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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : devoir sur feuille}}\end{center}

\emph{\og{}Arithmétique, algèbre, géométrie, trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connu est un insensé ! Il mériterait l'épreuve des plus grands supplices.\fg{}, d'après le Comte de Lautréamont (1846 -1870))}

\subsection{}
Soit l'expression $f (x)=(-1+2x)^2 -(3-6x)(1-x)$ 

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Écrire et transformer}} :

\begin{enumerate}
\item Montrer en développant que : $f (x)=-2x^2+5x-2$.

\item Montrer à l’aide d’une factorisation que : $f (x)=(1-2x) (x-2)$. \\
On pourra remarquer que $(-1+2x)^2=(-(1-2x))^2=(1-2x)^2$ et que $(3-6x)=3(1-2x)$

\item Montrer que pour tout réel $x$ : $f(x)=-2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :}}

\begin{enumerate}
\item Calculer $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f\left(\dfrac{5}{4}\right)$.

\item Montrer que $f\left(\sqrt{2}\right)=5\sqrt{2}-6$.

\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :

\NumTabs{3}
\begin{inparaenum}[a)]
\item $f(x)=0$
\tab\item $f(x)=\dfrac{9}{8}$
\tab\item $f(x)=(x-2)$
\end{inparaenum}

\item Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et le réel pour lequel il est atteint.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=4x^2-25-(2x-5)(3+2x).\]

\begin{enumerate}
\item 1. Calculer $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.

\item Factoriser l’expression de $f (x)$.

\item Résoudre l’inéquation $f (x) \leqslant 0$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Le plan est muni du repère orthonormé (O , I , J).
On considère les points A(2~;~1), B(1~;~-3) et C (-6~;~3).


\begin{enumerate}
\item   Placer les points A,B et C dans le repère (O , I , J). On complètera la figure au fur et à mesure de l’exercice. 

\item Calculer les distances AB, AC et BC.

\item Prouver que le triangle ABC est rectangle en A.

\item Calculer l’aire du triangle ABC.

\item Calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un rectangle.
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de l'inéquation $\dfrac{1}{5x-1}\leqslant \dfrac{1}{x+2}$ ?

\item Montrer que l'inéquation ci-dessus est équivalente à  l'inéquation $\dfrac{-4x+3}{(5x-1)(x+2)}\leqslant 0$.

\item Résoudre alors l'inéquation donnée à l'aide d'un tableau de signes.\\
 (rappel : mettre une double barre sous chaque valeur interdite).

\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'un diagramme}}


   Une campagne de prévention routière s'intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l'éclairage de 400 véhicules :
   \begin{itemize}
      \item 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage.
      \item 140 des 400 véhicules présentent un défaut d'éclairage.
      \item 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d'éclairage. 
   \end{itemize}
   \begin{enumerate}
      \item Recopier puis compléter le diagramme de Venn ci-dessous avec des nombres pour représenter la situation.
	   \begin{center}
	            \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.65cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-3.14,-1)(4.5,2.92)
	   \rput{-0.21}(0.71,0.99){\psellipse(0,0)(3.29,1.87)}
	   \rput{0.9}(-0.28,0.98){\psellipse(0,0)(1.54,0.86)}
	   \rput{1.11}(1.63,0.94){\psellipse(0,0)(1.37,0.91)}
	   \uput[dl](-0.5,1.5){F}
	   \uput[dl](2,1.5){E}
	\end{pspicture*}
	\end{center}
    \item On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que : 
	\begin{enumerate}
        \item le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d'éclairage ?
         \item le véhicule présente un défaut d'éclairage mais pas de défaut de freinage ?
         \item le véhicule ne présente aucun des deux défauts ?
         \item le véhicule présente au moins un des deux défauts ?
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}



\subsection{}

   Voici les résultats d'un sondage effectué en 1999 auprès de 2\,000 personnes, à propos d'Internet : 
   \begin{itemize}
      \item 40\% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 35\% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 30\% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85\% ne sont pas intéressées par Internet. 
   \end{itemize} 
   \begin{enumerate}
      \item Reproduire et compléter le tableau suivant : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
            & intéressées par Internet & non intéressées par internet & \textbf{total} \\
            \hline 
            moins de 30 ans & & & \\
            \hline 
            de 30 à 60 ans & & & \\
            \hline 
            plus de 60 ans & & & \\
            \hline 
            \textbf{total} & & & \textbf{2\,000} \\
            \hline 
\end{tabularx}      \item On choisit au hasard une personne parmi les 2\,000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements :
      \begin{itemize} 
         \item[A :]\og{\sl la personne interrogée a moins de 30 ans}\fg,
         \item[B :] \og{\sl la personne interrogée est intéressée par Internet}\fg. 
      \end{itemize}
      \begin{enumerate}
         \item Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $\overline{A}$ puis calculer $P(\overline{A})$. 
         \item Définir par une phrase l'événement $A\cap B$ puis calculer $P(A\cap B)$. En déduire $P(A\cup B)$. 
      \end{enumerate}
      \item \textbf{On sait maintenant} que la personne interrogée est intéressée par Internet.\\               
          Quelle est la probabilité qu'elle ait plus de 30 ans ? 
   \end{enumerate} 

\label{fin}
\end{document}  