\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Différents types de nombres}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Nombres entiers}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Nombres entiers naturels et nombres entiers relatifs}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle nombre entier \textbf{naturel} un nombre entier positif ou nul ; les entiers naturels sont les nombres servant à compter les objets (0 n'a été considéré comme nombre que tardivement).\\
L'ensemble des entiers naturels se note $\mathbb{N}$.\\
$\mathbb{N}=\{0~;~1~;~2~;~3\cdots\}$

\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : le symbole 0 a été utilisé par les Babyloniens (il y a plus de 2000 ans, les Mayas, les Indiens ; il signifiait l'absence d'unité dans la numération de position (celle que nous utilisons) pour indiquer l'absence d'une unité  ; dans l'utilisations des chiffres romains (notation de juxtaposition), le symbole 0 n'existe pas. 0 est apparu en occident grâce aux arabes, notamment par la traduction du mathématicien Al-Kwarismi.\\
Pour les curieux : cliquer ici : \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Zéro}{Histoire du nombre zéro}.


\subsection{\textcolor{blue}{Nombres relatifs} }
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un entier relatif est un nombre entier positif ou négatif ou nul.\\
L'ensemble des entiers relatifs se note $\mathbb{Z}$. C'est l'ensemble des entiers naturels auquel on adjoint leur opposés.\\
$\mathbb{Z}=\{\cdots~;~-3~;~-2~;~-1~;~0~;~1~;~2~;~3\cdots\}$
\end{bclogo}

\bigskip

Tous les entiers relatifs sont naturels ; l'ensemble des entiers relatifs est \textbf{inclus} dans celui des entiers naturels ; on écrit $\boxed{\textcolor{red}{\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques de notation}}.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 6 est un nombre naturel. on écrit $\boxed{\textcolor{red}{6\in\mathbb{N}}}$

\item 6 est aussi un entier relatif ; on écrit $\boxed{\textcolor{red}{6\in\mathbb{Z}}}$.

\item -3 est un entier relatif : on écrit $\boxed{\textcolor{red}{-3\in\mathbb{Z}}}$.

\item 7,2 n'est pas un entier naturel : on écrit $\boxed{\textcolor{red}{7,2\notin\mathbb{N}}}$.

\textbf{\textcolor{red}{Schématiquement}} : 
\begin{center}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-6)(8.,5.)
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=1pt](0,0)(3.0132502082204593,2.253813838217488)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=1pt](0,0)(4.8806620965708625,4.4520627242777575)}
\rput[tl](3.16,1.24){$\mathbb{N}$}
\rput[tl](4.68,3.18){$\mathbb{Z}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Multiples et diviseurs}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs, $b$ non nul.\\
S'il existe un entier relatif $a$ tel que $a=bq$, alors $a$ est un \textbf{\textcolor{red}{multiple}} de $b$ et $b$ est un \textbf{\textcolor{red}{diviseur}} de $a$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : si $a=bq$, on dit aussi que $b$ divise $a$ ou que $a$ est divisible par $b$.\\
Si on effectue la division euclidienne de $a$ par $b$, le reste est nul.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $21=3\times 7$ donc 21 est un multiple de 3 ou 3 divise 21.

\item \numprint{1347} est divisible par 3 car si l'on effectue la division euclidienne, le reste est nul :\\
\begin{center}
\opdiv{1347}{3}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un nombre $a$ entier est pair si c'est un multiple de 2, donc s'il existe $q$ tel que $a=2q$.

\item Un nombre $a$ entier est impair si ce n'est un multiple de 2, donc s'il existe $q$ tel que $a=2q+1$.

\end{enumerate}

\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 3 est premier car $3=2\times 1+1$

\item 8 est pair car $8=2\times 4$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Nombres premiers}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un nombre $a$ entier positif est premier s'il a exactement deux diviseurs positif, 1 et lui-même.\\
Le plus petit nombre premier est donc 2 et c'est le seul à être pair.\\
Il y a un nombre infini de nombres premiers : 2~;~3~;~5~;~7~;~11~;~13\dots.

\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : on ne connaît pas tous les nombres premiers et étant donné un très grand nombre, il est difficile de savoir si celui-ci est premier ; une grande partie des codes secrets est basée sur cette difficulté à savoir si un nombre est premier ou pas.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : 33 est premier car il n'est divisible que par 1 et 33.

\subsection{\textcolor{red}{Nombres décimaux}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un nombre $x$ est décimal s'il peut d'écrire comme le quotient d'un nombre entier par une puissance de 10 ; $x=\dfrac{a}{10^k}$.\\
Son écriture décimale contient alors un nombre \textbf{\textcolor{red}{fini}} de chiffres.\\
L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb{D}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $7,121=\dfrac{121}{\numprint{1000}}=\dfrac{121}{10^3}$ donc $7,121$ est un nombre décimal.

\item $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.\\
\textbf{Justification} : si $\dfrac{1}{3}$ était décimal, il existait $k$ tel que $\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^k}$ donc $3a=10^k$ ce qui est impossible car 3 ne divise jamais $10^k$.\\
Autre justification : $\dfrac{1}{3}=0,3333\cdots$ avec une infinité de 3 après la virgule, donc $\dfrac{1}{3}$ n'est pas décimal.
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Nombres rationnels}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
$a$ est un nombre rationnel s'il peut d'écrire sous la forme $\dfrac{p}{q}$ où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs, $q$ non nul.\\
L'ensemble des nombres rationnels est noté $\mathbb{Q}$.
\end{bclogo}

Exemples : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\dfrac{2}{3}$ est rationnel

\item $2,33=\dfrac{233}{100}$ donc 2,33. est rationnel.

\item $\sqrt{2}$ ou $\pi$ ne sont pas des nombres rationnels. 
\end{enumerate}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Tout nombre rationnel $r$ a une forme irréductible \textbf{unique}, c'est-à-dire qu'il existe un unique entier relatif $a$ et un unique entier naturel $b$ tel que $r=\dfrac{a}{b}$ et tels que le seul diviseur commun à $a$ et $b$ soit 1 (on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux).
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{red}{Nombres réels}}
Nous avons vu qu'il existait des nombres qui n'étaient pas rationnels.\\
Historiquement, cela a posé une crise chez les grecs, avec le nombre $\sqrt{2}$ ; d'après le théorème de Pythagore, la diagonale d'un carré de côté 1 vaut $\sqrt{2}$ ; pour les grecs, tout dans la nature est mesurable, mais les gros ne conçoivent que les nombres entiers et les nombres rationnels. Or, ils ont montré que $\sqrt{2}$ n'était pas rationnel, donc ont trouvé une longueur non mesurable avec les nombres connus...\\
Ils n'ont pas su régler le problème !

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On considère une droite, munie d'un repère $(O~;~I)$.

\bigskip
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)(0.25,0)(0.66667,0)(1.414,0)(-1.4,0)
\uput[u](0,0){O}\uput[u](1,0){I}\uput[u](3,0){$M$}
\uput[d](0.25,0){0.25}
\uput[d](0.66667,0){$\dfrac{2}{3}$}
\uput[d](1.414,0){$\sqrt{2}$}
\uput[d](0,0){0}\uput[d](1,0){1}
\uput[d](-1.4,0){$x_{M}$}
\uput[u](-1.4,0){abscisse de $M$}
\end{pspicture}

\bigskip

L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des abscisses des points de cette droite, appelée droite numérique (ou droite des réels).\\
À chaque point correspond un nombre unique (son abscisse) et à chaque nombre correspond un point unique.\\
L'ensemble des nombres réels est noté $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Tous les nombres que vous connaissez sont des nombres réels.

\item $\pi$, $\sqrt{2}$ sont des nombres réels, mais ils ne sont pas rationnels
\end{enumerate}

Nous avons les inclusions suivantes :
\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}}$
\end{center}


\newpage

Schématiquement :

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.,-8.)(12.,8.)
\multips(0,-8)(0,2.0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-3.,0)(17.,0)}
\multips(-3,0)(2.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-8.)(0,8.)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=yellow!50,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(8.254735482919891,8.008786293376586)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=blue!60,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(6.394389836241333,6.073567434204256)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=cyan!60,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(5.075935434004827,4.665310335892541)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(3.65326652828704,3.057181107932999)}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt,fillcolor=white!20,fillstyle=solid,opacity=0.7](0,0)(2.5487066530417866,1.5798435375882847)}
\rput[tl](2.4732533333333335,1.082213333333336){$\mathbb{N}$}
\rput[tl](4.03496,2.1140552380952395){$\mathbb{Z}$}
\rput[tl](5.262015238095239,3.1737847619047623){$\mathbb{D}$}
\rput[tl](6.433295238095241,4.038300952380951){$\mathbb{Q}$}
\rput[tl](7.409361904761908,5.51634476190476){$\mathbb{R}$}
\rput[tl](1.0509847619047612,0.7475619047619076){2}
\rput[tl](2.4453657142857144,-0.20061714285713902){5}
\rput[tl](-0.65016,1.7236285714285733){-3}
\rput[tl](2.696354285714286,-1.9296495238095182){-31}
\rput{0.}(2.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt](0,0)(3.65326652828704,3.057181107932999)}
\rput[tl](1.38563619047619,4.177739047619047){2,335}
\rput[tl](1.9991638095238093,5.9){$\frac13$}
\rput[tl](-0.9011485714285733,7.133826666666663){$\sqrt{2}$}
\rput[tl](3.979184761904763,7.133826666666663){$\pi$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Intervalles de $\mathbb{R}$}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Symboles d'inégalités}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Rappel : }}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

 $<$ signifie \og{}est strictement inférieur à\fg{}

\bigskip

\noindent  $\leqslant $ signifie \og{}est  inférieur \textbf{ou égal} à\fg{}

\noindent  $>$ signifie \og{}est strictement supérieur à\fg{}

\bigskip

\noindent  $\geqslant $ signifie \og{}est  supérieur \textbf{ou égal} à\fg{}

\end{multicols}

\end{bclogo}
\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2<7$ est vrai

\item $7<7$ est faux

\item $2\leqslant 7$ est vrai

\item $7\leqslant 7$ est vrai

\item $5\geqslant 5$ est vrai car $5=5$

\item $7>2$ est vrai
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles fermés}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leq x\leq b $ est un intervalle, noté $[a~;~b]$. $a$ et $b$ sont les bornes de cet intervalle.
\end{bclogo}

\bigskip

On le représente en rouge sur la droite réelle de la façon suivante : 

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(3.8,0.5)(4,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(3.8,-0.5)(4,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}\\\\
Cet ensemble est un intervalle de $\mathbb{R}$. $a$ et $b$ sont ses bornes. Cet intervalle contient ses bornes. On dit qu'il est fermé.\\


\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles semi-ouverts}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x\leq b $ est un intervalle, noté $]a~;~b]$. $a$ et $b$ sont les bornes.

\bigskip

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant  x< b $ est un intervalle, noté $[a~;~b[$. $a$ et $b$ sont les bornes.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(3.8,0.5)(4,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(3.8,-0.5)(4,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\end{pspicture}

\bigskip
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(0.2,-0.5)(0,-0.5)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4,-0.5)\psline(4,0.5)(4.2,0.5)
\end{pspicture}

%
%\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles ouverts}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
 Soient $a$ et $b$ deux réels.
 
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a< x< b $ est un intervalle, noté $]a~;~b[$. $a$ et $b$ sont les bornes.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}\uput[dr](4,0){b}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(4,0)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4,-0.5)\psline(4,0.5)(4.2,0.5)
\end{pspicture}


\subsection{\textcolor{red}{Intervalles infinis}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalle illimité à droite}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a<  x$ est un intervalle, noté $]a~;~+\infty[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant   x$ est un intervalle, noté $[a~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
%\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(10,0)
\end{pspicture}\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Le symbole $\infty$ , qui se lit \og{} infini \fg{} a été inventé par le mathématicien John Wallis (1616-1703). \textbf{Ce n'est pas un nombre réel}.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Intervalles illimités à droite}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a<  x$ est un intervalle, noté $]a~;~+\infty[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $a\leqslant   x$ est un intervalle, noté $[a~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\begin{pspicture}(-6,-1)(11,1)
\psline(-4,0)(10,0)
\psline(-0.2,0.5)(0,0.5)\psline(0,0.5)(0,-0.5)\psline(-0.2,-0.5)(0,-0.5)
%\psline(4.2,0.5)(4.2,0.5)\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4.2,-0.5)(4.2,-0.5)
\uput[dl](0,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](0,0)(10,0)
\end{pspicture}\



\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $x< a$ est un intervalle, noté $]-\infty~;~a[$.

\noindent L'ensemble des réels $x$ tels que $x\leqslant  a$ est un intervalle, noté $[-\infty~;~+a]$.
\end{bclogo}

\begin{pspicture}(-11,-1)(6,1)
\psline(-10,0)(6,0)
\psline(4,0.5)(4,-0.5)\psline(4,-0.5)(4.2,-0.5)\psline(4,0.5)(4.2,0.5)
\uput[dl](4,0){a}
\psline[linecolor=red,linewidth=3pt](-10,0)(4,0)
%\uput[u](-2,0){$]-\infty~;~a[$}
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le crochet est fermé, tourné vers l'intérieur, si l'on garde le nombre et ouvert, vers l'extérieur, si l'on rejette le nombre.

\item  $\infty$ n'est pas un nombre réel, donc le crochet du côté de l'infini est \textbf{\textcolor{red}{toujours}} tourné vers l'extérieur.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Valeur absolue d'un nombre}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $x$ un nombre réel. On appelle valeur absolue de $x$, le nombre noté $\left\vert x \right\vert$, défi par $\left\vert x \right\vert=\begin{cases}x\text{ si }x\geqslant 0\\-x\text{ si }x\leqslant 0\end{cases}$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
$\left\vert 3 \right\vert=3$~;~$\left\vert -7 \right\vert=-(-7)=7$~;~$\left\vert 0 \right\vert=0$

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Interprétation graphique}} : sur la droite gradués (droite des réels), $\left\vert x \right\vert$ est la distance de $x$ à 0.

\bigskip

\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.5,0)
\uput[u](1.5,0){$x$}
\psline{<->}(0,0.2)(1.5,0.2)
\uput[u](0.75,0.2){$\left\vert x \right\vert$}
\end{pspicture}

\psset{unit=1}
\bigskip
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-0.4,0)
\uput[d](-0.4,0){$x$}
\psline{<->}(0,0.2)(-0.4,0.2)
\uput[u](-0.2,0.2){$\left\vert x \right\vert$}
\end{pspicture}

En effet, une distance est toujours un nombre positif.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $a$, $x$ et $r$ des nombres avec $r\geqslant 0$.\\
On appelle distance entre $a$ et $x$ le nombre $\left\vert a-x \right\vert$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\left\vert a-x \right\vert=\left\vert x-a \right\vert$.

\bigskip
\psset{unit=1}
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,1)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.2,0)(1.7,0)
\uput[d](1.2,0){$a$}\uput[d](1.7,0){$x$}
\psline{<->}(1.2,0.2)(1.7,0.2)
\uput[u](1.45,0.2){$\left\vert x-a\right\vert$}
\end{pspicture}

\item $x\in[a-r~;~a+r]$ si, et seulement si, $\left\vert x-a \right\vert\leqslant r$.

\bigskip
\psset{unit=1}
\psset{xunit=4,yunit=1}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(2.5,1)
\psline{->}(-1.5,0)(2.5,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(1,0)
\uput[d](0,0){O}\uput[d](1,0){I}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.8,0)
\uput[d](1.8,0){$a$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](1.5,0)(2.1,0)
\uput[d](1.5,0){$a-r$}\uput[d](2.1,0){$a+r$}
\psline[linecolor=red]{<->}(1.5,0.2)(1.8,0.2)\psline[linecolor=red]{<->}(1.8,0.2)(2.1,0.2)
\uput[u](1.65,0.2){r}\uput[u](1.95,0.2){r}
\end{pspicture}
\end{enumerate}\end{bclogo}
\subsection{\textcolor{red}{Calculs sur les puissances}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Règles de calcul}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $a$ un nombre quelconque. Pour $n$  entier naturel non nul, on pose : $a^n=\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n\text{ facteurs }a}$.

\noindent Par convention : $a^0=1$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :} }

\noindent $2^5=\underbrace{2\times 2\cdots\times 2}_{5\text{ facteurs }2}=32$

\noindent $3^0=1$

\noindent $\nombre{2006}^0=1$

\noindent $\nombre{1789}^1=\nombre{1789}$

\noindent Le nombre de joueurs de tennis au premier tour du tournoi de Roland Garros est de $2^7$, soit 128.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Si $n$ est un entier positif et si $a$ est différent de $0$, on pose: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n }$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textcolor{red}{Exemples :}

\noindent  $5^{-3}=\dfrac{1}{5^3}=\dfrac{1}{125}$

\noindent $2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}$

\noindent $7^{-2}=\dfrac{1}{7^2}=\dfrac{1}{49}$

\noindent $10^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{\nombre{1000}}$.

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Rappel} :}  $10^n=1\underbrace{000\cdots 0}_{n\text{ zéros }}$ ; $10^{-n}=0,\underbrace{000\cdots 1}_{n\text{ chiffres}}$

\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règles de calcul}}
Soient $n$ et $p$ des entiers relatifs et $a$ et $b$ des nombres quelconques. Alors : 
\begin{center}
$\begin{array}{*{3}{l}}
a^n\times a^p&=&a^{n+p}\\
\dfrac{a^n}{a^p}&=&a^{n-p}~(a\neq 0)\\
a^n\times b^n&=&(ab)^n\\
(a^n)^p&=&a^{np}\\
\end{array}$
\end{center}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Justification}} :

\begin{enumerate}
\item $a^n\times a^p=\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n\text{ facteurs }a}\times \underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{p\text{ facteurs }a}=\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n+p\text{ facteurs }a}$

\item D'après la règle précédente, $a^{n-p}\times a^p=a^{(n-p)+p}=a^n$ donc $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$

\item $a^n\times b^n=\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n\text{ facteurs }a}\times \underbrace{b\times b\times \cdots\times b}_{n\text{ facteurs }b}=\underbrace{(a\times b)\times (a\times b)\times \cdots\times (a\times b)}_{n\text{ facteurs }(a\times b)}=(ab)^n$

\item $\left(a^n\right)^p=\underbrace{a^n\times ^na\times \cdots\times a^n}_{p\text{ facteurs }a^n}\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n\text{ facteurs }a}\times \underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n\text{ facteurs }a}\times \cdots\times \underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{n\text{ facteurs }a}=\underbrace{a\times a\times \cdots\times a}_{np\text{ facteurs }a}=a^{np}$
\end{enumerate}



\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} :

\noindent Pour calculer des puissances avec une calculatrice, on utilise la touche $x^y$ ou $y^x$  ou une touche avec une flèche verticale pointée vers le haut ou le symbole  $\widehat{}$ .



\subsubsection{\textcolor{blue}{Notation scientifique}}

On utilise cette notation principalement pour noter les grands nombres ou les très petits nombres, principalement en physique ou en biologie.

\noindent Elle est basée sur  les puissances de 10 : 

\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un nombre est écrit en notation scientifique s'il est sous la forme :  $\boxed{\pm a\times 10^n}$  où $a$ est un nombre compris entre 1 et 10 , 10 exclu, et $n$ est un entier relatif.
\end{bclogo}

\bigskip

Pour trouver la valeur de $a$, il suffit de déplacer la virgule et on adapte alors l'exposant de 10 pour retrouver le nombre de départ.

\bigskip

\textcolor{red}{Exemples :}
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\rowcolor{orange!70} \text{Nombre}&\text{Notation scientifique de ce nombre}\\
\hline
123	 &1,23\times 10^2\\
\hline
\nombre{458978}&\nombre{4,58978}\times 10^5\\
\hline
0,124&1,24\times 10^{-1}\\
\hline
-548&-5,48\times 10^2\\
\hline
3,14&3,14\times 10^0\\
\hline
25\times 10^3&2,5\times 10^4\\
\hline 	 
\end{array}$
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Notation scientifique sur la calculatrice :}}

\noindent La touche qui permet d'écrire un nombre en notation scientifique est la touche  \fbox{\textbf{EE}} ou \textbf{EXP} ou $\boxed{\bold{\times 10^x}}$\\
Il faut faire attention à ce que l'on lit à l'écran et qu'il faut savoir retranscrire par écrit !

\bigskip

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{orange!70} \text{Nombre}&\text{Notation scientifique}&\text{ce qui apparaît à l'écran}\\
\hline
354&	3,54\times 10^2&3.54~02  \text{ ou }   3.54 ^{02 } \text{ ou } 3.54 \text{ E }02\\
\hline
0,0023&2,3\times 10^{-3}& 2,3~-03 \text{ ou } 2,3^{ -03 }\text{ ou } 2.3 \text{ E }-03\\
\hline
- 25,35&-2,535\times 10^1&-2.535~01 \text{ ou }  -2.535^{ 01 }\text{ ou }-2.535 \text{ E }01\\
\hline
\end{array}$
\end{center}











\label{fin}
\end{document}  