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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Racine carrée d'un nombre positif}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{blue}{Définition} }
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif, noté $\sqrt{a}$  , dont le carré vaut $a$.

\noindent Autrement dit : $\left\{\begin{array}{l}a\geqslant 0\\\sqrt{a}\geqslant 0\\\sqrt{a}^2=a\end{array}\right.$   
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :  
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\sqrt{9} =3$

\item $\sqrt{25}  = 5$

\item $\sqrt{2} =\sqrt{2}$ (on ne peut pas écrire ce nombre de manière plus simple)

\item $\sqrt{0}  = 0$

\item $\sqrt{1} =1$

\item $\left(\sqrt{2}\right)^2=2$

\item $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$ (\danger il ne faut pas simplifier trop vite ; la racine carrée d'un nombre est un nombre positif).

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Racine carrée d'un produit ou d'un quotient}}
   
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient deux nombres $a$ et $b$ positifs.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$

\item $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ si $v\neq 0$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage} 

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\sqrt{ab}^2=ab$ et $\left(\sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)^2=\sqrt{a}^2\times \sqrt{b}^2=ab$.

\noindent $\sqrt{ab}$ et $\sqrt{a}\sqrt{b}$ sont deux nombres positifs dont le carré est $ab$ donc ces deux nombres sont égaux par définition de la racine carrée d'un nombre.

\item De même : $\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2=\dfrac{a}{b}$ et $\left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\dfrac{\sqrt{a}^2}{\sqrt{b}^2}=\dfrac{a}{b}$ donc $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
\end{enumerate}

\danger : \textbf{\textcolor{red}{Remarque }}: il n' pas de règle de calcul pour la racine carrée d'une somme.

Pour $a$ et $b$ positifs, $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}=\sqrt{b}$.

Par exemple : $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ mais $\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7$ donc $\sqrt{16+9}\neq \sqrt{16}+\sqrt{9}$

\subsection{\textcolor{blue}{Simplification d'écriture}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous nombres $a$ et $b$ positifs, $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

En effet : $\sqrt{a^2b}=\sqrt{a^2}\sqrt{b}=a\sqrt{b}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}}: 
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{75}  = \sqrt{25 \times  3}   =\sqrt{ 5^2\times  3}  =\boxed{\textcolor{red}{5\sqrt{3}}} $

\item $\sqrt{288}=\sqrt{2\times 144}=\sqrt{2\times 2\times 72}=\sqrt{4\times 72}=\sqrt{4\times 9\times 8}=\sqrt{4\times 9\times 4\times 2}=\sqrt{2^2\times 3^2\times 2^2\times 2}\\
=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3^2}\times \sqrt{2^2}\times \sqrt{2}=2\times 3\times 2\sqrt{2}=\boxed{\textcolor{red}{12\sqrt{2}}}$
\end{enumerate}


\newpage



\subsection{\textcolor{blue}{Racine carrée et géométrie}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Diagonale d'un carré}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La diagonale d'un carré de côté $a$ a une longueur égale à $d=a\sqrt{2}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{center}
\psset{unit=3}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.2)
\psframe(0,0)(1,1)
\uput[r](1,0.5){$a$}
\uput[d](0.5,0){$a$}
\psline(0,0)(1,1)
\uput[l](0.5,0.5){$d$}
\end{pspicture}
\end{center}

La diagonale tracée sépare le carré en deux triangles rectangles isocèles.

\noindent D'après le théorème de Pythagore, on a $d^2=a^2+a^2=2a^2$ d'où $d=\sqrt{2a^2}=\boxed{\textcolor{red}{a\sqrt{2}}}$.


\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{red}{Diagonale d'un cube}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La diagonale d'un cube de côté $a$ pour longueur $d=a\sqrt{3}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration }}: 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.5)
\psframe(0.3,0.2)(4,4)%ABFE
\psline(4,0.2)(5.4,1.4)(5.4,5.1)(4,4)%BCGF
\psline(5.4,5.1)(1.7,5.1)(0.3,4)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(1.8,1.3)(5.4,1.4)%ADC
\psline[linestyle=dashed](1.8,1.3)(1.8,5.1)%DH
\uput[dl](0.3,0.2){B} \uput[dr](4,0.2){C} \uput[r](5.4,1.4){D} \uput[ul](1.8,1.3){A} 
\uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.1){H} \uput[u](1.7,5.1){E} 
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(5.4,1.4)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.2)(5.4,5.1)
\end{pspicture}
\end{center}
On considère  la diagonale [BD] de la face ABCD et la diagonale du cube [BH].

Le triangle BDH est rectangle en D. D'après le théorème de Pythagore, on a : 

\noindent $BH^2=BD^2+DH^2=(a\sqrt{2})^2+a^2=2a^2+a^2=3a^2$ d'où $BH=\sqrt{3a^2}=\boxed{\textcolor{red}{a\sqrt{3}}}$


\end{multicols}

\newpage


\subsubsection{\textcolor{red}{Hauteur d'un triangle équilatéral}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ vaut : $h=a\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\begin{center}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(5.,4.)
\pspolygon(0.,0.)(4.,0.)(2.,3.4641016151377544)
\psline[linecolor=zzttqq](0.,0.)(4.,0.)
\psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(2.,3.4641016151377544)
\psline[linecolor=zzttqq](2.,3.4641016151377544)(0.,0.)
\psline(2.,3.4641016151377544)(2.,0.)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\uput[d](0,0){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.,0.)
\uput[d](4,0){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,3.4641016151377544)
\rput[bl](2.08,3.66){\blue{$C$}}
\rput[bl](1.98,-0.3){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](3.26,1.9){\zzttqq{$a$}}
%\rput[bl](0.72,1.9){\zzttqq{$b$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.,0.)
\rput[bl](2.08,0.2){\blue{$H$}}
\rput[bl](1.68,1.74){$h$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
ABC est équilatéral de côté $a$ ; on trace la hauteur $[CH]$ de longueur $h$.

\noindent Comme ABC est équilatéral, la hauteur $[CH]$ est aussi une médiane donc $AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}$.

\noindent Le triangle CAH est rectangle en H.

\noindent D'après le théorème de Pythagore, $CH^2-AC^2-AH^2=a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=a^2-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{4a^2-a^2}{4}=\dfrac{3a^2}{4}$.

\noindent On en déduit : $h=CH=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}}$


\end{multicols}
\subsection{\textcolor{blue}{Équation $\boldmath{x^2 = b}$}}
On considère l'équation $x^2  = b$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $b < 0$,  l'équation $ x^2  = b$ n'a pas de solution ( car un carré ne peut pas être négatif).

\item Si $b=0$, l'équation $ x^2  = b$ a pour solution $x=0$.

\item Si $b > 0$, l'équation  $x^2  = b$ a deux solutions : $x = -\sqrt{b}$  et $x = \sqrt{b}$ 
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Exemples : 
\begin{enumerate}
\item l'équation $x^2=36$ a deux solutions : $x=-\sqrt{36}=-6$ et $x=\sqrt{36}=6$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-8~;~6\}}}$

\item l'équation $x^2=7$ a pour solutions $x=-\sqrt{7}$ et $x=\sqrt{7}$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{7}~;~\sqrt{7}\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Comparaison de deux racines carrées}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $a$ et $b$ sont deux nombres positifs, $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ sont classés dans le même ordre que $a$ et $b$.

\noindent Si $a<b$, alors $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

\noindent Si $\sqrt{a}<\sqrt{b}$, alors $a<b$.
\end{bclogo}
 
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :

\noindent On utilise la relation $b-a=\sqrt{b}^2-\sqrt{a}^2=\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On suppose $a<b$ donc $b-a>0$ ; $\sqrt{b}+\sqrt{a}>0$ comme somme de nombres positifs, donc $\sqrt{b}-\sqrt{a}>0$ car le produit de deux nombres positifs est positif.

\item De même, si $\sqrt{a}<\sqrt{b}$, alors $\sqrt{b}-\sqrt{a}>0$ et $\sqrt{b}+\sqrt{a}>0$ (somme de deux nombre spositifs) donc $b-a>0$ d'où $a<b$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : comparer $2\sqrt{3}$ et $3\sqrt{2}$.

On a : $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\times 3}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{12}$ ; $3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\times 2}=\sqrt{9\times 2}=\sqrt{18}$.

$12<18$ donc $\sqrt{12}<\sqrt{18}$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{3}<3\sqrt{2}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction}}
On évite de laisser une racine carrée au dénominateur d'une fraction.

\noindent On a deux cas :
 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On a une expression du type $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ ; on multiple alors numérateur et dénominateur par $\sqrt{b}$ :


\noindent $\dfrac{a}{\sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}\times \sqrt{b}}=\dfrac{a\sqrt{b}}{\sqrt{b}^2}=\dfrac{a\sqrt{b}}{b}$.

\item On a une expression du type $\dfrac{a}{b+\sqrt{c}}$ ; on multiplie numérateur et dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur (meme expression dans laquelle on remplace + par -, ou réciproquement).


\noindent $\dfrac{a}{b+\sqrt{c}}=\dfrac{a\left(b-\sqrt{c}\right)}{\left(b+\sqrt{c}\right)\left(b-\sqrt{c}\right)}=\dfrac{a\left(b+\sqrt{c}\right)}{b^2-\sqrt{c}^2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a\left(b+\sqrt{c}\right)}{b^2-c}}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}}$.

\item $\dfrac{5}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{5\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^2-\sqrt{3}^2}=\dfrac{5\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=\dfrac{5\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}=\boxed{\textcolor{red}{5\left(2-\sqrt{3}\right)}}$
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}
