteint ?

\item Quel est le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? En quelle valeur est-il atteint ?

\item Quelles sont les images de -3 ? de -1 ?

\item Quels sont les antécédents de 2 par $f$ ?

\item Dresser le tableau de variation de $f$
\end{enumerate}

%\subsection{}
%On considère une fonction  $f$ dont le tableau de variations est le suivant :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm} 
%\begin{pspicture}(15,2.6)
%\psset{linewidth=.5pt}
%\psframe(15,2.6) \psline(2,0)(2,2.6) \psline(0,1.8)(15,1.8)
%\rput(1,2.2){$x$}\rput(2.5,2.2){$- 6$} \rput(6.5,2.2){$-2$}\rput(10.5,2.2){$0$}\rput(14.5,2.2){$4$}
%\rput(1,.9){$f(x)$} \rput(2.5,.3){\rnode{A}{$1$}} \rput(6.5,1.5){\rnode{B}{$5$}} \rput(10.5,.3){\rnode{C}{{$-2$}}} \rput(14.5,1.5){\rnode{D}{$1$}} 
%\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
%\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item Quel est l'ensemble de définition de la fonction $f$ ?
%	\item Comparer $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)$ et $f\left(-\dfrac{11}{8}\right)$
%	\item Peut-on comparer les images de $-1$ et de 1 ?
%	\item Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ ?	
%\end{enumerate}
%\subsection{}
%
%Soit $f$ une fonction définie sur $[ -6 ; 9]$ dont le tableau de variation est dressé ci-dessous.
%
%%\begin{center}
%%\psset{unit=1cm} 
%%\begin{pspicture}(16,3)
%%\psset{linewidth=.5pt}
%%\psframe(16,3) \psline(3,0)(3,3) \psline(0,2)(16,2)
%%\rput(1.5,2.5){$x$}\rput(3.5,2.5){$- 6$} \rput(7.5,2.5){$2$}\rput(11.5,2.5){$3$}\rput(15.5,2.5){$8$}
%%\rput(1.5,1){Variation de $f$} \rput(3.5,.3){\rnode{A}{$-4$}} \rput(7.5,1.7){\rnode{B}{$0$}} \rput(11.5,.3){\rnode{C}{{$-6$}}} \rput(15.5,1.7){\rnode{D}{$12$}} 
%%\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
%%\ncline{A}{B}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
%%\end{pspicture}
%%\end{center}
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&-6&&2&&3&&8\\
%\hline
%\m{f(x)}&-4&\c&\h{0}&\d&-6&\c&\h{12}\\
%\hline
%\end{variations}
%\end{center}
%
%Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses ; justifier.
%\begin{enumerate}
%\item \textsf{\textsc{\textbf{affirmation 1 :}}} Si $2\leqslant x \leqslant 8$ alors $0 \leqslant f(x) \leqslant 12$.
%
%\item \textsf{\textsc{\textbf{affirmation 2 :}}} Si $-6\leqslant x \leqslant 3$ alors $f(x) \leqslant 0$.
%
%\item \textsf{\textsc{\textbf{affirmation 3 :}}} Si $f(x) \leqslant 0$ alors $-6\leqslant x \leqslant 3$.
%\end{enumerate}
%
%
% \bigskip 

\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}

 \medskip 


Soit  $f$ une fonction définie sur l'intervalle  $\left[-8;5 \right]$. Son tableau de variations est le suivant :
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}
%\begin{pspicture}(14.8,2.4)
%\psframe[linewidth=0.6pt](14.8,2.4)
%\psline[linewidth=0.6pt](0,1.6)(14.8,1.6)
% \psline[linewidth=0.6pt](2,0)(2,2.4) 
% \rput(1,2){$x$} \rput(2.4,2){$- 8$} \rput(6.4,2){$-5$}  \rput(10.4,2){$-3$} \rput(12.4,2){2} \rput(14.4,2){$5$}
%\rput(1,.8){$f(x)$} \rput(2.4,1.3){\rnode{A}{$6$}} \rput(6.4,.3){\rnode{B}{$1$}} \rput(10.4,1.3){\rnode{C}{$3$}} \rput(14.4,.3){\rnode{D}{$-2$}} 
%\psset{nodesep=5pt,arrows=->,linewidth=.75pt}
%\ncline{A}{B} \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}\ncput*{0}
% \end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{variations}
x&-8&&-5&&-3&&2&&5\\
\hline
\m{f(x)}&\h{6}&\d&1&\c&\h{3}&\dh&\m{0}&\db&-2\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Comparer $f\left(-\dfrac{17}{3}\right)$ et $f\left(-6\right)$
	\item Quel est le nombre de solutions de l'équation \\
	f$(x)=2$ ?
	\item Résoudre l'inéquation $f(x)>0$ ?
	\item Pour chacune des propositions suivantes, justifier : si elle est vraie ; si elle est fausse ou si le tableau ne permet pas de conclure.	
\begin{enumerate}
	\item \og Si $x$ est un réel de l'intervalle $\left[-8;-3 \right]$  alors $3 \leqslant f(x)\leqslant 6$.\fg
	\item \og Si $3 \leqslant f(x)\leqslant 6$ alors $ x \in \left[-8;-3 \right]$.\fg
	\item \og Tous les réels de l'intervalle  $\left[-8;0 \right]$ ont une image supérieure ou égale à 1.\fg	
\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  