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\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Vecteurs et translations (première partie)}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\textcolor{blue}{\tableofcontents}

\subsection{\textcolor{red}{Translations}}
On considère un pentagone dont les cinq sommets sont A, B, C, D, E.
\noindent 
On le déplace en le faisant glisser de façon à ce qu'il garde la même orientation par rapport à la feuille de papier ou au tableau.
\noindent 
Le sommet A vient en A', B vient en B' et C vient en C', etc.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(1,-1)(12,8)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,opacity=0.1](1.54,0.96)(1.48,3.26)(3.66,5.64)(5.38,3.18)(5.36,1.06)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,opacity=0.1](7.22,2.36)(7.16,4.66)(9.34,7.04)(11.06,4.58)(11.04,2.46)
\psline(1.54,0.96)(1.48,3.26)
\psline(1.48,3.26)(3.66,5.64)
\psline(3.66,5.64)(5.38,3.18)
\psline(5.38,3.18)(5.36,1.06)
\psline(5.36,1.06)(1.54,0.96)
\psline(7.22,2.36)(7.16,4.66)
\psline(7.16,4.66)(9.34,7.04)
\psline(9.34,7.04)(11.06,4.58)
\psline(11.06,4.58)(11.04,2.46)
\psline(11.04,2.46)(7.22,2.36)
\psdots[linecolor=blue](1.54,0.96)
\rput[bl](1.62,1.08){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](1.48,3.26)
\uput[l](1.56,3.38){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](3.66,5.64)
\rput[bl](3.74,5.76){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=blue](5.38,3.18)
\rput[bl](5.46,3.3){\blue{$D$}}
\psdots[linecolor=blue](5.36,1.06)
\rput[bl](5.44,1.18){\blue{$E$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.22,2.36)
\rput[l](7.3,2.48){\darkgray{$A'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.16,4.66)
\uput[l](7.24,4.78){\darkgray{$B'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](9.34,7.04)
\rput[bl](9.42,7.16){\darkgray{$C'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](11.06,4.58)
\rput[bl](11.14,4.7){\darkgray{$D'$}}
\psdots[linecolor=darkgray](11.04,2.46)
\rput[bl](11.12,2.58){\darkgray{$E'$}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(1.54,0.96)(7.22,2.36)
\end{pspicture*}
\end{center}
On dit qu'on a effectué une \textbf{\textcolor{red}{translation}} du pentagone.
\noindent 
Faire subir une \textbf{\textcolor{red}{translation}} à un objet revient à le faire glisser en gardant la même orientation.

\newpage
\subsection{\textcolor{red}{Vecteur d'une translation}}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} Dire qu'on a fait glisser la figure ou qu'on lui a fait subir une translation est \textbf{insuffisant}. On ne sait pas où la figure est arrivée !

\noindent Il faut préciser davantage.
\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
En fait, puisque la figure reste inchangée et qu'elle garde la même orientation, il suffit de donner le déplacement d'un \textbf{seul} point de la figure.

\noindent Par exemple, il suffit de dire que A va en A' pour pouvoir construire le polygone A'B'C'D'E'.
\noindent 
On dit que l'on a effectué une translation de vecteur $\overrightarrow{AA'}$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }} on aurait pu dire que B allait en en B' ou C en C'.
\noindent 
La figure a donc aussi subi une translation de vecteur $\overrightarrow{BB'}$ ou $\overrightarrow{CC'}$ etc.
\noindent 

\textbf{\textcolor{red}{Représentation}} : Si $A\neq A'$, le vecteur $\overrightarrow{AA'}$ se représente par une flèche d'origine A et d'extrémité A'.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur =cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Vocabulaire}}
Deux droites ont la même \textbf{\textcolor{red}{direction}} lorsqu'elles sont parallèles.
\noindent 
Deux voitures qui roulent sur une même route rectiligne vont dans la même direction ; elles peuvent aller dans le même \textbf{\textcolor{red}{sens}} ou dans des \textbf{\textcolor{red}{sens}} contraires.
\noindent 
Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par sa \textbf{\textcolor{red}{direction}}, son \textbf{\textcolor{red}{sens}} et sa \textbf{\textcolor{red}{longueur}} AB.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'image d'un point M par une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un point M' tel que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les droites (AA') et (MM') ont la même \textbf{direction} (c'est à dire sont parallèles) ;

\item les demi droites [AA') et [MM') ont le même \textbf{sens} ;

\item les segments [AA'] et [MM'] ont la même longueur; AA' = MM'
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

L'image $M'$ d'un point $M$ par une translation de vecteur $\overrightarrow{\text{AB}}$ se construit au compas.

\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-4.)(8.,7)
\psline{->}(-1.26,0.44)(1.02,3.62)
%\pscircle(4.1,-0.5){3.912901736563289}
\psline(-1.26,0.44)(4.1,-0.5)
%\pscircle(1.02,3.62){5.441801172406063}
\parametricplot{0.623199329934066}{1.2587542052323633}{1.*3.912901736563289*cos(t)+0.*3.912901736563289*sin(t)+4.1|0.*3.912901736563289*cos(t)+1.*3.912901736563289*sin(t)+-0.5}
\parametricplot[linecolor=red]{-0.3832293111587699}{0.08405059811246454}{1.*5.441801172406063*cos(t)+0.*5.441801172406063*sin(t)+1.02|0.*5.441801172406063*cos(t)+1.*5.441801172406063*sin(t)+3.62}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.26,0.44)
\uput[l](-1.26,0.44){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.02,3.62)
\rput[bl](1.1,3.82){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.1,-0.5)
\rput[bl](4.18,-0.3){\blue{$
M$}}
\rput[bl](-1,2.08){$\overrightarrow{\text{AB}}$}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](6.38,2.68)
\rput[bl](6.46,2.8){\darkgray{$
M'$}}
%\rput[bl](2.14,2.44){$c$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](7.277336356642987,1.7837105063371475)
%\rput[bl](7.36,1.98){\xdxdff{$E$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](5.301271710689519,3.223942303137507)
%\rput[bl](5.38,3.42){\xdxdff{$F$}}
%\rput[bl](1.36,-0.34){$a$}
%\rput[bl](-1.72,7.84){$d$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.205893510007096,1.9708461251701577)
%\rput[bl](6.28,2.18){\xdxdff{$G$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](6.440740585736794,4.0983006399179525)
%\rput[bl](6.52,4.3){\xdxdff{$H$}}
%\rput[bl](6.52,2.8){$e$}
%\rput[bl](6.54,3.16){$f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On trace l'arc de cercle de centre B et de rayon AC (car nous devons avoir $AC=BD$).

\noindent On trace l'arc de cercle de centre C et de rayon AB (car nous devons avoir $CD=AB$).

\subsection{\textcolor{red}{Egalité de vecteurs}}
Deux vecteurs  sont égaux s'ils correspondent à la même translation.

\noindent D'après ce qu'on a vu auparavant, on en déduit la définition suivante ;

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$  sont égaux si :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les droites (AB) et (CD) sont parallèles ;

\item les demi-droites [AB) et [CD) ont le même sens :

\item les longueurs AB et CD sont égales.
\end{enumerate}
On écrit alors : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$  
\end{bclogo}

\bigskip

Soient deux vecteurs \textbf{égaux} $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
\noindent 
D'après ce qu'on a vu, les segments [AB] et [CD] sont alors parallèles et de même longueur : on en déduit que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
\noindent 

\noindent \textcolor{red}{Remarque} : sur la figure du I, on a : $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{EE'}$.
\noindent 
 
 \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si, ABDC et un parallélogramme (éventuellement aplati).

\noindent Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si, et seulement si, [AD] et [BC] ont le même milieu.
\end{bclogo}


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,2)(9,5)
\pspolygon[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!10,opacity=0.1](1.68,3.48)(5.76,4.36)(8.12,3.44)(4.04,2.56)
\psline{->}(1.68,3.48)(5.76,4.36)
\psline{->}(4.04,2.56)(8.12,3.44)
\psline(1.68,3.48)(8.12,3.44)
\psline(5.76,4.36)(4.04,2.56)
\psline(1.68,3.48)(5.76,4.36)
\psline(5.76,4.36)(8.12,3.44)
\psline(8.12,3.44)(4.04,2.56)
\psline(4.04,2.56)(1.68,3.48)
\psdots[linecolor=blue](1.68,3.48)
\rput[bl](1.76,3.6){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.76,4.36)
\rput[bl](5.84,4.48){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](4.04,2.56)
\rput[bl](4.12,2.68){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](8.12,3.44)
\rput[bl](8.2,3.56){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}  




\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} si l'on ne veut pas préciser les extrémités du vecteur, on lui donne un nom avec une seule lettre, par exemple le vecteur $\overrightarrow{u}$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ si, et seulement si B = C.

\item K est le milieu du segment [AB] si, et seulement si, $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exercice :}}
\noindent 
Soient ABCD et ABEF deux parallélogrammes.
\begin{enumerate}

\item Faire une figure.

\item Que peut-on dire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $DC$ ? Y a-t-il un autre vecteur égal au vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

\item Conclure.
\end{enumerate}




\subsection{ \textcolor{red}{Somme de deux vecteurs}}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(7,4)
\psline{->}(-0.94,3.36)(5.14,1.84)
\psline{->}(5.14,1.84)(6.36,-2.36)
\psline{->}(-0.94,3.36)(6.36,-2.36)
\psdots[linecolor=blue](-0.94,3.36)
\rput[bl](-0.86,3.48){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.14,1.84)
\rput[bl](5.22,1.96){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](6.36,-2.36)
\rput[bl](6.44,-2.24){\blue{$C$}}
\rput[bl](2.1,2.68){$\overrightarrow{AB}$}
\rput[bl](5.8,-0.24){$\overrightarrow{BC}$}
\uput[l]{-38}(3.8,0.56){$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le point B est l'image du point A par la translation de vecteur  $\overrightarrow{AB}$.
\noindent 
Le point C est l'image du point B par la translation de vecteur  $\overrightarrow{BC}$.
\noindent 
On applique \textbf{\textcolor{red}{successivement}} les deux translations.
\noindent 
Cela revient à n'en appliquer qu'une seule (on va directement de A en C, sans passer par B).
Cette translation qui permet de passer de A en C est la translation de vecteur $\overrightarrow{AC}$.
\noindent 
Ainsi définit-on une définition sur les vecteurs.

\bigskip

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (relation de Chasles)}}
Pour tous points A, B et C, on a : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
\end{bclogo}
\end{minipage} 

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Le segment d'extrémités A et C est la diagonale du parallélogramme dont $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont deux côtés consécutifs.
 
 \bigskip
 
\textbf{\textcolor{blue}{Somme de deux vecteurs de même origine }}:
\noindent 
On veut construire la somme de deux vecteurs de même origine $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

On introduit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$). Ce point se construit au compas, puisque l'on doit avoir AB = CD et AC = BD.
\noindent 
Alors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$ (\textbf{\textcolor{red}{relation de Chasles}}).

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}}: En appliquant la relation de Chasles, on a :
\noindent 
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}$.
\noindent 
Une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ suivie d'une translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ correspond à une translation de vecteur $\overrightarrow{AA}$, qui laisse tous les points immobiles ; on parle alors de translation de \textbf{vecteur nul}, noté $\overrightarrow{0}$.
\noindent 
Par conséquent : $\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\cdots=\overrightarrow{0}$.
\noindent 

\noindent Comme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$, par analogie avec l'addition sur les nombres, on pose $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BA}}}$.
\noindent 

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} Soit ABDC un parallélogramme.
\noindent 
On a vu précédemment que $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$.
\noindent 
On voudrait représenter également $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
\noindent 
On a : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CB}}}$ en appliquant la relation de Chasles. On remarque que l'on obtient l'autre diagonale du parallélogramme.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,4)
\psline{->}(0.22,3.52)(5.42,3.38)
\psline{->}(0.22,3.52)(1.84,0.68)
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.84,0.68)(7.04,0.54)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.42,3.38)(7.04,0.54)
\psline[linecolor=red]{->}(0.22,3.52)(7.04,0.54)
\psdots[linecolor=blue](0.22,3.52)
\rput[bl](0.3,3.64){\blue{$A$}}
\psdots[linecolor=blue](5.42,3.38)
\rput[bl](5.5,3.5){\blue{$B$}}
\psdots[linecolor=blue](1.84,0.68)
\rput[bl](1.92,0.8){\blue{$C$}}
\psdots[linecolor=darkgray](7.04,0.54)
\rput[bl](7.12,0.66){\darkgray{$D$}}
\psline[linecolor=blue]{->}(1.84,0.68)(5.42,3.38)
\rput{-20}(2,3){$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$}
\rput{30}(4,2.7){$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$}

\end{pspicture*}

\end{center}

\label{fin}
\end{document}  