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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 

\renewcommand{\thesection}{\textcolor{blue}{\Alph{section}}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Alph{section} - \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Alph{section} - \Roman{subsection} . \arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nie} : Géométrie dans l'espace}}\end{center}

\section{\textcolor{blue}{Perspective cavalière}}

\subsection{\textcolor{red}{Principe}}
%\begin{tabular}{cc}
%\begin{minipage}[l]{0.725\linewidth}
 Dans ce chapitre, nous allons travailler sur des objets en trois dimensions qui seront représentés, la plupart du temps, sur des feuilles de papier qui, elles, n'ont que deux dimensions et sur lesquelles il faudra donner l'illusion de la profondeur. C'est le but de la perspective.
 
 \medskip

La représentation que nous utiliserons s'appelle la \emph{perspective cavalière}.

\bigskip

Le principe de la perspective cavali\`ere est le suivant :

\bigskip

\fbox{\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}[l]{0.66\linewidth}
  \emph{Vous faites face à un écran. Le soleil éclaire la scène (il est dans votre dos).
      Un cube est placé devant l'écran et il projette son ombre sur cet écran.\\
      Il est placé de telle façon que deux de ses faces sont pa\-ral\-lè\-les à l'écran et deux autres horizontales.\\
	Si les rayons du soleil ne sont pas perpendiculaires à l'écran,
      l'ombre du cube sur l'écran est une représentation en perspective cavalière du cube.}
 \end{minipage}&
 \begin{minipage}[r]{0.33\linewidth}
  \begin{center}
	\includegraphics[scale=0.66]{./Graphiques/Perspective1.eps}
	\end{center}
 \end{minipage}

\end{tabular}
}
  
%\end{minipage}&
%\begin{minipage}[r]{0.275\linewidth}

	
%\end{minipage}
%\end{tabular}

%\medskip



%      \sautpage

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}}

\begin{itemize}
\item Il arrivera parfois que le cube soit représenté sans faces parallèles à l'écran.
\item Si les rayons sont perpendiculaires à l'écran, on parle de perspective orthogonale. Dans toute la suite, on exclura ce cas.
\item On parle d'\textbf{une} représentation en perspective cavalière, car la forme de l'ombre dépend de la direction des rayons du soleil.
      \begin{center}
	  \begin{tabular}{cc}
	  \includegraphics[scale=0.66]{./Graphiques/Perspective2.eps}&\includegraphics[scale=0.66]{./Graphiques/Perspective3.eps}
	  \end{tabular}
      \end{center}

\end{itemize}



\fbox{\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}[l]{0.69\linewidth}
 \emph{On appelle \emph{fuyante} une droite perpendiculaire à l'écran.\\
      Les ombres de toutes les fuyantes sont parallèles et leur direction commune dépend de celle des rayons du soleil.}
\end{minipage}&
\begin{minipage}[r]{0.30\linewidth}
 \begin{center}
	\includegraphics[scale=0.66]{./Graphiques/Perspective4.eps}
	\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}}



\subsection{\textcolor{red}{Construction et propriétés}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Construction}}

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}[l]{0.75\linewidth}
\begin{itemize}
\item L'angle $\alpha$ des fuyantes (droites perpendiculaires au plan de projection) vaut habituellement 30°, 45° ou 60°.
\item Toutes les dimensions qui sont dans des plans parallèles au plan de projection sont représentées en vraie grandeur.
\item Les dimensions qui sont portées par les fuyantes sont multipliées par un coefficient de réduction, en général compris entre 0,5 et 0,8.
\end{itemize}
\end{minipage}&
\begin{minipage}[r]{0.25\linewidth}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm , yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.7)(6.7,5.7)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{6.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5.5}

\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,0.0000)(4.0000,0.0000)
\psline(4.0000,0.0000)(4.0000,4.0000)
\psline(4.0000,4.0000)(0.0000,4.0000)
\psline(0.0000,4.0000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](2.0000,1.0000)(6.0000,1.0000)
\psline(6.0000,1.0000)(6.0000,5.0000)
\psline(6.0000,5.0000)(2.0000,5.0000)
\psline[linestyle=dashed](2.0000,5.0000)(2.0000,1.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(2.0000,1.0000)
\psline(4.0000,0.0000)(6.0000,1.0000)
\psline(4.0000,4.0000)(6.0000,5.0000)
\psline(0.0000,4.0000)(2.0000,5.0000)
\psarc(0.0000,4.0000){0.4500}{0.0000}{26.5651}
\psarc(0.0000,4.0000){0.5500}{0.0000}{26.5651}
\rput(1.4,4.3){$\alpha$}

\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Propriétés}}


\begin{itemize}
\item \emph{Des droites parallèles sont représentées sur le dessin par des droites parallèles.}
\item \emph{Des droites sécantes sont représentées sur le dessin par des droites sécantes.}
\item \emph{Les rapports de longueur sur une droite sont conservés sur le dessin.\\ Ainsi, par exemple, le milieu d'un segment est représenté sur le dessin par le milieu du segment obtenu.}
\end{itemize}




Remarques :\\
Attention, les r\'eciproques ne sont pas vraies. Ainsi :
\begin{itemize}
 \item Deux droites qui semblent parallèles sur le dessin ne le sont pas toujours dans la réalité.
 \item Deux droites qui semblent sécantes sur le dessin ne le sont pas toujours dans la réalité.
 \item Un point qui semble \^etre au milieu d'un segment dans la repr\'esentation en perspective cavali\`ere n'est pas toujours le milieu du segment dans la r\'ealit\'e : il peut ne pas \^etre sur le segment dans la r\'ealit\'e.
\end{itemize}

 


%\sautpage

\section{\textcolor{red}{Solides usuels et volumes}}


\subsection{Famille des prismes droits}

\begin{center}
\begin{tabular}{p{5cm} p{5cm} p{5cm}}
\textbf{Prisme droit} & \textbf{Pavé} & \textbf{Cylindre} \\
Toutes les faces sont des rectangles sauf (éventuellement) les deux bases. & Prisme droit dont les bases sont des rectangles. & Peut être considéré comme un prisme droit dont les bases sont des disques. \\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.375cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.7)(5.7,5.7)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5.5}

\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,1.0000)(3.0000,0.0000)
\psline(3.0000,0.0000)(5.0000,1.0000)
\psline[linestyle=dashed](5.0000,1.0000)(4.0000,2.0000)
\psline[linestyle=dashed](4.0000,2.0000)(2.0000,2.0000)
\psline[linestyle=dashed](2.0000,2.0000)(0.0000,1.0000)
\psline(0.0000,4.0000)(3.0000,3.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(0.0000,4.0000)
\psline(3.0000,0.0000)(3.0000,3.0000)
\psline(3.0000,3.0000)(5.0000,4.0000)
\psline(5.0000,1.0000)(5.0000,4.0000)
\psline(5.0000,4.0000)(4.0000,5.0000)
\psline[linestyle=dashed](4.0000,2.0000)(4.0000,5.0000)
\psline(4.0000,5.0000)(2.0000,5.0000)
\psline(2.0000,5.0000)(0.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](2.0000,5.0000)(2.0000,2.0000)
\rput(2.5,1.3){\emph{base}}
\psline{<->}(-0.2,1)(-0.2,4)
\rput(-0.4,2.5){$h$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\columnbreak


\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.375cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.7)(5.7,5.7)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5.5}

\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,0.0000)(3.0000,0.0000)
\psline(3.0000,0.0000)(3.0000,3.0000)
\psline(3.0000,3.0000)(0.0000,3.0000)
\psline(0.0000,3.0000)(0.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](2.0000,1.0000)(5.0000,1.0000)
\psline(5.0000,1.0000)(5.0000,4.0000)
\psline(5.0000,4.0000)(2.0000,4.0000)
\psline[linestyle=dashed](2.0000,4.0000)(2.0000,1.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,0.0000)(2.0000,1.0000)
\psline(3.0000,0.0000)(5.0000,1.0000)
\psline(3.0000,3.0000)(5.0000,4.0000)
\psline(0.0000,3.0000)(2.0000,4.0000)
\rput(2.3,0.5){\emph{base}}
\psline{<->}(-0.2,0)(-0.2,3)
\rput(-0.4,1.5){$h$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\columnbreak


\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.1875cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-1.2)(5.6,11.1)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-1.1} \def\ymax{11}

\def\F{1 4 x 2 sub 2 exp sub 0.5 exp add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=dashed]{0}{4}{\F}
\def\G{1 4 x 2 sub 2 exp sub 0.5 exp sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{0}{4}{\G}
\def\H{8 4 x 2 sub 2 exp sub 0.5 exp add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{0}{4}{\H}
\def\I{8 4 x 2 sub 2 exp sub 0.5 exp sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{0}{4}{\I}
\psline(0,1)(0,8)
\psline(4,1)(4,8)
\rput(2,1){\emph{base}}
\psline{<->}(4.5,1)(4.5,8)
\rput(5,4.5){$h$}

\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\textbf{Propriétés}
 Le volume de ces solides est donné par la formule suivante : \[\text{Volume}=\text{Aire de la base}\times\text{hauteur}\]


\subsection{Famille des pyramides}

\begin{center}
\begin{tabular}{p{5cm} p{5cm} p{5cm}}
\textbf{Pyramide} & \textbf{Tétraèdre} & \textbf{Cône de révolution} \\
Constituée d'une base de forme quelconque et d'un sommet. Des arêtes joignent ce sommet à chacun des sommets de la base. & Pyramide dont la base est un triangle. & Peut être considéré comme une pyramide dont la base est un disque. \\
\end{tabular}
\end{center}

\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.375cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.7)(5.7,5.7)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5.5}

\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,1.0000)(2.0000,0.0000)
\psline(2.0000,0.0000)(4.0000,1.0000)
\psline[linestyle=dashed](4.0000,1.0000)(3.0000,2.0000)
\psline[linestyle=dashed](3.0000,2.0000)(1.0000,2.0000)
\psline[linestyle=dashed](1.0000,2.0000)(0.0000,1.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(2.0000,5.0000)
\psline(2.0000,0.0000)(2.0000,5.0000)
\psline(4.0000,1.0000)(2.0000,5.0000)
\psline[linestyle=dashed](3.0000,2.0000)(2.0000,5.0000)
\psline[linestyle=dashed](1.0000,2.0000)(2.0000,5.0000)
\rput(2,1){\emph{base}}
\psline{<->}(4.3,1)(4.3,5)
\psline[linestyle=dotted](2,5)(4.3,5)
\rput(4.5,3){$h$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\columnbreak


\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.375cm}
\begin{pspicture*}(-0.7,-0.7)(5.7,5.7)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{5.5}

\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
\psline(0.0000,1.0000)(3.0000,0.0000)
\psline[linestyle=dashed](0.0000,1.0000)(4.0000,2.0000)
\psline(3.0000,0.0000)(4.0000,2.0000)
\psline(0.0000,1.0000)(2.0000,5.0000)
\psline(3.0000,0.0000)(2.0000,5.0000)
\psline(4.0000,2.0000)(2.0000,5.0000)
\rput(2.5,0.9){\emph{base}}
\psline{<->}(4.5,1)(4.5,5)
\rput(4.7,3){$h$}
\psline[linestyle=dotted](2,5)(4.5,5)

\end{pspicture*}
\end{center}

\columnbreak


\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm , yunit=0.1875cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-1.2)(5.6,11.1)
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{5.5} \def\ymin{-1.1} \def\ymax{11}

\def\F{1 4 x 2 sub 2 exp sub 0.5 exp add}
\psplot[linecolor=black,linestyle=dashed]{0}{4}{\F}
\def\G{1 4 x 2 sub 2 exp sub 0.5 exp sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{0}{4}{\G}
\psline(0,1)(2,8)(4,1)
\rput(2,1){\emph{base}}
\psline{<->}(4.5,1)(4.5,8)
\rput(5,4.5){$h$}
\psline[linestyle=dotted](2,8)(4.5,8)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}

\textbf{Propriétés}
 Le volume de ces solides est donné par la formule suivante : \[\text{Volume}=\frac{1}{3}\text{Aire de la base}\times\text{hauteur}\]



On peut ainsi mettre trois fois le volume d'un cône de révolution dans un cylindre de révolution ayant même base et même hauteur, ou trois fois le volume d'un tétraèdre dans un prisme droit ayant même base et même hauteur.

\subsection{Sphère}

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}[l]{0.7\linewidth}

\textbf{Propriétés}
 Le volume d'une sph\`ere de rayon $r$ est donn\'e par la formule : \[\text{Volume}=\frac{4}{3}\pi r^3\]
 L'aire de la surface d'une sph\`ere de rayon $r$ est donn\'ee par la formule : \[\text{Aire}=4\pi r^2\]

\end{minipage}&
\begin{minipage}[r]{0.3\linewidth}
\begin{center}
\psset{xunit=0.66cm , yunit=0.66cm}
\begin{pspicture*}(-3.6,-3.6)(3.6,3.6)
\def\xmin{-3.5} \def\xmax{3.5} \def\ymin{-3.5} \def\ymax{3.5}

\def\F{9 x 2 exp sub 0.5 exp}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-3}{3}{\F}
\def\G{0 9 x 2 exp sub 0.5 exp sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-3}{3}{\G}
\def\H{1 3 div 9 x 2 exp sub 0.5 exp mul}
\psplot[linecolor=black,linestyle=dashed]{-3}{3}{\H}
\def\I{0 1 3 div 9 x 2 exp sub 0.5 exp mul sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid]{-3}{3}{\I}
\psline[linestyle=dashed]{o-}(0,0)(3,0)
\rput(-0.3,-0.3){$O$}
\rput(1.5,0.3){$r$}

\end{pspicture*}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}



\subsection{Volumes de l'espace}

\begin{minipage}{9cm}
\psset{unit=0.8}
   \begin{center}
      Parallélépipède rectangle : $V =L\times$l$\times$ h. \\
      \begin{pspicture}(0,-1.2)(5,3.5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1)(5,3)(1,3)(0,2)
         \psline(0,2)(4,2)(4,0)
         \psline(4,2)(5,3)
         \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1,1)(1,3)
      \end{pspicture} \\
      Sphère : V= $\dfrac{4}{3}\times\pi\times r^3$ \\
      \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5.2)
         \pscircle(2.5,2.5){2.5}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2.5,2.5)(2.5,1){0}{180}
         \psellipticarc(2.5,2.5)(2.5,1){180}{0}
         \rput(2.5,2.1){$O$}
         \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue]{<->}(2.5,2.5)(5,2.5)
         \psdot(2.5,2.5)
         \rput(3.75,2.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture} \\
      Cylindre de révolution : $V =\pi\times r^2\times h$. \\
      \begin{pspicture}(-2,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(4,5)
         \psline(0,1)(0,5)
         \psellipse(2,5)(2,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{|-|}(5,1)(5,5)  
         \rput(5.3,3){\textcolor{blue}{$h$} }
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
   \begin{center}
   pyramide : $V =\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{h}}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(5,6.5)
         \pspolygon(1,0)(4,0)(5,1)(2.5,6)(0,1)
         \psline(1,0)(2.5,6)(4,0)
         \psline[linestyle=dashed](0,1)(1.3,2)(3.7,2)(5,1)
         \psline[linestyle=dashed](1.3,2)(2.5,6)
         \psline[linestyle=dashed](3.7,2)(2.5,6)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.5,6)(2.5,1)
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2.8,1)(2.8,1.3)(2.5,1.3)
         \rput(2.7,2.8){\textcolor{blue}{$h$}}
      \end{pspicture} \\
      Cône de révolution : $V =\dfrac{\pi\times r^2\times h}{3}$. \\
      \begin{pspicture}(-1.8,0)(5,6.5)
         \psline(4,1)(2,6)(0,1)
         \psellipticarc(2,1)(2,1){180}{0}
         \psellipticarc[linestyle=dashed](2,1)(2,1){0}{180} 
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue](2,1)(2,6)
         \rput(2.5,3.5){\textcolor{blue}{$h$}}
         \psline[linewidth=0.05,linecolor=blue]{<->}(2,1)(4,1)
         \rput(3,1.2){\textcolor{blue}{$r$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\subsection{\textcolor{red}{Positions relatives dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative de deux droites}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Deux droites $d_1$ et $d_2$ peuvent être coplanaires ou non coplanaires.\\
Si elles sont coplanaires (contenues dans le même plan), elles peuvent être sécantes en un point, strictement parallèles ou confondues. Si elles ne sont pas coplanaires, aucun plan ne contient les deux droites. (exemple : certains arêtes d'un cube)
\end{bclogo}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.9cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\noindent\begin{minipage}[c]{0.3\linewidth}
\begin{pspicture*}(2.4,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.2pt](2.64,2.42)(4.84,1.54)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.3,2.3){$d=d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(a)}: $d=d'$

parallèles, coplanaires.
\end{minipage}
\hspace{-2.1cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linewidth=1.2pt](2.64,2.42)(4.84,1.54)
\psline[linewidth=1.2pt](2.34,1.54)(5.2,2.42)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.1,2.3){$d$}
\rput[bl](4.3,2.3){$d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(b)}: $d$ et $d'$ \emph{sécantes}

$d,d'\subset$ un unique plan.
\end{minipage}
\hspace{-1.5cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linewidth=1.2pt](2.88,2.6)(5.08,1.72)
\psline[linewidth=1.2pt](2.38,2.1)(4.58,1.22)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](3.7,2.32){$d$}
\rput[bl](3.45,1.28){$d'$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(c)}: $d$ et $d'$ \emph{parallèles strictes}

$d,d'\subset$ dans un unique plan.
\end{minipage}
\hspace{-1.5cm}
\begin{minipage}[c]{0.32\linewidth}
\begin{pspicture*}(0.9,0.9)(6.7,3.5)
\psline[linewidth=1.8pt](4.58,1)(1,1)
\psline[linewidth=1.8pt](6.58,3)(4.58,1)
\psline(1,1)(3,3)
\psline(3,3)(6.58,3)
\rput[bl](1.45,1.15){\scriptsize $\mathcal P$}

\psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt,linecolor=gray](4.22,1.43)(4.56,2.52)
\psline[linewidth=1.2pt](2.88,2.6)(5.08,1.72)
\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=gray](4.94,3.74)(4.56,2.52)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x](4.56,2.52)
\rput[bl](3.7,2.32){$d$}
\rput[bl](4.46,3.26){\gray{$d'$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\scriptsize

\textbf{(d)}: $d$ et $d'$ non coplanaires 

 $d$ et $d'$ ni sécantes, ni parallèles
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative de deux plans}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Deux plans $\mathscr{P}_{1}$ et $\mathscr{P}_2$ de l'espace sont soit sécants, soit parallèles.\\
S'ils sont sécants, l'intersection est une droite.\\
S'ils sont parallèles, ils sont distincts ou confondus.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans sécants :\\une droite d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](3.5,3)(5,3)(4,0)(0,0)(1,3)(1.5,3) 
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](1.5,3)(3.5,3)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](3.17,0)(3,-0.5)(1,1.5)(2,4.5)(3.5,3)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](3.5,3)(4,2.5)(3.17,0)
         \rput(2.1,3.9){\textcolor{red}{$P_2$}}
         \psline(2.3,-0.5)(3.7,3.7)
         \rput(3.8,3.9){$d$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans strictement parallèles :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \pspolygon[linecolor=red](0,1)(4,1)(5,4)(1,4) 
         \rput(1.2,3.6){\textcolor{red}{$P_2$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Plans parallèles confondus :\\un plan d'intersection
      \begin{pspicture}(6,5)
         \pspolygon(0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(1,0.3){$P_1=P_2$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Position relative d'une droite et d'un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Une droite $\mathscr{D}$ et un plan $\mathscr{P}$ sont soit sécants, soit parallèles.\\
S'ils sont sécants, ils n'ont qu'un point commun.\\
S'ils sont parallèles, $\mathscr{D}$ est incluse dans $\mathscr{P}$ ou ils n'ont aucun  point commun.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan sécants :\\un point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](1,3.3)(2,1.5)
         \psdot[dotstyle=+,dotscale=2](2,1.5)
         \rput(2.3,1.8){$A$}
         \psline[linecolor=red, linestyle=dashed](1.5,2.4)(3,-0.3)
         \rput(3.1,0.4){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\droite incluse dans le plan
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.8,0)(4,3)
         \rput(3,2.5){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center} 
      Droite et plan parallèles :\\aucun point d'intersection
      \begin{pspicture}(6,4)
         \pspolygon[linecolor=blue](0,0)(4,0)(5,3)(1,3)  
         \psline[linecolor=red](3,-0.5)(1,3.5)
         \rput(2.6,-0.3){\textcolor{red}{$d$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}} \\
Pour définir un plan, il faut trois points distincts, ou une droite et un point extérieur à la droite, ou deux droites sécantes ou strictement parallèles.

\subsection{\textcolor{red}{Règles d'incidence}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Propriété fondamentale}}
Dans un plan de l'espace, toutes les propriétés fondamentales de la géométrie plane s'appliquent.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{itemize}
      \item Deux droites de l'espace sont \textbf{parallèles} si elles sont coplanaires et non sécantes,
      \item Deux plans de l'espace sont \textbf{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants,
      \item    Une droite et un plan de l'espace sont \textbf{parallèles} lorsqu'ils ne sont pas sécants.
\end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{itemize}

\item Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles,.

\item  Si deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{P}$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d'un plan $\mathscr{Q}$ alors les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles,


\item Si deux plans sont parallèles à un même troisième, alors ils sont parallèles,

\item   Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.
  \end{itemize}
\end{bclogo}

\bigskip

\psset{unit=0.7}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=red](0.5,0)(2.9,2)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2.9,2)(4,3)
         \rput(1.4,0.3){\textcolor{red}{$d_1$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,2)(4.25,0.75)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](0.75,2.25)(1.3,2)
         \rput(4.1,1.3){\textcolor{blue}{$\delta_1$}}
         \psline[linecolor=red](0.5,2)(4,5)
         \rput(1.4,2.3){\textcolor{red}{$d_2$}}
         \psline[linecolor=blue](0.75,4.25)(4.25,2.75)
         \rput(4.1,3.3){\textcolor{blue}{$\delta_2$}}
         \psline(0.7,2)(0,0)(4,0)(5,3)(4.5,3)
         \psline[linestyle=dotted](4.5,3)(1,3)(0.7,2)
         \rput(0.5,0.3){$P$}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(1.2,4.6){$Q$}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
      \begin{pspicture}(6,5)
         \psline[linecolor=blue](0.35,1)(0,0)(4,0)(5,3)(4.7,3)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dotted](4.7,3)(1,3)(0.35,1)
         \rput(0.5,0.3){\textcolor{blue}{$P$}}
         \psline[linecolor=red](0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){\textcolor{red}{$Q$}}
         \pspolygon(0,2)(4,2)(5,5)(1,5) 
         \rput(0.5,2.3){$R$}
      \end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
   \begin{center}
      \begin{pspicture}(6,5.5)
         \psline(0.35,2)(0,1)(4,1)(5,4)(4.7,4)
         \psline[linestyle=dotted](4.7,4)(1,4)(0.35,2)
         \rput(0.5,1.3){$P$}
         \psline(1.8,5)(1,5)(0,2)(4,2)(5,5)(2.5,5)
         \psline[linestyle=dotted](1.8,5)(2.5,5)
         \rput(1.2,4.7){$Q$}
         \psline[linecolor=red](3.17,1)(3,0.5)(1,2.5)(2,5.5)(2.5,5)
         \psline[linecolor=red,linestyle=dotted](2.5,5)(4,3.5)(3.17,1)
        \rput(1.4,2.7){\textcolor{red}{$R$}}
         \psline[linecolor=blue](2.3,0.5)(2.8,2)
         \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.8,2)(3.7,4.7)
         \rput(3.9,4.3){\textcolor{blue}{$d$}}
         \psline[linecolor=blue](1.3,1.5)(2.7,5.7)
         \rput(2.8,5.3){\textcolor{blue}{$\delta$}}
      \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Théorème du \og toit \fg{}}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Théorème}}
Si on a :
\begin{itemize}
\item deux droites parallèles $d$ et $d'$;
\item un plan Pcontenant $d$;
\item un plan Q contenant $d'$;
\item P et Q sécants selon une droite $\delta$.
\end{itemize}
Alors, l'intersection $\delta$ des deux plans est parallèle aux droites $d$ et $d'$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\begin{center}
   \begin{pspicture}(7,6.1)
      \psline[linecolor=red](3.5,0.5)(7,4) 
      \psline(4,1)(2,4)(1,1)
      \psline[linestyle=dashed](3.5,3.5)(4.5,6.5)
      \psline(4.5,6.5)(6.5,3.5)
      \psline[linecolor=red](0.5,0.5)(2.8,2.8) 
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=red](2.8,2.8)(4.2,4.2)
      \psline[linecolor=red](1.3,3.3)(5,7)
      \rput(1.3,0.6){\textcolor{red}{$d_1$}}
      \rput(4.3,0.6){\textcolor{red}{$d_2$}}
      \rput(1.5,4){\textcolor{red}{$\delta$}}
      \rput(1.7,2.1){$P$}
      \rput(4.1,1.7){$Q$}
   \end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Orthogonalité dans l'espace}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Droite perpendiculaire à un plan}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Propriété}}
Dans un plan $\mathscr{P}$, soient deux droites $d_1$ et $d_2$ sécantes en $A$ et une droite $\Delta$.\\
On suppose que la droite $\Delta$ est perpendiculaire en $A$ à $d_1$ et en $A$ à $d_2$.\\
Alors, la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{\textcolor{blue}{Théorème}}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textcolor{red}{Théorème}}
Si une droite est perpendiculaire à un plan en un point $A$, alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan qui passent par $A$.
\end{bclogo}



\label{fin}
\end{document}  