\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\everymath{\displaystyle}
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix }}
\lfoot{ 24 mai 2019}

\begin{document}
	
	\begin{tabular}{p{13cm}lr}
		 &\hfill   24 mai 2019\\
		NOM (en \textbf{caractères majuscules d'imprimerie}) : &\\
		\\
		PRÉNOM : &\\
		\\
		CLASSE : 2\up{nde} \no \dots &
	\end{tabular}
	
	\vspace{4cm}
	\fbox{\begin{minipage}{16cm}
			\begin{center}
				\huge Devoir commun de mathématiques \no 2 \\
				2\up{nde} 
				
	\end{center}\end{minipage}}\\
\\
\\
\\

		\begin{minipage}{16cm}
			\begin{center}
				\Large Durée : $2$ heures  
				
	\end{center}\end{minipage}\\
	
	\vspace{4cm}
	\noindent Les exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l'ordre voulu. \\
	
	\noindent L'usage de la calculatrice est autorisé, mais le prêt de calculatrice est interdit. \\
	
	\noindent La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation de la copie. \\
	
	\noindent \textbf{Tout résultat devra être soigneusement justifié.} \\
	
	\noindent \textbf{Les élèves d'UPE2A sont autorisés à utiliser un dictionnaire}.  



\newpage


\subsection{}

	\emph{Les quatre questions suivantes sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
\item Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points tels que $A$ est l'image de $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$. Que peut-on en déduire?

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Pour les questions suivantes, on se place dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$.


\item Soient les points $M(-2~;~5)$ et $N(5~;~4)$. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{NM}$.

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\bigskip\item Soient les vecteurs
$$
\hspace{8mm}
\vec{u}\begin{pmatrix}
-2\\
3
\end{pmatrix}
\hspace{8mm}
\vec{v}\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\\
-\frac{1}{3}
\end{pmatrix}
\hspace{8mm}
\vec{w}\begin{pmatrix}
\frac{1}{3}\\
-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$
Y a-t-il des vecteurs colinéaires dans cette liste? Si oui, lesquels? Justifier.

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\item Soient les points $R(1;0)$, $S(4;6)$ et $T(101;200)$. Les trois points $R$, $S$ et $T$ sont-ils alignés? Justifier.

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\end{enumerate}

\newpage

\subsection{}Voici quatre paraboles représentées dans un repère orthonormé :

\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-4.)(6.,11.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.5,-3.5)(5.5,10.5)
\psplot[linewidth=1pt,plotpoints=200,linestyle=dashed]{-7.0}{6.0}{(x+2.0)^(2.0)-3.0}
\psplot[linewidth=1pt,plotpoints=200,linestyle=dashed]{-7.0}{6.0}{(x-1.0)^(2.0)-2.0}
\psplot[linewidth=1pt,plotpoints=200,linestyle=dashed]{-7.0}{6.0}{(-(x+1.0)^(2.0))/2.0+3.0}
\psplot[linewidth=1pt,plotpoints=200]{-7.0}{6.0}{(-(x-1.0)^(2.0))/4.0+12.0}
\uput[ul](-6,1){$\mathscr{C}_2$}
\uput[u](-5,7){$\mathscr{C}_3$}
\uput[r](3,3){$\mathscr{C}_1$}
\uput[r](2,-2){$\mathscr{C}_4$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6.5,-3.5)(5.5,10.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{ La courbe $C_2$ n'a pas pu être représentée entièrement sur la feuille mais correspond bien à une parabole.\\}

Associer chaque polynôme à sa courbe représentative en justifiant.\\
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&(x+2)^2-3\\
g(x)&=&(x-1)^2-2\\
h(x)&=&-\frac{1}{2}(x+1)^2+3\\
i(x)&=&-\frac14(x-1)^2+12
\end{eqnarray*}

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\subsection{}	
La jeune Mona a des pièces de monnaie dans les poches de son pantalon :

\begin{itemize}
	\item dans la poche gauche, elle dispose de deux pièces de 1 euros et d'une pièce de 50 centimes ;
	\item dans la poche droite, elle dispose d'une pièce de 50 centimes, une pièce de 1 euro et une pièce de 2 euros.
\end{itemize}
    
Elle souhaite acheter un journal coûtant 2 euros. Ainsi, elle extrait au hasard une pièce de la poche gauche puis une pièce de la poche droite de son pantalon.

Mona a autant de chances de tirer chaque pièce d'une même poche.

\begin{enumerate}
	\item Illustrer ces deux tirages à l'aide d'un arbre.

		\vspace{8cm}
	\item Quelle est la probabilité que les deux pièces tirées correspondent au prix exact du journal ?

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\bigskip	\item Quelle est la probabilité que les deux pièces tirées lui permettent d'acheter le journal tout en recevant de la monnaie en retour ?

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\bigskip	\item Quelle est la probabilité que les deux pièces tirées ne lui permettent pas d'acheter le journal ?

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\bigskip\end{enumerate}


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\subsection{}	On considère un repère $(O~;~I~;~J)$ et on considère les points $A(-2~;~-2)$, $B(2~;~1)$, $C(5~;~0)$ $D(0,5~;~1,5)$ et $E(3~;~2,5)$

\begin{enumerate}
	\item Placer les points sur la figure ci-dessous. On complétera la figure par la suite.

		\begin{center}
		\psset{unit=0.7}
		\begin{pspicture}(-3,-4)(5,4)
		\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-4)(6,4)
\uput[ul](0,0){O}
\uput[r](1,0){I}
\uput[l](0,1){J}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,1)(0,0)(1,0)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3,-4)(5,4)
\end{pspicture}

		\end{center}
	\item Les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont-elles parallèles ? Justifier.

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	\item En utilisant les coordonnées du vecteur $\V{AB}$, calculer les coordonnées du point $F$ tel que $ABCF$ soit un parallélogramme.

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	\item Déterminer les coordonnées du vecteur $\V u$ tel que $\V u=\frac12\V{AC} + \V{AD}$.

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	\item Le point $G$ est défini par $\V{AG}=\frac12\V{AC}+\V{AD}$. Montrer que les coordonnées du point $G$ sont $G(4~;~2,5)$.

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\end{enumerate}

\subsection{}Pour accompagner la sortie d'un film, une entreprise fabrique des figurines à l'image du héros et souhaite déterminer le prix de vente d'une figurine, afin de dégager le bénéfice le plus important.

On sait que:

\begin{itemize}
	\item Le coût de fabrication d'une figurine est 6 euros.

	\item Le prix de vente d'une figurine est compris entre 6 et 20€.
	\item Le bénéfice $B$ en milliers d'euros, pour un prix de vente $x$ en euros, est donné par la relation :

	\[B(x) = - 15x^2 + 390x - 1800\]

	Cette relation est valable pour $x$ dans l'intervalle $[6~;~20]$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Pourquoi l'entreprise a-t-elle déjà décidé que le prix de vente minimum d'une figurine doit être de 6 euros ?

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\newpage


	\item
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que pour tout $x \in [6~;~20]$,
$B(x) = - 15(x - 13)^2 + 735$

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			\item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[6~;~20]$.

				\vspace{5cm}


			\item Quel est le bénéfice maximal dégagé par l'entreprise ? Pour quel prix de vente d'une figurine est-il atteint ?

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		\end{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate} 
			\item Développer l'expression $(x - 16)( - 15x + 150)$.

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			\item En déduire que, pour tout $x \in [6~;~20]$, $B(x) - 600 = (x - 16)( - 15x + 150)$.

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			\item Résoudre l'équation $B(x) = 600$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'énoncé.

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		\end{enumerate}

	\newpage
	\item On considère l'algorithme suivant:

		\fbox{ 		\begin{minipage}{6cm}
			$B\leftarrow-15x^2+390x-1800$\\
			Si $\cdots$\\
			Afficher \og{}Rentable\fg{}\\
			Sinon\\
			afficher \og{}non rentable\fg{}\\
			fin si
		\end{minipage}}

		
		\begin{enumerate}
			\item Compléter cet algorithme.

			\item Qu'affiche cet algorithme pour $x=15$ ?

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\bigskip		\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}	Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voyage leur a envoyé un questionnaire. Parmi les 500 réponses reçues :

\begin{itemize}
	\item 55\% des personnes déclarent partir en vacances en famille ;
	\item Parmi les clients qui ne partent pas en famille, 60\% préfèrent les voyages organisées et $\frac15$ préfèrent les croisières.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Compléter le tableau suivant sans justifier :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
			& Voyage organisé & Club de vacances & Croisière & Total\\\hline
			En famile\par\strut & & & 65 & \\\hline
			Seul ou entre amis & & & & \\\hline
			Total\par\strut & & 182 & & 500\\\hline
\end{tabularx}

	\item On choisit un client au hasard parmi les 500 qui ont répondu au questionnaire. On donne les événements suivants :

		$A$ :	\og le client choisi part en famille\fg.

		$B$ : \og le client choisi préfère les croisières\fg.

		$C$ : \og le client choisi part en club de vacances\fg.

		Calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(\overline C)$.

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\newpage


\bigskip	\item
		\begin{enumerate}
			\item Définir par une phrase les évènements $A\cap B$ et $A\cup B$.

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\bigskip			\item Calculer $P(A\cap B)$.

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			\item Calculer $P(A\cup B)$.

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\bigskip		\end{enumerate}
	\item On choisit au hasard une personne qui a déclaré partir en vacances en famille. Quelle est la probabilité $p$ qu’elle préfère les clubs de vacances ?

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\bigskip

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document} 
