\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\usepackage[francais]{babel} 
\usepackage[tikz]{bclogo}
\everymath{\displaystyle}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesection}{\textcolor{red}{\Roman{section}}} 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{section}-\arabic{subsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Équations et inéquations}}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents


\section{\textcolor{red}{Équations}}


\subsection{\textcolor{blue}{Définition d'une équation}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une équation est une égalité dans laquelle figurent un ou plusieurs nombres inconnus.\\
Résoudre cette équation consiste à trouver \textbf{toutes} les valeurs que peuvent prendre ce ou ces nombres inconnus pour que l'égalité soit vraie.
\end{bclogo}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 2x+3=0 a pour solution le nombre $-\dfrac{3}{2}$

\item L'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ car, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geqslant 0$ donc $x^2=-1$ est impossible dans $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Méthode générale de résolution}}

\begin{enumerate}
\item Propriété : on  ne change pas une égalité en additionnant le même nombre aux deux membres d el'égalité ou en multipliant ou en divisant les deux membres par un nombre non nul. (principe d'une balance à plateaux)

\item Équations du premier degré (équations fondamentales): 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x+a=b$ équiavaut à $x+a\mathbb{\textcolor{red}{-a}}=b\mathbb{\textcolor{red}{-a}}$ dnc $\boxed{\textcolor{red}{x=b-a}}$

\item $x-a=b$ équiavaut à $x-a\mathbb{\textcolor{red}{+a}}=b\mathbb{\textcolor{red}{+a}}$ dnc $\boxed{\textcolor{red}{x=b+a}}$

\item $ax=b$ (avec $a\neq 0$) équivaut à $\dfrac{ax}{a}=\dfrac{b}{a}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{b}{a}}}$

\item $\dfrac{x}{a}=b$ équivaut à $\dfrac{x}{a} \mathbb{\textcolor{red}{\times a}}=b \mathbb{\textcolor{red}{\times a}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=ba}}$

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Théorème fondamental (théorème du produit nul)}} :
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Dans $\mathbb{R}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\end{bclogo}


\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Méthode :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sauf cas particulier, on transpose tout du même côté pour se ramener à une équation du type $A(x)=0$.

\item On essaye de factoriser pour utiliser le théorème du produit nul.\\
Pour cela, on essaye de repérer un facteur commun, sinon, une identité remarquable. S'il n'y a pas de factorisation possible, on développe.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples : }}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Résoudre l'équation $(3x+1)(x+4)=3x+1$.\\
Cette équation est équivalente à $(3x+1)(x+4)-(3x+1)=0$, soit $(3x+1)[(x+4)-1]=0$ donc $(3x+1)(x+3)=0$.\\
$3x+1=0$ donne $x=-\dfrac{1}{3}$ , $x+3=0$ donne $x=-3$.\\
L'équation a deux solutions : $\mathscr{S}=\left\{-3~;~-\dfrac{1}{3}\right\}$

\item Résoudre l'équation : $(2x+5)^2=(3x-2)^2$.\\
On obtient : $(2x+5)^2-(3x-2)^2=0$, soit : $\left[(2x+5)+(3x-2)\right]\left[(2x+5)-(3x-2)\right]=0$ qui s'écrit :\\
 $(5x+3)(-x+7)=0$.\\
Les solutions sont alors : $\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{5}~;~7\right\}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équations du type $\mathbf{x^2=a}$}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $a<0$, l'équation n'a pas de solution, car, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geqslant 0$, donc $x^2$ ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif.

\item $x^2=0$ a pour solution $x=0$

\item Soit $a>0$ ; l'équation s'écrit $x^2-a=0$, c'est-à-dire $x^2-\left(\sqrt{a}\right)^2=0$ qui se factorise en $\left(x+\sqrt{a}\right)\left(x-\sqrt{a}\right)=0$.\\
L'équation a donc deux solutions : $\mathscr{S}=\{-\sqrt{a}~;~\sqrt{a}\}$.
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Équation sous forme d'un quotient}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'équation $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ équivaut à $B(x)\neq 0$ et $A(x)=0$
\end{bclogo}

On commence par chercher les valeurs \og interdites\fg{} qui annulent le dénominateur. L'ensemble de définition (valeurs réelles pour lesquelles l'expression globale est définie) est alors $\mathbb{R}$, privé de ces valeurs interdites.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples: }}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Résoudre l'équation $\dfrac{2x+3}{x-1}=0$.\\
Condition d'existence : $x-1\neq 0$ donc $x\neq 1$.\\
Pour $x\neq 1$, l'équation s'écrit : $2x+3=0$ qui donne $x=-\dfrac{3}{2}$.\\
$-\dfrac{3}{2}\neq 1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}}}$.

\item Résoudre $\dfrac{x^2-1}{x+1}=0$.\\
On commence par résoudre l'équation $x+1=0$ qui a pour solution $x=-1$.\\
L'ensemble de définition est donc $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.\\
On suppose maintenant $x\neq -1$.\\
L'équation s'écrit alors : $x^2-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0$ qui a pour solutions -1 et 1.\\
Or, $x\neq -1$.\\
L'ensemble des solutions de l'équation est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1\}}}$.
\end{enumerate}

\section{\textcolor{red}{Inéquations}}



\subsection{\textcolor{blue}{Comparaison de deux nombres}}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$a<b\Leftrightarrow b-a>0$
\end{bclogo}

\end{minipage}

Pour comparer deux nombres (c'est-à-dire savoir lequel est le plus grand), on étudie le signe de la différence.

\subsection{\textcolor{blue}{Quelques règles sur les inégalités}}

\subsection{\textcolor{blue}{Règle de l’addition et soustraction}}

\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle 1}}
 Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels alors :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant  b \Leftrightarrow  a + c \leqslant  b + c$

\item $a\leqslant b \Leftrightarrow  a - c \leqslant  b - c$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $2x+4\leqslant0\iff 2x+4\textcolor{red}{\mathbf{-4}}\leqslant0\textcolor{red}{\mathbf{-4}}\iff 2x\leqslant-4$

\item $3x-2<-3\iff 3x-2\textcolor{red}{\mathbf{+2}}<-3\textcolor{red}{\mathbf{+2}}\iff 3x<-1$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Règles de la multiplication et division}}

\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle 2}}
        Soient $a$, $b$ deux réels et $c$ un réel \textbf{positif} alors  :
        \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant b \iff  a \times  c \leqslant b \times  c$

\item $a \leqslant b\text{ et }c\neq 0 \iff  \dfrac{a}{c} \leqslant \dfrac{b}{c}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : puisque $a\leqslant b$ : $b-a\geqslant 0$.

Pour comparer les deux nombres, on étudie le signe de leur différence :

Alors $bc-ac=c(b-a)\geqslant 0$ car $b-a\geqslant 0$ et $a\geqslant 0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{ac\leqslant bc}}$.

\textbf{\textcolor{red}{De même}} : $\dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}=\dfrac{b-a}{c}\geqslant 0$. Puisque $b-a\geqslant 0$ et $c\geqslant 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a}{c}\leqslant \dfrac{b}{c}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x>7\Leftrightarrow 2x\textcolor{red}{\mathbf{\times 3}}>7\textcolor{red}{\mathbf{\times 3}}\Leftrightarrow 6x>21$

\item $3x\leqslant 4\Leftrightarrow \dfrac{3x}{4}\leqslant \dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x\leqslant \dfrac{4}{3}}}$

\item $x\sqrt{2}\geqslant 3\Leftrightarrow \dfrac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\geqslant \dfrac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle \no 3}}
Soient $a$, $b$ deux réels et $c$ un réel négatif ou nul
alors :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant b \iff a \times c \geqslant  b \times c$ ( Changement de sens de l’inégalité )

\item 
et $a \leqslant b\text{ et }c <  0 \iff \dfrac{a}{c} \geqslant  \dfrac{b}{c}$ ( Changement de sens de l’inégalité )

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

Même démonstration que dans le cas $c\geqslant 0$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $-x>4\iff -x\textcolor{red}{\mathbf{\times(-1)}}<4\textcolor{red}{\mathbf{\times(-1)}}\iff x<-4$

\item $-4x<-3\iff  \dfrac{-4x}{-4} > \dfrac{-3}{-4} \iff x> \dfrac{3}{4}$

\item $-2x\geqslant6\iff \dfrac{-2x}{-2}\leqslant \dfrac{6}{-2} \iff x\leqslant-3$

\end{enumerate}     


\subsection{\textcolor{blue}{Les inéquations du premier degré à une inconnue}}

\subsection{\textcolor{blue}{Méthode de résolution}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x+a\leqslant b\Leftrightarrow x+a-a\leqslant b-a\Leftrightarrow x\leqslant b-a$

\item $x-a\leqslant b\Leftrightarrow x-a+a\leqslant b+a\Leftrightarrow x\leqslant b+a$

\item Si $a>0$ :  $ax\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{ax}{a}\leqslant \dfrac{b}{a}\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{b}{a}$

\item Si $a<0$ :  $ax\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{ax}{a}\geqslant \dfrac{b}{a}\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{b}{a}$

\item Si $a>0$ :  $\dfrac{x}{a}\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{x}{a}\times a\leqslant b\times a\Leftrightarrow x\leqslant ab$

\item Si $a<0$ :  $\dfrac{x}{a}\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{x}{a}\times a\geqslant b\times a\Leftrightarrow x\geqslant ab$
\end{enumerate}


               
\subsection{\textcolor{blue}{Signe de $ax+b$}}
On considère la fonction affine $f=x\mapsto ax+b$.

Si $a>0$, la fonction est croissante et si $a<0$, a fonction est décroissante.

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}$.

On en déduit le signe de $ax+b$ :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\textcolor{red}{\mathbf{\textbf{Cas }a>0}}$ :

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
ax+b&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}

$\textcolor{red}{\mathbf{\textbf{Cas }a<0}}$ :

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
ax+b&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{multicols}



\subsection{\textcolor{blue}{Signe d’un produit de binômes}}

On appelle binôme une expression du type $ax+b$ (ou polynôme du premier degré).

\begin{minipage}{13cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété fondamentale}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le produit de deux nombres de même signe est positif.

\item Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\textbf{\textbf{\textcolor{red}{Méthode}}} :\\
Pour étudier le signe d'une produit de binômes : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item on étudie le signe de chacun d'entre eux, 

\item on récapitule tout cela dans un tableau de signes (une ligne par binôme) 

\item puis dans la dernière ligne, on trouve le signe du produit en appliquant la règle en appliquant la règle sur le signe d'un produit.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}  : étudions le signe de $A(x) = -x(2x - 3)(x + 6)(4 - 2x)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cherchons les valeurs de $x$ qui annulent chacun des quatre binômes de $A(x)$ :

\item $-x=0\Leftrightarrow x=0$

\item $2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ et $2x-3>0\Leftrightarrow x>\dfrac{3}{2}$

\item $x+6=0\Leftrightarrow x=-6$ et $x+6>0\Leftrightarrow x>-6$

\item  $4-2x=0\Leftrightarrow x=2$ et $4-2x>0\Leftrightarrow -2x>-4\Leftrightarrow x<2$ (en divisant par -2 qui est négatif, d'où le changement de sens de l'inégalité)


\item Dressons maintenant le tableau des signes de $A(x)$ :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-6&&0&&\dfrac{3}{2}&&2&&\pI\\
\hline
-x&&+&\l&+&\z&-&\l&-&\l&-&\\
\hline
2x-3&&-&\l&-&\l&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
x+6&&-&\z&+&\l&+&\l&+&\l&+&\\
\hline
4-2x&&+&\l&+&\l&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
A(x)&&+&\z&-&\z&+&\z&-&\z&+&&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} :

$A(x)>0\Leftrightarrow x\in\left]-\infty~;~-6\right[\cup\left]0~;~\dfrac{3}{2}\right[ \cup]2~;~+\infty[$\\
$A(x)<0\Leftrightarrow x\in[-6~;~0[\cup\left]\dfrac{3}{2}~;~2\right[$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Signe d’une expression rationnelle factorisée}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une expression rationnelle factorisée est une expression littérale de la forme : \[\dfrac{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)(a_3x+b_3)\cdots(a_nx+b_n)}{(a'_1x + b'_1)(a'_2x + b'_2)(a'_3x + b'_3) \cdots(a'_nx + b'_n)}\]
avec $a_1$, $a_2$\dots $a_n$ et $a'_1$, $a'_2$ \dots $a'_n$ non nuls.
\end{bclogo}

\danger \textbf{\textcolor{red}{Attention}} : dans ce genre d’expressions, il y a des \textbf{\textcolor{red}{valeurs interdites}}.

Il faut donc commencer par chercher ces valeurs interdites !

On fait alors un tableau de signes comme pour un produit.

Exemple : 

Étudions le signe de $B(x) = \dfrac{2x(3x - 6)}{ (x-3)(1-x)}$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cherchons les valeurs de $x$ qui annulent chacun des binômes de $B(x)$ :
$2x=0\Leftrightarrow x=0$

$3x-6=0\Leftrightarrow x=2$ et $3x-6>0\Leftrightarrow x>2$

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$ et $x-3>0\Leftrightarrow x>3$

$1-x=0\Leftrightarrow x=1$ et $1-x>0\Leftrightarrow x<1$

1 et 3 sont donc des valeurs interdites.

\item Dressons maintenant le tableau des signes de $B(x) $:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&1&&2&&3&&\pI\\
\hline
2x&&-&\z&+&\bb&+&\l&+&\bb&+&\\
\hline
3x-6&&-&\l&-&\bb&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
x-3&&-&\l&-&\bb&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
1-x&&+&\l&+&\bb&-&\l&-&\bb&-&\\
\hline
B(x)&&-&\z&+&\bb&-&\z&+&\bb&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}


\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion :}}

$B(x) > 0\Leftrightarrow  x\in]0~;~1[\cup]2~;~3[$\\

$B(x) < 0\Leftrightarrow x\in] -\infty~;~ 0[\cup]1~;~2[\cup]3~;~+\infty[$

$B(x) = 0\Leftrightarrow  x \in\{0~;~2\}$
\end{enumerate}

\section{\textcolor{red}{Pour s'entraîner sur le site euler de l'académie de Versailles}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Résolutions dans \mathbb{R} d'équations de la forme $x^2=−a^2$ ou $x^2=a^2$ où a est un entier naturel : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/seconddegre/pdf/equation4.jsp}{ici}

\item Résolutions dans \mathbb{R} d'équations de la forme $x^2=a$ où a est un nombre donné en écriture fractionnaire  : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/seconddegre/pdf/equation6.jsp}{ici}

\item Résolutions dans \mathbb{R} d'équations de la forme $(ax−b)^2=(cx−d)^2$ où a, b, c et d sont quatre entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/seconddegre/pdf/equation9.jsp}{ici} 

\item Résolutions dans \mathbb{R} d'équations de la forme (x−a)2=(x−b)2 où a et b sont deux entiers relatifs : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/wm3/pi2/seconddegre/pdf/equation8.jsp}{ici}

\item Résolution d'équations de la forme P(x)=0 où P(x) est un produit de facteurs du premier degré : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/equations/latex/equations1.jsp}{ici}

\item Résolution d'équations de la forme P(x)=0 où P(x) peut être factorisé en utilisant une identité remarquable dont les coefficients sont entiers : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/equations/latex/equations6.jsp}{ici}

\item Résolution d'équations de la forme P(x)=0 où P(x) peut être factorisé en utilisant une identité remarquable dont les coefficients sont écrits sous forme fractionnaire : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/equations/latex/equations7.jsp}{ici}

\item Etude du signe d'un produit de facteurs du premier degré  : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/inequations/latex/inequations1.jsp}{ici}

\item Résolution d'inéquations de la forme P(x)>0, P(x)<0, … où P(x) est un produit de facteurs du premier degré : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/inequations/latex/inequations2.jsp}{ici}

\item Résolution d'inéquations de la forme Q(x)>a, Q(x)<a, … où Q est une fonction rationnelle et a un nombre rationnel : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/inequations/latex/inequations11.jsp}{ici}

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  

\label{fin}
\end{document}  