\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 2}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item  


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Si $A$ est l'image de $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$ alors $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BC}}}$.\\
On en déduit que $ACBD$ ou $ADBC$ est un parallélogramme.

\columnbreak
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.,-1.)(6.,4.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=red]{->}(0.,0.)(4.,1.)
\psline[linewidth=2.pt]{->}(1.,1)(5.,2)
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](0.,0.)
\uput[d](0,0){$B$}
\psdots[dotstyle=x](4.,1.)
\uput[d](4,0.5){$C$}
\psdots[dotstyle=x](1.,1)
\uput[u](1,1){$D$}
\psdots[dotstyle=x](5.,2)
\uput[u](5,2){$A$}

\end{pspicture*}%\marginpar{1 pt}

\end{multicols}

\item Soient les points $M(-2~;~5)$ et $N(5~;~4)$.\\
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{NM}$ sont $\overrightarrow{NM}\begin{pmatrix}x_M-x_N\\y_M-y_N\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{NM}\begin{pmatrix}-7\\1\end{pmatrix}}}$.%\marginpar{1 pt}

\item Soient les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}~;~-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ : $-2\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)-3\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2}\neq 0$. D'après la condition de colinéarité, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

\item Pour $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ : $-2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)-3\times \dfrac{1}{3}=1-1=0$ ; d'après la condition de colinéarité, \fbox{\textcolor{red}{$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires}}.

\item $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas colinéaires, sinon, comme $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ le sont, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ seraient colinéaires, ce qui est faux.%\marginpar{2 pt}
\end{enumerate}

\item Soient les points R(1~;~0), S(4~;~6) et T (101~;~200).\\
$\overrightarrow{RS}\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{RT}\begin{pmatrix}100\\200\end{pmatrix}$.\\
$3\times 200-6\times 100=0$ ; d'après la condition de colinéarité, ces vecteurs sont colinéaires, donc les trois points $R$, $S$ et $T$ sont \textbf{\textcolor{red}{alignés}}.%\marginpar{2 pt}
\end{enumerate}

\subsection{}
Rappelons que si $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ (forme canonique), le sommet de la parabole représentative de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{S(\alpha~;~\beta)}}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathscr{C}_1$ a pour sommet $S_1(1~;~-2)$ ; la fonction associée est donc $g$ définie par $g(x)=(x-1)^2-2$.

\item $\mathscr{C}_3$ a pour sommet $S_3(-2~;~-3)$ ; la fonction associée est donc $f$ définie par $f(x)=(x+2)^2-3$.

\item $\mathscr{C}_4$ a pour sommet $S_4(-1~;~3)$ ; la fonction associée est donc $h$ définie par $h(x) = \dfrac{1}{2}(x+1)^2+3$.

\item $\mathscr{C}_2$ est donc associée à la fonction définie par $i(x)=-\dfrac{1}{4}(x-1)^2+12$.\\
Comme le coefficient de $x^2$ est $-\dfrac{1}{4}$, la fonction est bien d'abord croissante puis décroissante et le sommet $S_2$ a pour coordonnées $(1~;~12)$ (et c'est la seule qui reste dans la liste).
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Résumé}} : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\cellcolor{yellow!40}Courbe&$\mathscr{C}_1$&$\mathscr{C}_2$&$\mathscr{C}_3$&$\mathscr{C}_4$\\
\hline
\cellcolor{yellow!40}fonction associée&$g$&$i$&$f$&$h$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
%\marginpar{4 pt}

%\begin{center}
%$\begin{array}{|l|l|}\hline
%\mathscr{C}_1&g\\
%\hline
%\mathscr{C}_2&i\\
%\hline
%\mathscr{C}_3&f\\
%\hline
%\mathscr{C}_4&h\\
%\hline
%\end{array}$
%
%\end{center}


\newpage


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Visualisons la situation par un arbre pondéré (les branches sont pondérées par les probabilités correspondantes) :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$1 \text{}$}\taput{ $\frac23$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5\text{}$}\taput{ $\frac13$}
\Tdot~[tnpos=r]{$1\text{}$}\taput{ $\frac13$}
\Tdot~[tnpos=r]{$2\text{}$}\tbput{ $\frac13$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$0,5\text{}$}\tbput{ $\frac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5\text{}$}\taput{ $\frac13$}
\Tdot~[tnpos=r]{$1\text{}$}\taput{ $\frac13$}
\Tdot~[tnpos=r]{$2\text{}$}\tbput{ $\frac13$}}}
\end{center}%\marginpar{1 pt}

On applique alors le principe multiplicatif ; la probabilité de l'événement en bout d'arbre est le produit des probabilités des branches qui arrivent à cet événement.

\item Pour arriver au prix du journal qui est 2 \euro{}, il faut qu'elle choisisse successivement deux pièces de 1 \euro. La probabilité d'avoir 1-1 est $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{9}}}$.%\marginpar{1 pt}

\item La probabilité que les deux pièces tirées lui permettent d’acheter le journal tout en recevant de la monnaie en retour est la probabilité d'obtenir une somme strictement supérieure à 2, donc l'événement $1-2$ ou $0,5-2$, de probabilité $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.%\marginpar{1 pt}

\item La probabilité que les deux pièces tirées ne lui permettent pas d’acheter le journal est réalisée par l'événement 1-0,5~;~0,5-0,5 et 0,5-1.\\
Cette probabilité est donc $\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}+\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}+\times \dfrac{1}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{9}}}$.%\marginpar{2 pt}
\end{enumerate}

\emph{Remarque :} On peut aussi faire un tableau à double entrée, en mettant les valeurs des gros pièces de gauche dans la première ligne et les valeurs des trois pièces de gauche dans la première colonne. On a neuf cases dans lesquelles on met la somme obtenue. On retrouve alors les probabilités précédentes.

\bigskip

On pouvait aussi faire un arbre non pondéré ; une branche par pièce de la poche gauche puis une sous-branche par pièce dans la poche droite ; on compte alors en bout d'abréaction les totaux.

\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{yellow!40}\backslashbox{Pièce de droite}{Pièce de gauche}&1&1&0,50\\
\hline
\cellcolor{yellow!40}0,5&1,5&1,5&1\\
\hline
\cellcolor{yellow!40}1&2&2&1,5\\
\hline
\cellcolor{yellow!40}2&3&3&2,5\\
\hline
\end{tabular}

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$1$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$2$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$1$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$2$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$0,5$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$0,5$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$2$}\tbput{ $$}}}


\end{center}
\medskip

\subsection{}
On considère un repère (O ; I ; J) et on considère les points A(-2~;~-2), B(2~;~1), C(5~;~0) D(0,5~;~1,5) et E(3~;~2,5).

\begin{enumerate}
\item Plaçons les points :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,3)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](0,0)(1,0)(0,1)
\uput[ul](0,0){O}
\uput[d](1,0){I}
\uput[l](0,1){J}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=3](-2,-2)(2,1)(5,0)(0.5,1.5)(3,2.5)(1,-3)
\uput[u](-2,-2){A}
\uput[u](2,1){B}
\uput[u](5,0){C}
\uput[u](0.5,1.5){D}
\uput[u](3,2.5){E}
\uput[r](1,-3){F}
\pspolygon[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](-2,-2)(2,1)(5,0)(1,-3)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2,-3)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.7pt](-2,-3)(5,3)
\end{pspicture}
\end{center}%\marginpar{1.5 pt}

\item $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2,5\\3,5\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}1\\1,5\end{pmatrix}$\\
$\dfrac{2,5}{1}=2,5=\dfrac{5}{2}$~;~$\dfrac{3,5}{1,5}=\dfrac{35}{15}=\dfrac{7}{3}\neq\dfrac{5}{2}$.\\
Les cordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles : les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. donc les droites $(AD)$et $(BE)$ ne \textbf{\textcolor{red}{sont pas parallèles}}.%\marginpar{2 pt}

\item $ABCF$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FC}$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{FC}\begin{pmatrix}5-x_F\\-y_F\end{pmatrix}$.\\
Ces deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, leurs coordonnées sont égales. \\
On en déduit :
$\begin{cases}5-x_F=4\\-y_F=3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_F=5-4\\y_F=-3\end{cases}$.\\
Par conséquent, $F$ a pour cordonnées $\boxed{\textcolor{red}{F(1~;~-3)}}$.%\marginpar{3 pt}

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}$ donc $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}\frac72\\1\end{pmatrix}$ donc $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3,5\\1\end{pmatrix}$.\\
$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2,5\\3,5\end{pmatrix}$.\\
$\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$. On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}6\\4,5\end{pmatrix}}}$.%\marginpar{1 pt}

\item $G$ est défini par $\overrightarrow{AG} =\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$.\\
Après la question précédente, $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}6\\4,5\end{pmatrix}$.
Or ; $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}x_G+2\\y_G+2\end{pmatrix}$ donc $\begin{cases}x_G+2=6\\y_G+2=4,5\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_G=4\\y_G=2,5\end{cases}$ donc les coordonnées de $G$ sont $\boxed{\textcolor{red}{G(4;~2,5)}}$%\marginpar{1,5 pt}

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Le bénéfice est $B(x) =-15x^2 + 390x -\numprint{1800}$. Le coût de fabrication est de 6 \euro par figurine  donc leprix de vente par figurine doit être  donc l'entreprise a intérêt à vendre ses figurines à un prix individuel supérieur à 6 \euro.%\marginpar{1 pt}

\item 

\begin{enumerate}
\item $B(x) =-15x^2 + 390x -\numprint{1800}=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=-15\\b=390\\c=-\numprint{1800}\end{cases}$.\\
La forme canonique de $B$ est $B(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\begin{cases}\alpha=-\dfrac{b}{2a}\\\beta=B(\alpha)\end{cases}$.\\
On trouve $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{390}{-30}=13$.\\
$\beta=B(13)=735$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{B(x)=-15(x-13)^2+735}}$.\\

\bigskip

Autre méthode : $-15(x-13)^2+735=-15\left(x^2-26x+169\right)+735=-15x^2+390x-\numprint{2535}+735=-15x^2+390x-\numprint{1800}=B(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B(x)=-15(x-13)^2+735}}$.%\marginpar{1,5 pt}

\item Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(13~;~735)$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&6&&13&&20\\
\hline
\m{B(x)}&0&\c&\h{735}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}%\marginpar{2 pts}

\item Le bénéfice maximal est de \numprint{135000} \euro, atteint pour un prix de vente de chaque figurine de 13 \euro.%\marginpar{1 pt}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item $(x-16)(-15x + 150)=-15x^2+150x+240x-\numprint{2400}=\boxed{\textcolor{red}{15x^2+390x-\numprint{2400}}}$.%\marginpar{1 pt}

\item Par conséquent : $B(x)-600=-15x^2 + 390x -\numprint{1800}-600=-15x^2 + 390x -\numprint{2400}=\boxed{\textcolor{red}{(x-16)(-15x + 150)}}$ d'après la question précédente.%\marginpar{1 pt}

\item $B(x)=600\Leftrightarrow B(x)-600=0\Leftrightarrow (x-16)(-15x + 150)=0$ d'après la question précédente..\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
On trouve $x=16$ ou $x=10$.\\
On en déduit que le bénéfice est de 600 \euro{} pour $x=10$ ou $x=16$ donc pour une figurine  doit être vendue 10 ou 16 euros.%\marginpar{3 pt}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}

\item Complétons l'algorithme :\\
\fbox{ 		\begin{minipage}{6cm}
			$B\leftarrow-15x^2+390x-1800$\\
			Si $B>0$\\
			Afficher \og{}Rentable\fg{}\\
			Sinon\\
			afficher \og{}non rentable\fg{}\\
			fin si
		\end{minipage}
}
%\marginpar{0,5 pt}
\item D'après le tableau de variation, $B(15)>0$ donc, pour $x=15$, l'algorithme affiche \og{}Rentable\fg{}.%\marginpar{0,5 pt}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Traduisons les données :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $55\:\%\times 500=55\times 5=275$

\item $500-275=225$ donc 225 personnes ne partent pas en famille.

\item $60\:\%\times 225=135$ donc 135 personnes qui ne partent pas en famille préfère un voyage organisé.

\item $\dfrac{1}{5}\times 225=45$ donc 45 personnes qui ne partent pas en famille préfèrent les croisières.

\item On complète ensuite en effectuant des additions et des soustractions.
\end{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline

			\rowcolor{yellow!40}& Voyage organisé & Club de vacances & Croisière & Total\\\hline
			En famile & 73&137 & 65 &275 \\\hline
			Seul ou entre amis &135 &45&45 & 225\\\hline
			Total& 208& 182 &110 & 500\\\hline
\end{tabularx}%\marginpar{2 pt}

\item $P(A)=\dfrac{275}{500}=\dfrac{11}{20}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P(A)=\dfrac{11}{20}}}$\\
$P(B)=\dfrac{110}{500}=\dfrac{11}{50}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P(B)=\dfrac{11}{50}}}$\\
$P\left(\overline{C}\right)=1-P(C)=1-\dfrac{182}{500}=\dfrac{500-182}{500}=\dfrac{318}{500}=\dfrac{159}{250}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{P\left(\overline{C}\right)=\dfrac{159}{250}}}$. %\marginpar{2 pts}

\item 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A \cap B$ est l'événement \og{}Le client choisi part en famille et en croisière\fg{}.

\item $A \cup B$ est l'événement \og{}Le client choisi part en famille ou en croisière\fg{}.%\marginpar{1 pt}
\end{enumerate}

\item $P(A \cap B)=\dfrac{65}{500}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{100}}}$.%\marginpar{ 1 pt}

\item $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\dfrac{11}{20}+\dfrac{11}{50}-\dfrac{13}{100}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{25}}}$%\marginpar{1 pt}

\end{enumerate}

\item On choisit au hasard une personne qui a déclaré partir en vacances en famille.\\
La probabilité $p$ qu’elle préfère les clubs de vacances est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{137}{275}}}$.%\marginpar{1,5 pt}

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  