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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les statistiques et les fonctions affines}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
Rappeler la définition d'une fonction affine.\\
C'est du cours ! Une fonction $f$ est affine s'il existe deux réels $a$ et $b$ tells que, our tout $x$ de $\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Pour chacune des deux fonctions affines suivantes, donner son coefficient directeur et en déduire ses variations.\\
Donner aussi le signe de $f(x)$ dans un tableau de signes.

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3x+5$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient directeur est 3 ; 3 est positif donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item $f(x)=0$ équivaut à $3x+5=0$ donc $3x=-5$ d'où $x=-\dfrac{5}{3}$

\item \textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{5}{3}&&\pI\\
\hline
f(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item $f(x)=7-2x=-2x+7$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient directeur est -2 ; -2 est négatif donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item $f(x)=0$ équivaut à $-2x+7=0$ donc $-2x=-7$ d'où $x=\dfrac{7}{2}$

\item \textbf{\textcolor{red}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{7}{2}&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Tracer dans le même graphique les deux fonctions affines suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=2x-3$\\
La représentation graphique est une droite. Pour tracer celle-ci, il suffit de deux points, dont on peut calculer les coordonnées.\\
\begin{tabular}{|*{3}{l|}}\hline
x&0&5\\
\hline
f(x)&-3&7\\
\hline
\end{tabular}\\
La droite $d_1$, représentation graphique de $f$, passe par les points de coordonnées (0~;~-3) et (5~;~7)

\item $g(x)=-4x+7$\\
\begin{tabular}{|*{3}{l|}}\hline
x&0&3\\
\hline
f(x)&7&-5\\
\hline
\end{tabular}\\
La droite $d_2$, représentation graphique de $g$, passe par les points de coordonnées $(0~;~7)$ et $(3~;~-5)$.
\end{enumerate}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\psset{unit=0.3,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-6.)(6.,8.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-6.)(6.,8.)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{2.0*x-3.0}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2.0}{4.0}{7.0-4.0*x}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.,-3.)
\rput[bl](0.22,-3.){$A$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](5.,7.)
\rput[bl](5.2,6.96){$B$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.,7.)
\rput[bl](0.22,6.94){$C$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](3.,-5.)
\rput[bl](3.2,-4.88){$D$}
\end{scriptsize}
\uput[ul](0,0){0}
\uput[r](3,3){$d_1$}
\uput[ur](1,3){$d_2$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](-2.,-6.)(6.,8.)
\end{pspicture*}

\columnbreak

\footnotesize{On peut aussi utiliser un point (ici, le point sur l'axe des ordonnées) et le coefficient directeur :}
\normalsize
%\psset{unit=0.4,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-6.)(6.,8.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-6.)(6.,8.)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{2.0*x-3.0}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-2.0}{4.0}{7.0-4.0*x}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.,-3.)
\rput[bl](0.22,-3.){$A$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.,7.)
\psline[linewidth=2pt](0,-3)(1,-3)
\psline[linewidth=2pt](1,-3)(1,-1)
\psline[linewidth=2pt](0,7)(1,7)
\psline[linewidth=2pt](1,7)(1,3)
\uput[d](0.5,-3){1}
\uput[r](1,-2){2}
\uput[d](0.5,7){1}
\uput[r](1,5){-4}
\rput[bl](0.22,6.94){$C$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](3.,-5.)
\rput[bl](3.2,-4.88){$D$}
\end{scriptsize}
\uput[ul](0,0){0}
\uput[r](3,3){$d_1$}
\uput[ur](1,3){$d_2$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.4pt](-2.,-6.)(6.,8.)
\end{pspicture*}
\end{multicols}

\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
On considère la série statique suivante :
2~;~5~;~6~;~7~;~8~;~9~;~10~;~12~;~14~;~16~;~17~;~20
\begin{enumerate}
\item %Calculer la moyenne de cette série.
La moyenne de cette série est $\dfrac{2+5+6+\cdots +20}{12}=\dfrac{126}{12}=\dfrac{21}{2}=10,5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}=10,5}}$

\item %Que vaut la médiane de cette série ?
L'effectif total $N$ est 12, nombre pair. $\dfrac{N}{2}=6$.\\
La médiane est la moyenne entre les valeurs de rang 6 et 7 : $\text{Med}=\dfrac{x_6+x_7}{2}=\dfrac{9+10}{2}=9,5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=9,5}}$ 

\item %Déterminer les premier et troisième quartiles.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier quartile : $\dfrac{N}{4}=3$ donc $Q_1=x_3=6$ : le premier quartile est 6.

\item Troisième quartile : $3\textbf{}\dfrac{N}{4}=9$ donc $Q_3=x_9=14$ : le premier quartile est 14.
\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{Q_1=6~\qquad;~\qquad Q_3=14}}$
\end{enumerate}
%
\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
une société de location de véhicules possède un parc de 800 véhicules.\\
Pour chaque marque, la société possède deux modèles de véhicules : \og{}essence\fg{} ou \og{}Diesel\fg{}.\\
Durant l'année, chaque véhicule est immobilisé pour subir des entretiens, des réglages, des vidanges, des réparations, etc.\\
Pour l'ensemble des 500 véhicules \og{}Diesel\fg{} de la société, on a étudié, au cours de l'année 2015, le nombre de journées d'immobilisation. on a obtenu la série statistique suivante :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre de journées d'immobilisation&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
Nombre de véhicules concernés&11&28&86&121&120&88&34&12\\
\hline
Efectifs cumulés croissants&11&39&125&246&366&454&488&500\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer la moyenne $\overline{x}$ de la série (on arrondira le résultat à 0,1 près).
La moyenne de la série est :\\
$\dfrac{(1\times 11)+\cdots+(8\times 12)}{500}=\dfrac{\numprint{2271}}{500}=4,542$. $\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}=4,542}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau. (fait ci-dessus)

\item Déterminer la médiane de la série.\\
L'effectif total est 500, nombre pair. \\
$\dfrac{500}{2}=250$. La médiane est donc la moyenne entre les valeurs de rang 250 et 251.\\
$\text{Med}=\dfrac{x_{250}+x_{251}}{2}=\dfrac{5+5}{2}=5$. $\boxed{\textcolor{red}{\text{Med}=5}}$
\end{enumerate}

\item %Déterminer les premier et troisième quartile de la série.
Déterminons les quartiles.\\
$\dfrac{N}{4}=\dfrac{500}{4}=125$ ; $Q_1=x_{125}=3$.\\
$3\times \dfrac{N}{4}=375$ ; $Q_3=x_{375}=6$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{Q_1=3~\quad;~\quad Q_3=6}}$

\item %Calculer le pourcentage de voitures immobilisées quatre jours ou plus.
Le nombre de voitures immobilisée quatre jours ou plus est 500-125=375.\\
Le pourcentage correspondant est $\dfrac{375}{500}=\dfrac{750}{1000}=0,75=\dfrac{75}{100}=\boxed{\textcolor{red}{75\:\%}}$.\\
Le pourcentage de voitures immobilisées quatre jours ou plus est de 75\:\%.\\

\bigskip
\danger : attention à la notation \:\% ; $x\:\%$ signifie $\dfrac{x}{100}$ donc $0,75=\dfrac{75}{100}=75\:\%$.\\
Si on effectue un produit par 100, on obtient le nombre devant le symbole \:\% : $0,75\times 100=75$ donc le pourcentage de voitures immobilisées autre jours ou plus est 75\:\%.\\
Mais $0,75\times 100=75=\dfrac{7500}{100}=\numprint{7500}\:\%$.

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
La courbe ci-contre représente les fréquences cumulées croissantes associées au temps d’attente des usagers
au guichet d’un bureau de poste, observé durant un mois.\\
Les  temps  d’attente  ont été  comptabilisés  dans  des classes  de  4  minutes  d’amplitude.  On  admet  que  dans
chaque classe, la répartition des durées est uniforme.

\begin{enumerate}
\item %Quel pourcentage des usagers a un temps d’attente inférieur ou égal à 16 minutes ?
Le pourcentage des usagers qui a un temps d’attente inférieur ou égal à 16 minutes est 93\:\%.

\item À partir du graphique ci-contre, compléter la ligne des fréquences cumulées croissantes dans le tableau ci-
dessous, puis en déduire  la ligne des fréquences.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.08}
\begin{pspicture}(-2,-10)(22,120)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,0)(22,110)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(4,22)(8,56)(12,78)(16,93)(20,100)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(4,22)(8,56)(12,78)(16,93)(20,100)
\multido{\n=0+2}{12}{\psline(\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+5}{23}{\psline(0,\n)(22,\n)}
\uput[u](19,0){Durée d'attente en minutes}
\uput[u](0,110){F.C.C en \:\%}
\psline[linestyle=dashed](0,67)(10,67)
\end{pspicture}
\end{center}

Les points marqués ont pour coordonnées (0~;~0), (4~;~22), (8~;~56), (12~;~78), (16~;~93), (20~;~100).

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Durée d’attente (en min)&[0; 4[&[4~;~8[&[8~;~12[&[12~;~16[&[16~;~20]\\
\hline
F.C.C. (en\:\%)&22&56&78&93&100\\
\hline
Fréquence (en \:\%)&22&34&44&15&7\\
\hline
\end{tabularx}

\item Pour assurer le bon fonctionnement du service public, le directeur estime que 75\:\% de la population doit avoir un
temps d’attente inférieur à 10 minutes.\\
%Au vu de ce relevé, cet objectif est-il atteint ?
D'après le graphique, Le pourcentage de la population qui a un temps d'attente inférieur à 10 minutes est d'environ 67\:\%, donc moins de 75\:\%.\\
L'objectif \textbf{\textcolor{red}{n'est donc pas atteint}}.
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  