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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle (équations, inéquations)}}\end{center}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Compléton le tableau de signes  :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$

\item $x\mapsto 2x-3$ est croissante car le coefficient directeur 2 est positif, donc l'expression est négative pour $x\leqslant \dfrac{3}{2}$ puis positive pour $x\geqslant \dfrac{3}{2}$.

\item $x+7$ s'annule bien pour $x=-7$

\item $x\mapsto x+7$ est croissante car le coefficient directeur 1 est positif, donc l'expression est négative pour $x\leqslant -7$ puis positive pour $x\geqslant -7$.

\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-7&&\mathbf{\textcolor{red}{\dfrac{3}{2}}}&&\pI\\
\hline
2x-3&&\textcolor{red}{\mathbf{-}}&\l&\textcolor{red}{\mathbf{-}}&\z&\textcolor{red}{\mathbf{+}}\\
\hline
x\textcolor{red}{\mathbf{+7}}&&\textcolor{red}{\mathbf{-}}&\z&\textcolor{red}{\mathbf{+}}&\l&\textcolor{red}{\mathbf{+}}\\
\hline
\textcolor{red}{\mathbf{(2x-3)(x+7)}}&&\textcolor{red}{\mathbf{+}}&\l&\textcolor{red}{\mathbf{-}}&\l&\textcolor{red}{\mathbf{+}}&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}
\item $(3x+5)(-7x+2)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $3x+5=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{3}$

\item Deuxième cas : $-7x+2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{7}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{2}{7}\right\}}}$.

\bigskip

\item $(3x+5)(7x+3)-(3x+5)(5x+1)=0$.\\
On factorise :
$\underbrace{(3x+5)}_{\text{facteur commun}}(7x+3)-\underbrace{(3x+5)}_{\text{facteur commun}}(5x+1)=0\Leftrightarrow (3x+5)\left((7x+3)-(5x+1)\right)=0\\
\Leftrightarrow (3x+5)(7x+3-5x-1)=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{(3x+5)(2x+2)=0}}$.\\
On peut encore améliorer la factorisation avec : $\boxed{\textcolor{red}{2(3x+5)(x+1)=0}}$.\\
Le théorème du produit nul montrer qu'il y deux solutions, $-\dfrac{5}{3}$ et $-1$.\\
L'ensemble des solutions est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{5}{3}~;~-1\right\}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(3x+7)^2-(2x-9)^2=a^2-b^2$ avec $\begin{cases}a=(3x+7)\\b=(2x-9)\end{cases}$.\\
Or $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Donc : $(3x+7)^2-(2x-9)^2=\left[(3x+7)-(2x-9)\right]\left[(3x+7)+(2x-9)\right]=(3x+7-2x+9)(3x+7+2x-9)=\boxed{\textcolor{red}{(x+16)(5x-2)}}$.

\bigskip

\item %En déduire les solutions de l'inéquation $(3x+7)^2-(2x-9)^2\geqslant 0$.
L'inéquation $(3x+7)^2-(2x-9)^2\geqslant 0$ est donc équivalente à :\\
$(x+16)(5x-2)\geqslant 0$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Signe de $x+16$ :\\
$x+16=0\Leftrightarrow x=-16$ et $x+16>0\Leftrightarrow x>-16$.

\item Signe de $5x-2$ :\\
$5x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{5}$ et $5x-2>0\Leftrightarrow x>\dfrac{2}{5}$

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-16&&\dfrac{2}{5}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x+16&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }5x-2&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }(x+16)(5x-2)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-16] \cup \left[\dfrac{2}{5}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\dfrac{x-2}{-4x+3}+2=\dfrac{-7x+4}{-4x+3}$
$\dfrac{x-2}{-4x+3}+2=\dfrac{x-2+2(-4x+3)}{-4x+3}=\dfrac{x-2-8x+6}{-4x+3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-7x+4}{-4x+3}}}$

\bigskip

\item %Résoudre l'inéquation $\dfrac{x-2}{-4x+3}\geqslant -2$
$\dfrac{x-2}{-4x+3}\geqslant -2\Leftrightarrow \dfrac{x-2}{-4x+3}/2\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{-7x+4}{-4x+3}\leqslant 0$.\\
On cherche le signe de chaque facteur et on renseigne un tableau de signes.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Ensemble de définition : $-4x+3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ donc $\dfrac{3}{4}$ est la valeur interdite, donc l'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{4}\right\}}}$

\item $x\mapsto -4x+3$ est décroissante puisque son coefficient directeur est -4, nombre négatif, donc $-4x+3$ est positif pour $x<\dfrac{3}{4}$ puis négatif pour $x>\dfrac{3}{4}$

\item $x-2=0$ pour $x=2$ et $x-2>0\Leftrightarrow x>2$

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{4}{7}&&\dfrac{3}{4}&&\pI\\
\hline
-7x+4&&+&\z&-&\bb&-&\\
\hline
-4x+3&&+&\l&-&\bb&-&\\
\hline
\dfrac{-7x+4}{-4x+3}&&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{4}{7}\right] \cup \left]\dfrac{3}{4}~;~+\infty\right[}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit l'expression $f(x)=(3x-1)^2-4x(3x-1)$.


\begin{enumerate}
\item %Développer et réduire $f(x)$.
$f(x)=(3x)^2-2\times 3x\times 1+1^2-12x^2+4x=9x^2-6x+1-12x^2+4x=\boxed{\textcolor{red}{3x^2-2x+1}}$. (forme développée)

\bigskip

\item %Montrer, en factorisant $f(x)$ que $f(x)=(3x-1)(-x-1)$.
$f(x)=f(x)=(3x-1)^2-4x(3x-1)=\textcolor{red}{\mathbf{(3x-1)}}(3x-1)-4x\textcolor{red}{\mathbf{(3x-1)}}=(3x-1)\left[(3x-1)-4x\right]=\boxed{\textcolor{red}{(3x-1)(-x-1)}}$ (forme factorisée)

\bigskip

\item %Résoudre l’équation $f(x)=0$.
$f(x)=0\Leftrightarrow (3x-1)(-x-1)=0$.\\
D'après le théorème du produit nul, les solutions sont $-1$ et $\dfrac{1}{3}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-1~;~\dfrac{1}{3}\right\}}}$.

\bigskip

\item 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=1}}$ (en remplaçant $x$ âr 0 dans la forme développée).

\item $f\left(\sqrt{2}\right)=3\times \sqrt{2}^2-2\sqrt{2}+1=3\times 2-2\sqrt{2}+1=\boxed{\textcolor{red}{7-2\sqrt{2}}}$ (en utilisant la forme développée)

\item $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0}}$ puisque $\dfrac{1}{3}$ est une des solutions de l'équation $f(x)=0$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  