\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{EXERCICE \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 1}}\end{center}

\subsection{}

%\noindent\textit{Les parties de cet exercice sont indépendantes les unes des autres et traitent de chapitres variés}

\bigskip
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}


On considère l'algorithme ci-contre:

\begin{minipage}{5cm}
\begin{tabular}{ll}
Si&$a+b\neq 0$\\
&$m\leftarrow \dfrac{4}{a+b}$\\
Sinon&\\
&$m\leftarrow 0 $
\end{tabular}
\end{minipage}

On choisit $a=\dfrac{1}{2}$ et $b=\dfrac{1}{3}$.\\
$a+b\neq 0$, donc on considère la première partie de l'algorithme : $m=\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\dfrac{4}{\frac36+\frac26}=\dfrac{4}{\frac56}=4\times \dfrac{6}{5}=\dfrac{24}{5}$ : $\boxed{\textcolor{red}{m=\dfrac{24}{5}}}$ (réponse 2)

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}\\

\parbox{10cm}{On considère la pyramide ABCDE ci-contre, de base carrée telle que $AB=3$ cm et de hauteur 4 cm.

%Parmi les réponses suivantes, cocher celle qui correspond au volume (en cm$^3$) de cette pyramide, puis justifier votre réponse.
%
%\[\begin{tabular}{p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{2cm}}
%$\Box$ \ $4$& $\Box$ \ $12$ & $\Box$ \ $24$ & $\Box$ \ 30
%\end{tabular}\]
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
%
%\end{minipage}
Le volume d'un pyramide est $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \text{aire de base}\times \text{hauteur}$.\\
Ici : $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times 3^2\times 4=3\times 4=12~\text{cm}^3$. (réponse 2)}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{unit=0.45,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(7.,7.)
\psline[linewidth=1pt](0.,0.)(4.,0.)
\psline[linewidth=1pt](4.,0.)(4.,0.)
\psline[linewidth=1pt](4.,0.)(6.,3.)
\psline[linewidth=2.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.,3.)(6.,3.)
\psline[linewidth=2.pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.,3.)(0.,0.)
\psline[linewidth=1pt](2.96,5.61)(0.,0.)
\psline[linewidth=1pt](2.96,5.61)(4.,0.)
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](2.96,5.61)(2.,3.)
\psline[linewidth=1pt](2.96,5.61)(6.,3.)
\psdot[dotstyle=+](2,3)
\rput[l](2,2.5){$A$}
\psdot[dotstyle=+](6,3)
\rput[l](6.25,3){$B$}
\psdot[dotstyle=+](4,0)
\rput[l](3.5,-0.5){$C$}
\psdot[dotstyle=+](0,0)
\rput[l](-0.5,-0.5){$D$}
\psdot[dotstyle=+](2.96,5.61)
\rput[l](2.96,6){$E$}
\end{pspicture*}
\end{center}}
\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C}}\\[-0.3cm]

Pour chacune des deux questions suivantes, cocher la (ou les) bonne(s) réponse(s). \textbf{On ne demande pas de justification.}

\begin{enumerate}
	\item $x \in ] \ 0 \ ; \ +\infty[$ signifie que : $\boxed{\textcolor{red}{x>0}}$
%	
%	\[\begin{tabular}{p{2cm}p{2cm}p{2cm}p{4cm}}
%	$\Box$ \ $x<0$& $\Box$ \ $x \geqslant 0$ & $\Box$ \ $x>0$ & $\Box$ \ $x$ est positif ou nul
%	\end{tabular}\]
	\item Dans un repère du plan, la courbe représentative d'une fonction $g$ passe par le point $A$ de coordonnées $(-1;2)$. Alors : $\boxed{\textcolor{red}{g(-1)=2}}$
	
%	\[\begin{tabular}{p{4cm}p{4cm}p{2cm}p{2cm}}
%	$\Box$ \ $2$ a pour image $-1$ par $g$ & $\Box$ \ $-1$ est l'image de $2$ par $g$ & $\Box$ \ $g(-1)=2$ & $\Box$ \ $g(2)=-1$
%	\end{tabular}\]
	 
\end{enumerate}

\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie D}}\\[-0.3cm]

On a représenté ci-contre la courbe représentative d'une fonction $f$ :


\parbox{8cm}{
\[\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[xstep=1,ystep=1] (-6,-6)grid(6,6);
\draw[line width=1.5pt,->] (-6,0)--(6,0);
\draw[line width=1.5pt,->] (0,-6)--(0,6);
\draw[line width=1pt] (-5,2)--(5,2);
\draw[line width=1pt] (-4.7,0)--(-4.7,2);

\draw[line width=1pt, red] plot[smooth=200] 
coordinates{(-5,4) (-3,-4) (2,3) (5,-3)};
\draw (-5,4) node{$\bullet$};
\draw (5,-3) node{$\bullet$};
\foreach \x in {-5,...,5}
{
	\draw [line width=1pt](\x,-0.1)--(\x,0.1);
	\draw (\x,0) node[below left] {$\x$};	
}

\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5}
{
	\draw [line width=1pt](-0.1,\y)--(0.1,\y);
	\draw (0,\y) node[left]{$\y$};
}
\end{tikzpicture}\]}\hfill
\parbox{10cm}{
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'image de $2$ par $f$.\\[0.3cm]
		L'image de 2 par $f$ est 3 ; $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=3}}$
		
		\item %Déterminer les antécédents de $-3$ par $f$.\\[0.3cm]
		Les antécédents de $-3$ par $f$ sont -3,8~;~-2 et 5.
		
		\item %Dresser le tableau de signes de la fonction $f$.\\[2.2cm]
		Tableau de signes de la fonction $f$ :
		\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-4,3&&-0,2&&4&&5\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\z&+&\z&-\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

		\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)\geqslant 2$. On laissera apparaître sur la figure les traits de construction.\\
On cherche les abscisses des points de l courbe ayant une ordonnée supérieure ou égale à 2.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-5~;~-4,7] \cup [1~;~3]}}$.
	\end{enumerate}}



\subsection{}%Florian


\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\bigskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-30x+6000$.

\begin{enumerate}
	\item %Calculer l'image de $150$ par $f$.\\[0.3cm]
L'image de 150 par $f$ et $f(150)=-30\times 150+\numprint{6000}=\numprint{1500}$	.

	\item %Calculer $f\left(\dfrac{2}{3}\right)$.\\[0.3cm]
$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-30\times \dfrac{2}{3}+\numprint{6000}=-10\times 2+\numprint{6000}=-20+\numprint{6000}=\numprint{5980}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\numprint{5980}}}$.

	\item %Déterminer le(s) antécédent(s) de $0$ par $f$.\\[0.3cm]
	$x$ est un antécédent de 0 par $f$ si $f(x)=0$.\\
	$f(x)=0$ équivaut à $-30x+\numprint{6000}=0$ donc $x=-\dfrac{\numprint{6000}}{-30}=200$.\\
	L'antécédent de 0 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{200}}$.
	
	\item %Dresser le tableau de variations de $f$, en \textbf{justifiant}.\\[0.3cm]
	\textbf{Tableau de variations de $\mathbf{f}$} : \\
	le coefficient directeur de $f$ est -30, négatif, donc $f$ est décroissante.
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f(x)&&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

	\item %Dresser le tableau de signes de $f$, en \textbf{justifiant}.\\[0.3cm]
	\textbf{Tableau de signes de $\mathbf{f}$} :\\
	$f$ est décroissante puisque son coefficient directeur est -30, négatif et s'annule en 200. On en déduit le tableau de signes :
	\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&200&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

On a mis en culture des bactéries. Au départ, il y a \numprint{6000} bactéries. On injecte un produit toxique, et, après 2 h 30, la population de bactéries est de 1500.\\

On considère que la relation entre le temps et le nombre de bactéries dans la culture est une fonction affine.\\


%\fbox{\begin{minipage}{18cm}
%	Les bactéries sont l'un des trois domaines du vivant, avec les archées et les eucaryotes. Une bactérie est une cellule sans noyau de l'ordre de \SI{1}{\micro\metre} (un millième de millimètre).
%
%	Les êtres humains sont des eucaryotes bien que notre corps comporte une bactérie environ pour chaque cellule humaine...
%\end{minipage}}

\bigskip

\begin{enumerate}
	\item %Expliquez en détail pourquoi $f(x)$ est le nombre de bactéries dans la culture au bout de $x$ minutes.\\[0.3cm]
2 h 30 = 150 minutes. Notons $g(x)$ le nombre de bactéries après $x$ minutes.\\
On a $g(0)=\numprint{6000}$ (nombre de bactéries à l'instant $x=0$) donc $g(x)=mx+\numprint{6000}$.\\
$g(150)=1500$ donc $m\times 150+\numprint{6000}=\numprint{1500}$ d'où $m=\dfrac{1500-6000}{150}=-\dfrac{4500}{150}=-30$. \\
Par conséquent : $g(x)=-30x+6000$ donc $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=f(x)}}$.

	\item 
		\begin{enumerate}
			\item %Au bout de combien de temps toutes les bactéries seront-elles mortes ?\\[0.3cm]
			D'après la partie A, toutes les bactéries sont mortes pour $x=200$, donc \fbox{\textcolor{red}{au bout de 3 h 20 min}}.
			
			\item %Au bout de combien de temps la population initiale des bactéries sera-t-elle réduite de moitié ?\\[0.3cm]
La population est réduite de moitié si $f(x)=3000$.\\
On doit avoir $-30x+\numprint{6000}=\numprint{3000}$ donc $-30x=-\numprint{3000}$ d'où $x=100$.\\
Cette population est réduite de moitié au bout de 100 min, donc \fbox{\textcolor{red}{au bout de 1 h 40 min}}.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
\label{stat}

Violaine et Mickaël sont des fans de basket-ball. Ils ont relevé le nombre de paniers mis par leur joueur préféré, respectivement Eric et Florian, lors de 74 matchs. 

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\bigskip

Violaine a rassemblé les résultats de son joueur préféré Éric lors des 74 matchs dans le tableau suivant : 
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de paniers&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
Nombre de matchs&2&1&5&10&0&2&7&10&6&5&7&14&5\\
\hline
\rowcolor{yellow!60}Effectifs cumulés croissants&2&3&8&18&18&20&27&37&43&48&55&69&74\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau. 
Tableau complété ci-dessus.

\item Calculer le pourcentage, arrondi à 0,1\:\% près, de matchs pour lesquels le joueur Eric a mis : 

\begin{enumerate}
\item %au moins 7 paniers ;\\[0.3cm]
Éric a mis au moins 7 paniers lors de 47 matchs (car 74-27=47)  ; $\dfrac{47}{74}\approx 0,635=\dfrac{63,5}{100}=63,5\:\%$.\\
Éric a mis au loins 7 paniers dans $\boxed{\textcolor{red}{63,5\:\%}}$ des matchs.

\item %strictement moins de 5 paniers.\\[0.3cm]
Il a mis strictement moins de 5 paniers lors de 18 matchs ; $\dfrac{18}{74}\approx0,243\approx \dfrac{24,3}{100}=24,3\:\%$\\
Il a mis strictement moins de 5 paniers dans environ $\boxed{\textcolor{red}{24,3\:\%}}$ des matchs.

\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre moyen de paniers mis par Éric. Arrondir au dixième
Le nombre moyen de paniers mis par Éric est :\\
$\overline{x}=\dfrac{(0\times 2)+\cdots+(12\times 5)}{74}=\dfrac{540}{74}=\dfrac{270}{37}\approx 7,3.$
$\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}\approx 7,3}}$.

\item %Calculer le nombre médian de paniers mis par Eric.\\[0.3cm]
L'effectif total est $N=74$, nombre pair. $\dfrac{N}{2}=37$.\\
Le nombre médian est $\dfrac{x_{37}+x_{38}}{2}=\dfrac{7+8}{2}=7,5$.\\
Le nombre médian de paniers mis par Éric est 7,5.

\item %Calculer le premier et le troisième quartile de la série statistique. Interpréter.\\[0.3cm]
$\dfrac{N}{4}=18,5$ ; le plus petit entier supérieur ou égal à 18,5 est 19, donc le premier quartile est $Q_1=x_{19}=5$\\
$3\times \dfrac{N}{4}=55,5$ ; le plus petit entier supérieur ou égal à 55,5 est 56, donc le troisième quartile est $Q_3=x_{56}=11$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{Q_1=5}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=11}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B }}

Mickaël, quant à lui, a regroupé le nombre de paniers mis par son joueur préféré, Florian, lors des 74 matchs de la façon suivante : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de paniers &[0;3[ &[3~;~6[ &[6~;~9[&[9~;~12]\\
\hline
\rowcolor{yellow!60}Centre de classe &1,5&4,5&7,5&10,5\\
\hline
Nombre de matchs &14&10&25&25\\
\hline
\rowcolor{yellow!60}Fréquence en \:\% &18,9 &\textcolor{red}{13,5}&\textcolor{red}{33,8}&\textcolor{red}{33,8}\\
\hline
\rowcolor{yellow!60}F.C.C en \:\% &18,9 &\textcolor{red}{32,4}&\textcolor{red}{66,2}&\textcolor{red}{100}\\
\hline

\end{tabularx}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau ci-dessus. On arrondira les fréquences à 0,1\:\% près.
Tableau complété ci-dessus.

\item %Calculer une valeur approchée au dixième du nombre moyen de paniers mis par Florian par match.\\[0.3cm]
Le nombre moyen de paniers mis par Florian par match est :\\
$\overline{x}=\dfrac{(1,5\times 14)+\cdots+(10,5\times 25)}{74}=\dfrac{516}{74}=\dfrac{258}{37}\approx 7$ à 0,1 près.

\item  

\begin{enumerate}
\item %Représenter dans le repère ci-dessous la courbe des fréquences cumulées croissantes. 
Courbe des fréquences cumulées croissantes :

%$$\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.1]
%\draw[thin, style=gray!60,xstep=1,ystep=2] (-1,-1)grid(15,105);
%\draw[line width=1.5pt,->] (-1,0)--(15,0) node[right] {nombre de paniers};
%\draw[line width=1.5pt,->] (0,-1)--(0,105) node[above] {fréquence cumulée croissante (en $\%$)};
%\foreach \x in {0,...,14}
%{
%	\draw [line width=1pt](\x,-1.5)--(\x,1.5);
%	\draw (\x,-1) node[below] {$\x$};	
%}
%
%\foreach \y in {10,20,30,40,50,60,70,80,90,100}
%{
%	\draw [line width=1pt](-0.05,\y)--(0.05,\y);
%	\draw (0,\y) node[left]{$\y$};
%}
%\end{tikzpicture}$$

\psset{xunit=1,yunit=0.07}
\begin{pspicture}(-1,-5)(16,105)
\psaxes[Dx=1,Dy=10,linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,0)(15,100)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=10+10}{10}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(15,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(3,16.9)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](3,16.9)(6,32.4)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](6,32.4)(9,66.2)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](9,66.2)(12,100)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](0,0)(3,16.9)(6,32.4)(9,66.2)(12,100)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,50)(7.6,50)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](7.6,50)(7.6,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,25)(4.6,25)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](4.6,25)(4.6,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,75)(9.8,75)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](9.8,75)(9.8,0)
\uput[d](4.6,0){$Q_1$}
\uput[d](7.6,0){$\text{Me}$}
\uput[ul](9.8,0){$Q_3$}
\end{pspicture}

%
%\begin{center}
%	\psset{xunit=1,yunit=0.2}
%	\begin{pspicture}(-1,-1)(14,110)
%	\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=10](0,0)(0,0)(12,100)
%		\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,0)(14,0)
%			\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-3)(0,100)
%	\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(12,100)
%	%\uput[ul](0,0){0}
%	%\uput[d](1,0){I}
%	%\uput[l](0,1){J}
%	\uput[u](12.5,0){$x$}
%	\uput[l](0,102){$y$}
%	\end{pspicture}
%\end{center}

\item %En déduire des valeurs approchées de la médiane, du premier et du troisième quartile de la série statistique. \textbf{\emph{On laissera apparents les traits utiles à la lecture des résultats.}}\\[0.3cm]
On trace les droites dont les points ont respectivement pour ordonnées 25, 50 et 75. On lit alors les abscisses des points d'intersection avec la courbe des fréquences cumulées croissantes.\\
On trouve $Me\approx 7,6$, $Q_1\approx 4,6$ et $Q_3\approx 9,8$\\
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C }}

\bigskip

Le nombre de paniers a la même étendue pour les deux joueurs ;\\
le nombre  moyen de paniers marqués est supérieur pour Éric par rapport à Florian.\\
Pour Éric, l'intervalle interquartile est $[5~;~11]$ tandis que pour Florian, c'est $[4,6~;~7,8]$.\\
L'intervalle interquartile contient 50\:\% des paniers ; l'intervalle interquartile pour Florian est moins étendu que celui d'Éric ; Florian semble un peu plus régulier.


\end{enumerate}

\bigskip

\subsection{}
On considère le tableau de variation d'une fonction $f$ suivant :
\begin{center}
	\begin{variations}
		x& \ & 0&&1&&3&&7&&8 & \ \\
		\hline
		\m{f(x)}&&\h{6}&\d&3&\c&\h{5}&\d&-2&\c&\h{0}&\\
		\hline
	\end{variations}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
	\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$?\\[0.3cm]
L'ensemble de définition de $f$ est [0~;~8].

	\item %Quel est le minimum de $f$ ? En quelle valeur est-il atteint ?\\[0.3cm]
	Le minimum de $f$ est -2, atteint pour $x=7$.

	\item %Donner un antécédent de 3 par $f$.\\[0.3cm]
	Un antécédent de 3 par $f$ est 1.
	
	\item %Donner un encadrement de $f(x)$ pour $x\in[3~;~7]$.\\[0.3cm]
Sur $[3~;~7]$, $f$ est décroissante. Un encadrement de $f(x)$ pour $x\in[3~;~7]$ est $\boxed{\textcolor{red}{-2\leqslant x\leqslant 5}}$.

	\item %Combien 4 a-t-il d'antécédents par $f$ ?\\[0.3cm]

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur [0~;~1], $f$ est décroissante ; les valeurs de $f(x)$ sont comprises entre 3 et 6, donc 4 a un antécédent.

\item Sur [1~;~3], $f$ est croissante ; les valeurs de $f(x)$ sont comprises entre 3 et 5, donc 4 a un antécédent.

\item Sur [3~;~7], $f$ est décroissante ; les valeurs de $f(x)$ sont comprises entre -2 et 5, donc 4 a un antécédent.

\item Sur [7~;~8], $f$ est croissante ; le maximum de $f(x)$ est 0, donc 4 n'a pas d'antécédent.
\end{enumerate}	
On en déduit que 4 a trois antécédents, un dans [0~;~1], un dans [1~;~3] et un dans [3~;~7].

	\item %Peut-on comparer $f(2)$ et $f(3)$ ? Si oui, le faire. Justifier soigneusement.\\[0.3cm]
Sur [1~;~3], $f$ est croissante ; 2 et 3 appartient à cet intervalle.\\
$2<3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(2)<f(3)}}$.

	\item %Peut-on comparer $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f(4)$ ? Si oui, le faire. Justifier soigneusement.\\[0.3cm]
$\dfrac{1}{2}\in[0~;~1]$, $f$ est décroissante sur cet intervalle donc $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ est compris entre 3 et 6 ; $4\in[3~;~7]$, $f$ est décroissante sur cet intervalle donc $f(4)$ est compris entre -2 et 5.\\
Avec ces renseignements, on ne peut pas comparer $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f(4)$.

	\item %Peut-on comparer $f(1)$ et $f(7)$ ? Si oui, le faire en justifiant. Justifier soigneusement.\\[0.3cm]
D'après le tableau de variation, $f(1)=3$ et $f(7)=-2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(1)>f(7)}}$.

	\item %La fonction $f$ est-elle positive ? Justifier soigneusement.\\[0.3cm]
	$f(7)=-2<0$ donc la fonction $f$ n'est pas positive.
	
	\item %
	Tracer ci-dessous une courbe compatible avec le tableau de variation.
\end{enumerate}

\[\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-3,-4)(9,7)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt,labels=none](0,0)(-3,-4)(9,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-4)(9,7)
\uput[dl](0,0){0}
\uput[d](1,0){1}
\uput[l](0,1){1}
\psdot[dotstyle=+](1,0)
\uput[u](8.5,0){$x$}
\psdot[dotstyle=+](0,1)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,6)(1,3)(3,5)(7,-2)(8,0)
\uput[l](0,6.8){$y$}

\end{pspicture}\]


\end{multicols}%\begin{pspicture}(-9,-7)(9,7)
%	\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt](0,0)(-9,-7)(9,7)
%%(0,0)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-9,-7)(9,7)
%\end{pspicture}


\newpage




\subsection{}
\label{coord}
\begin{enumerate}
\item Placer, dans le repère orthonormé (0~;~I~;~J) ci-dessous, les points A(-5~;~1), B(3~;~2) et C(-1~;~-6).

\begin{center}
	\psset{unit=0.7cm}
	\begin{pspicture}(-8,-8)(8,8)
	%	\psaxes[linewidth=2pt](0,0)(-8,-8)(8,8)
	\pspolygon[linewidth=2.pt,linecolor=red,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](-5.,1.)(3.,2.)(7.,-5.)(-1.,-6.)
	\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-8,-8)(8,8)
	\psline[linewidth=2pt]{->}(-8,0)(8,0)
	\psline[linewidth=2pt]{->}(0,-8)(0,8)
	\psline(3,2)(-1,-6)
	\psdot[dotstyle=+](0,0)
	\uput[dl](0,0){0}
	\psdot[dotstyle=+](1,0)
	\uput[d](1,0){I}
	\psdot[dotstyle=+](0,1)
	\uput[l](0,1){J}
	\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-5,1)(3,2)(-1,-6)(1,-2)(7,-5)
	\uput[u](-5,1){A}
	\uput[u](3,2){B}
	\uput[u](-1,-6){C}
	\uput[u](1,-2){K}
	\uput[r](7,-5){D}

	\end{pspicture}
\end{center}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées du milieu K du segment [BC]. le placer sur la figure.\\[0.3cm]
K est le milieu du segment [BC].\\
$x_K=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{3+(-1)}{2}=1$ ; $y_K=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{2+(-6)}{2}=-2$ ; K a pour coordonnées : $\boxed{\textcolor{red}{K(1~;~-2)}}$

\item %Calculer AC, AB et BC.\\[0.3cm]
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(x_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-1-(-5))^2+(-6-1)^2}=\sqrt{4^2+(-7)^2}=\sqrt{16+49}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{65}}}$.

\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(x_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(3-(-5))^2+(2-1)^2}=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{64+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{65}}}$.

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(x_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(-1-3)^2+(-6-2)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{80}=4\sqrt{5}}}$.

\end{enumerate}
\item %Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.\\[0.3cm]
Le plus grand côté est $BC=\sqrt{80}$ ;\\
$BC^2=80$ ; $AB^2+AC^2=65+65=130$.\\
$BC^2\neq AB^2+AC^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{contraposée du théorème de Pythagore}}, ABC n'est pas rectangle.

\item %En déduire la nature exacte du triangle ABC.\\[0.3cm]
$AB=AC=\sqrt{65}$ donc ABC est \textbf{\textcolor{red}{isocèle}} en A.

\end{enumerate}

\item %Calculer les coordonnées du point D tel que D soit le symétrique de A  par rapport à K.\\
%Placer D sur la figure.\\[0.3cm]
D est le symétrique de A  par rapport à K, donc K est le milieu de [AD].\\
On note $x_K$ et $y_K$ les coordonnées de K.\\
On en déduit :\\
$x_K=\dfrac{x_A+x_D}{2}$ donc $2x_K=x_A+x_D$ d'où $x_D=2x_K-x_A=2\times 1-(-5)=2+5=7$.\\
$y_K=\dfrac{y_A+y_D}{2}$ donc $2y_K=y_A+y_D$ d'où $y_D=2y_K-y_A=2\times (-2)-1=-4-1=-5$.\\
D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(7~;~-5)}}$.

\item %Quelle est la nature exacte du quadrilatère ABDC ? \\[0.3cm]
Par construction, K est le milieu des diagonales [AD] et [BC] du quadrilatère ABDC donc ABDC est un parallélogramme.\\
Comm AB=AC, ce parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.\\
Comme ABC n'est pas rectangle, ce losange n'est pas un carré

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  