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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} :  Contrôle sur 10 points}}\end{center}

\subsection{}
%Que veut dire qu'un repère $(0~;~I~;~J)$ est orthonormé ?
Un repère (0~;~I~;~J) est un repère orthonormé si, et seulement si, les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et si les longueurs OI et OJ sont égales.


\subsection{}
On considère les point A$(2~;~5)$, B$(3~;~-8)$, C$(7~;~1)$ et D$(6~;~14)$.

%Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Soit M le milieu de la diagonale [AC].

$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+7}{2}=\dfrac{9}{2}$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{9}{2}~;~3\right)}}$.

Notons $M'$ le milieu de BD].
$x_M'=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{3+6}{2}=\dfrac{9}{2}$ et $y_{M'}=\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{-8+14}{2}=3$ donc $
\boxed{\textcolor{red}{M'\left(\dfrac{9}{2}~;~3\right)}}$.

M et M' sont égaux (mêmes coordonnées) ; les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu ; c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.


\subsection{}
Soient les points A$(2~;~5)$ et B$(7~;~-1)$.

%Calculer les coordonnées du point C, symétrique de A par rapport à B.
C est le symétrique de A par rapport à B si, et seulement s, B est le milieu de [AC].

On en déduit : 

$x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ donc $7=\dfrac{2+x_C}{2}$ d'où : $14=2+x_C$ donc $x_C=14-2=12$.
$y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ donc $-1=\dfrac{5+y_C}{2}$ d'où : $-2=y_C+5=2+y_C$ donc $y_C=-2-5=-7$.

Finalement : $\boxed{\textcolor{red}{C(12~;~-7)}}$


\subsection{}
On considère les points A(1~;~5), B(2~;~9) et C(-3~;~-1).

%Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut et il suffit que les deux diagonales aient le même milieu.

Soit M le milieu de [AC] : $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+(-3)}{2}=-1$ et $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{5+(-1)}{2}=2$  d'où $\boxed{\textcolor{red}{\text{M}(-1~;~2)}}$.

Cherchons D tel que M soit le milieu de [BD].

$x_M=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ donc $2x_M=x_B+x_D$ d'où $x_D=2x_M-x_B=-2-2=-4$.

De même : $y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2}$ donc $2y_M=y_B+y_D$ d'où $y_D=2y_M-y_B$=4-9=-5.

ABCD soit un parallélogramme si, et seulement si D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\text{D}(-4~;~5)}}$
\label{fin}
\end{document}  