\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du sujet révisions du contrôle commun}}\end{center}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points \[A(1~;~3) ; B(6~;~8) ; C(7~;~1)\text{ et }D(2~;~-4)\]

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=0.5,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-5.)(8.,9.)
\multips(0,-5)(0,2.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-5.,0)(8.,0)}
\multips(-5,0)(2.0,0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-5.)(0,9.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-5.)(8.,9.)
\pspolygon[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](1.,3.)(6.,8.)(7.,1.)(2.,-4.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](1.,3.)(6.,8.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](6.,8.)(7.,1.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](7.,1.)(2.,-4.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](2.,-4.)(1.,3.)
\psline[linewidth=2.pt](6.,8.)(-4.,-2.)
\psline[linewidth=2.pt](1.,3.)(7.,1.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.,3.)
\rput[bl](0.608820300931073,3.0492851221785324){\ududff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](6.,8.)
\rput[bl](6.11771683704859,8.266845783789831){\ududff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](7.,1.)
\rput[bl](7.097664778569495,1.2747847956406797){\ududff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2.,-4.)
\rput[bl](2.3038653889672323,-4.234111740476833){\ududff{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-4.,-2.)
\rput[bl](-4.4498298836768395,-1.7974844264248564){\ududff{$E$}}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-5.,-5.)(8.,9.)
\end{pspicture*}
\end{center}

\item On cherche dans cette question à déterminer la nature exacte du quadrilatère $ABCD$.
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
Soit $M$ le milieu de $[AC]$ et soit $M'$ le milieu de [BD].\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+7}{2}=4$ ; $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}\dfrac{3+1}{2}=2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M(4~;~2)}}$.

\item $x_{M'}=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{6+2}{2}=4$ ; $y_{M'}=\dfrac{y_B+y_D}{2}\dfrac{8+(-4)}{2}=2$ donc $
\boxed{\textcolor{red}{M'(4~;~2)}}$.
\end{enumerate}
$M=M'$ puisque les deux points ont les mêmes coordonnées.\\
Le quadrilatère ABCD a deux diagonales qui se coupent en leur milieu : c'est un parallélograme.

\item %Déterminer la nature exacte du triangle $ADC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AD=\sqrt{\left(x_D-x_A\right)^2+\left(y_D-y_A\right)^2}=\sqrt{(2-1)^2+(-4-3)^2}=\sqrt{1+49}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$.

\item $DC=\sqrt{\left(x_D-x_C\right)^2+\left(y_D-y_C\right)^2}=\sqrt{(2-7)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{25+25}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$.

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(7-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{36+4}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{40}}}$.
\end{enumerate}
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{AD=DC}}$ donc le triangle $ADC$ est \textbf{\textcolor{red}{isocèle}}.

\item %En déduire la nature exacte du quadrilatère $ABCD$.
$ABCD$ est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.
\end{enumerate}

\item Soit E le symétrique de B par rapport à A. %Calculer les coordonnées du point E.
A est donc le milieu de [BE].\\
$x_A=\dfrac{x_B+x_E}{2}$ donc $2x_A=x_B+x_E$ d'où $x_E=2x_A-x_B=2-6=-4$.\\
$y_A=\dfrac{y_B+y_E}{2}$ donc $2y_A=y_B+y_E$ d'où $y_E=2y_A-y_B=6-8=-2$.\\
E a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{E(-4~;~-2)}}$

\end{enumerate}


\subsection{}
Une entreprise fabrique chaque jour des tablettes numériques, au maximum 60 tablettes et on admet qu'elle vend
toute sa production.

On a représenté graphiquement les fonctions $C$ (coût total) et $R$ (recette) sur $[0;60]$.

Le coût total et la recette sont exprimés en euros.

On rappelle que le bénéfice se calcule en retranchant à la recette les coûts de production.

\begin{center}

\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.001cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-500.)(60.,7600.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=5.,Dy=500.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.,-200.)(60.,7600.)
\psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=200]{0}{60.0}{120.0*x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{0}{60.0}{2.0*x^(2.0)+10.0*x+900.0}
\multido{\n=0+5}{12}{\psline[linewidth=.8pt](\n,0)(\n,7500)}
\multido{\n=0+250}{30}{\psline[linewidth=.8pt](0,\n)(65,\n)}
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](-11.968310450302566,-1674.1830967080946){$f$}
%\rput[bl](-11.968310450302566,786.5535044602134){\wwwwww{$g$}}
%\end{scriptsize}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](15,0)(15,1800)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](15,1800)(0,1800)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](15,1500)(0,1500)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](0,3000)(60,3000)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=red](0,6000)(60,6000)
\uput[d](40,4500){$C$}
\uput[u](35,4250){$R$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item

\begin{enumerate}

\item %Déterminer graphiquement $C(15)$ et $R(15)$.
On lit graphiquement (voir les lignes pointillées sur le graphique) :
$\boxed{\textcolor{red}{R(15)\approx \numprint{1800}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{C(15)\approx \numprint{1500}}}$.%\marginpar{(1 pt)}


\item %Interpréter concrètement ces résultats.
La vente de 15 tablettes rapporte \numprint{1800} \euro{} et le coût total correspondant  à 15 tablettes est de \numprint{1500}  \euro{}%\marginpar{(0,5 pt)}

\item %En déduire une estimation du bénéfice réalisé par l'entreprise pour la production de 15 tablettes.
Le bénéfice pour la production de 15 tablettes est donc d'environ 300 \euro.	%\marginpar{(0,5 pt)}
\end{enumerate}
	
\item 
\begin{enumerate}

\item %Résoudre graphiquement l'équation $C(x)=3000$.
Les solutions de l'équation $C(x)=\numprint{3000}$ sont les abscisses des points de la courbe correspondant à la fonction $C$ et ayant une ordonnée égale à \nombre{3000}.

On trouve $\boxed{\textcolor{red}{x\approx 30}}$%\marginpar{(1 pt)}

\item %Interpréter concrètement ce résultat.
La production de 30 tablettes coûte \numprint{3000} tablettes.%\marginpar{(0,5 pt)}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $R(x)\leq 6000$.
Les solutions de l'inéquation $R(x)\leqslant \numprint{6000}$ sont les abscisses des points de la courbe représentative de $R$ et ayant une ordonnées inférieure ou égale à \numprint{6000}.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[0~;~50]}}$%\marginpar{(1 pt)}

\item %Interpréter concrètement ce résultat.
Si l'entreprise fabrique moins de 50 tablettes, sa recette est inférieure ou égale à \numprint{6000} \euro.%\marginpar{(0,5 pt)}

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}

\item %Résoudre graphiquement l'équation $R(x)=C(x)$.
On regarde les abscisses des points d'intersection des deux courbes : l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\{10~;~45\}}}$%\marginpar{(1 pt)}

\item %Interpréter concrètement ce résultat.
Si l'entreprise fabrique 10 ou 45 tablettes, son bénéfice est nul.%\marginpar{(0,5 pt)}
\end{enumerate}

\item %L'entreprise ne souhaite pas réaliser de pertes. Une étude est alors réalisée pour déterminer les quantités de tablettes à produire qui provoqueraient un bénéfice strictement négatif.
		
\begin{enumerate}

\item %Quelle inéquation cet agent doit-il résoudre ?
L'inéquation à résoudre est : $R(x)\leqslant C(x)$. %\marginpar{(1 pt)}

\item %Résoudre cette inéquation.
Le bénéfice serait négatif pour $\boxed{\textcolor{red}{0\leqslant x\leqslant 10\text{ ou }45\leqslant x\leqslant 60}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[0~;~10]\cup[45~;~60]}}$.%\marginpar{(1 pt)}

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par  :
\[f(x)=\dfrac{2}{5}x+1\]
\[g(x)=-5x^2+2\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer les images de -1 et de 5 par la fonction $f$.
$f(-1)=\dfrac{2}{5}\times (-1)+1=-\dfrac{2}{5}+1=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$.\\
$f(5)=\dfrac{2}{5}\times 5+1=2+1=\boxed{\textcolor{red}{3}}$.

\item %Calculer les valeurs exactes de $g(0)$ et $g(-1)$.
$g(0)=-5\times 0^2+2=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ et $g(-1)=-5\times (-1)^2+2=-5+2=\boxed{\textcolor{red}{-3}}$.

\item %Déterminer, s'ils existent et en justifiant le résultat, des éventuels antécédents de 7 et de -3 par la fonction $f$.
Un antécédent de 7 est un nombre $x$ tel que $f(x)=7$.\\
$f(x)=7$ donne $\dfrac{2}{5}x+1=7$ donc $\dfrac{2}{5}x=6$ donc $x=\dfrac{6}{\frac25}=6\times \dfrac{5}{2}=3\times 5=\boxed{\textcolor{red}{15}}$.\\
\fbox{\textcolor{red}{7 a pour antécédent 15 par $f$}}.\\
De même, $f(x)=-3$ donc $\dfrac{2}{5}x+1=-3$ donc $\dfrac{2}{5}x=-4$ et $x=\dfrac{-4}{\frac25}=-4\times \dfrac{5}{2}=-2\times 5=-10$.\\
\fbox{\textcolor{red}{L'antécédent de -3 par $f$ est -10}}.

\item %Déterminer, s'ils existent et en justifiant le résultat, des éventuels antécédents de 4  par la fonction $g$.
Pour déterminer les antécédents de 4 par $g$, on résout $g(x)=4$.\\
$g(x)=4$ donne $-5x^2+2=4$ donc $-5x^2=4-2=2$ qui n'a aucune solution puisque $-5x^2<0$ et $2>0$.\\
\fbox{\textcolor{red}{4 n'a pas d'antécédent par $g$}}.

\item %Peut-on affirmer que, pour tout réel $x$ négatif ou nul, $f(x)\leqslant g(x)$ ?
$f(0)=1$ ; $g(0)=2$ donc $f(0)\leqslant g(0)$. On ne peut donc pas affirmer que $f(x)\geqslant g(x)$ pour tout $x$ puisque 'est faux pour $x=0$.
\end{enumerate}


\subsection{}
	Un directeur de supermarché décide d'étudier le temps d'attente aux caisses. Pour cela, il note le lundi et le vendredi les temps d'attente en minutes, de 100 clients.

\textcolor{blue}{	\textbf{A. Étude de l'échantillon du lundi}}

	Le lundi, il obtient la répartition suivante :
	
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.2}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,25)
\psaxes[Dx=1,Dy=1](0,0)(11,0)(0,23)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](11,0)(0,23)
\psline[linewidth=3pt](1,0)(1,14)
\psline[linewidth=3pt](2,0)(2,13)
\psline[linewidth=3pt](3,0)(3,23)
\psline[linewidth=3pt](4,0)(4,9)
\psline[linewidth=3pt](5,0)(5,14)
\psline[linewidth=3pt](6,0)(6,8)
\psline[linewidth=3pt](7,0)(7,12)
\psline[linewidth=3pt](8,0)(8,4)
\psline[linewidth=3pt](9,0)(9,1)
\psline[linewidth=3pt](10,0)(10,2)
\uput[r](11,0){\begin{minipage}{3cm}
Temps d'attente au supermarché
\end{minipage}}
\uput[u](0,23){Effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Remplir le tableau suivant :
Tableau complété :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Temps d'attente (en min) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline
Effectif & 14&13 &23 &9 &14 &8 &12 &4 &1 &2\\\hline
E.C.C. & 14&27 &50 &59 &73 &81 &93 &97 &98 &100\\\hline
\end{tabularx}%\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item %Calculer le temps moyen d'attente aux caisses du supermarché pour cet échantillon.
Le temps moyen d'attente aux caisses du supermarché pour cet échantillon est 

$\overline{x}=\dfrac{(1\times 14)+(2\times 13)+\cdots+(10\times 2)}{100}=\dfrac{\numprint{408}}{100}=\boxed{\textcolor{red}{4,08}}$.

Le temps d'attente moyen est 4,08 min, soit 4 min + $0,08\times 60$ s d'où 4 min 4,8 s.%\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}

\item %Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile de la série statistique des temps d'attente.
L'effectif total vaut $N=100$ qui est pair ; la médiane est alors : $Me=\dfrac{x_{50}+x_{51}}{2}=\dfrac{3+4}{2}=\boxed{\textcolor{red}{3,5}}$.

$\dfrac{N}{4}=25$ donc le premier quartile est $Q_1=x_{25}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.

$\dfrac{3N}{4}=75$ donc le troisième quartile est $Q_3=x_{75}=\boxed{\textcolor{red}{6}}$.%\marginpar{\textcolor{blue}{3 pt}}

\item %Le directeur adjoint souhaite ouvrir une caisse supplémentaire si plus de 15\% des clients attendent 7 minutes ou plus en caisse.
				
%Doit-il ouvrir une nouvelle caisse le lundi ?
Le nombre de clients attendant 7 minutes ou plus est $100-81=19$ ; $\dfrac{19}{100}=19\:\%>15\:\%$.

\textbf{Le directeur adjoint doit ouvrir une nouvelle caisse}.%\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
\end{enumerate}


\textcolor{blue}{\textbf{B. Étude de l'échantillon du vendredi}}

Le vendredi, il obtient la répartition suivante :

	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
		Temps d'attente en caisse & [0;2[ & [2;4[ & [4;6[ & [6;8[ & [8;10[ & [10;12]\\\hline
		Effectif & 5 & 22 & 27 & 18 & 16 & 12\\\hline
		Fréquence &0,05 &0,22 &0,27 &0,18 &0,16 &0,12\\\hline
		Fréquence cumulée croissante (FCC) &0,05 &0,27 &0,54 &0,72 &0,88 &1\\\hline
\end{tabularx}

	\begin{enumerate}
		\item %Compléter les deux dernières lignes du tableau et calculer le temps d'attente moyen (arrondi au dixième).
		Le temps d'attente moyen est $\dfrac{(1\times 5)+\cdots+(11\times 12)}{100}=\dfrac{608}{100}=6,08$ min = 6 min 4,8 s. %\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
		
		\item %Construire, en annexe, la courbe des fréquences cumulées croissantes.
		\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.05}
\begin{pspicture}(-1,-10)(13,110)
\psaxes[Dx=1,Dy=5](0,0)(0,0)(12,105)
\multido{\n=0+1}{13}{\psline(\n,0)(\n,105)}
\multido{\n=0+5}{22}{\psline(0,\n)(12,\n)}
\psline[linewidth=2pt](0,0)(2,5)(4,27)(6,54)(8,72)(10,88)(12,100)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(2,5)(4,27)(6,54)(8,72)(10,88)(12,100)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](0,25)(3.8,25)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](3.8,25)(3.8,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](0,50)(5.6,50)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](5.6,50)(5.6,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](0,75)(8.3,75)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=2pt](8.3,75)(8.3,0)
\uput[d](3.8,0){3,8}
\uput[d](5.6,0){5,6}
\uput[d](8.3,0){8,3}

\end{pspicture}
\end{center}%\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
		
		\item %Déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane, du premier et du troisième quartile.
		On regarde les points de la courbe des fréquences cumulées croissantes ayant pour ordonnées 25, 50 et 75.
		
		Graphiquement, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{Q_1\approx 3,8}}$, $\boxed{\textcolor{red}{Me=5,6}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=8,3}}$.%\marginpar{\textcolor{blue}{1,5 pt}}
	\end{enumerate}

\textcolor{blue}{	\textbf{C. Comparaison des deux échantillons}}

	Les clients qualifient de tolérable un temps d'attente compris entre 2 et 6 minutes inclus.

	Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse :
	\begin{enumerate}
		\item \og{} Le vendredi, au moins un quart des clients attendent au plus trois minutes en caisse\fg.
		
		\textbf{\textcolor{red}{FAUX :}} : $Q_1\approx 3,8$ donc au moins un quart des clients attendent au plus 3,8 minutes en caisse.%\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
		
		\item \og{} Il y a autant de clients qui trouvent le temps d'attente acceptable le lundi que le vendredi\fg.
		
		\textbf{\textcolor{red}{FAUX :}} : le lundi, il y a 67 clients qui attendent entre 2 et 6 minutes (donc un temps acceptable) et le vendredi, il y en a 49.%\marginpar{\textcolor{blue}{1 pt}}
	\end{enumerate}


\subsection{}
Les questions suivantes sont indépendantes.
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les fonctions suivantes, préciser lesquelles sont affines. Justifier soigneusement.
			\begin{enumerate}[\textbullet]
				\item $f : x \mapsto 1-2x$
				$f(x)=ax+b$ avec $\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}$ donc $f$ est affine.
				
				\item $g :x \mapsto \dfrac{1}{x}+3$\\
				$g$ n'est pas définie sur $\mathbb{R}$ puisque 0 est une valeur interdite, donc $g$ n'est pas affine.\\
				D'autre part, $g(x)$ ne peut pas se mètre sous la forme $ax+b$.
				
				\item $h :  x \mapsto 2x^2+3$ \\
				$h(x)=2x^2+3$ n'est pas sous la forme $ax+b$ donc $h$ n'est pas affine.
				
				\item $i : x \mapsto -x+7$\\
				$i(x)=-x+7=ax+b$ avec $\begin{cases}a=-1\\b=7\end{cases}$ donc $i$ est affine.
			\end{enumerate}

			
		\item Soit $k:x\mapsto 3x+21$
			\begin{enumerate}
				\item %Déterminer le tableau de variations de $k$.
				$k$ est affine, de coefficient directeur $3$, positif. $k$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$.\\
				\textbf{Tableau de variation }:
				\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
i(x)&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

					
				\item %Déterminer le tableau de signes de $k$.
				$k(x)$ s'annule pour $x=-\dfrac{b}{a}$ avec $a=3\\b=21$, donc pour $x=-\dfrac{21}{3}=-7$.\\
				Comme $k$ est croissante, on en déduit le \textbf{tableau de signes} :
				\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-7&&\pI\\
\hline
k(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

					
			\end{enumerate}
			\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  