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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du TD du 16 janvier sur les fonctions affines}}\end{center}

\subsection{}
Voici quatre droites tracées dans un repère orthonormal.\\
Associer à chacune de ces droites, lorsque cela est possible, la fonction affine  qu'elle représente parmi la liste des fonctions ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1.3,yunit=1.3}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,4)
%repère
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(3,3)
%\uput[d](1,0){$I$}
%\uput[l](0,1){$J$}
\uput[ul](0,0){O}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2,-2)(3,3)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-0.5}{2}{2 x mul 1 sub}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{3}{2 x sub}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](2,-2)(2,3)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-2}{3}{2}
\uput[dl](-1,3){$d_2$}\uput[dl](1.8,3){$d_1$}\uput[l](2,-1.5){$d_3$}\uput[d](2.5,2){$d_4$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_1$ passe par les points de cordonnées $(0~;~-1)$ et (1~;~1) ; l'ordonnée à l'origine est donc $b=-1$ et le coefficient directeur vaut $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2}{1}=2$.

$d_1$ est donc la représentation graphique de la fonction $f_5:x\longmapsto 2x-1$

\item $d_2$ passe par les points de cordonnées $(0~;~2)$ et (2~;~0) ; l'ordonnée à l'origine est donc $b=2$ et le coefficient directeur vaut $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-2}{2}=-1$.

$d_2$ est donc la représentation graphique de la fonction $f_3:x\longmapsto -x+2$

\item $d_3$ est parallèle à l' axe des ordonnées et n'est donc pas la représentation graphique d'une fonction (sinon, un nombre aurait plusieurs images, ce qui est impossible pour une fonction !)

\item $d_4$ est parallèle à l'axe des abscisses et correspond dont à une fonction affine constante

$d_4$ est donc la représentation graphique de la fonction $f_2:x\longmapsto 2$
\end{enumerate}


\subsection{}
Représenter graphiquement les fonctions définies ci-dessous, puis donner leur sens de variation :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(x) = 5 x- 3$ ; le coefficient directeur est $5>0$ donc $f$ est croissante.

\item $g(x) = 4x$ ; le coefficient directeur est $4>0$ donc $g$ est croissante.

\item $h(x) = 2-3x$ ; le coefficient directeur est $-3<0$ donc $h$ est décroissante.

\item $k(x) = 12 x- 3$ ; le coefficient directeur est $12>0$ donc $k$ est croissante.

\item $\ell(x) = - x + 1 $ ; le coefficient directeur est $-1<0$ donc $\ell$ est décroissante.
\end{enumerate}
Pour tracer les droites correspondantes, on place les points d'abscisse 0 et d'ordonnée les ordonnées à l'origine et on utilise les coefficients directeurs.
\begin{center}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\newrgbcolor{ccqqqq}{0.8 0. 0.}
\newrgbcolor{ffvvqq}{1. 0.3333333333333333 0.}
\newrgbcolor{zzttff}{0.6 0.2 1.}
\psset{unit=0.9,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.,-4.)(6.,14.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-4.,-4.)(6.,14.)
\psgrid[subgriddiv=1](-4.,-4.)(6.,14.)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=qqwuqq,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{5.0*x-3.0}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ccqqqq,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{4.0*x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{2.0-3.0*x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=ffvvqq,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{12.0*x-3.0}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=zzttff,plotpoints=200]{-4.0}{6.0}{-x+1.0}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,-3)(0,1)(0,2)
\psline[linewidth=2pt]{<->}(0,-3)(1,-3)\psline[linewidth=2pt]{<->}(1,-3)(1,2)
\uput[d](0.5,-3){1}\uput[r](1,-0.5){5}
\uput[r](2,7){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](-2,8){$\mathscr{C}_h$}\uput[l](2,8){$\mathscr{C}_g$}\uput[r](1,9){$\mathscr{C}_k$}\uput[r](-3,4){$\mathscr{C}_{\ell}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Remarque : on peut aussi calculer les coordonnées de deux points pour chacune des droites.


\subsection{}
Soit $f$ une fonction  affine telle que $f(2)=5$ et $f(5)=7$. Calculer $f(10)$ et $f(-3)$.

\bigskip
On peut utiliser la proportionnalité des accroissements (coefficient directeur fixe pour une même droite).

\noindent $\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}=\dfrac{f(10)-f(2)}{10-2}$

\noindent d'où :  $\dfrac{7-5}{5-2}=\dfrac{f(10)-5}{10-2}$

\noindent d'où :  $\dfrac{2}{3}=\dfrac{f(10)-5}{8}$ qui donne $f(10)-5=\dfrac{2}{3}\times 8=\dfrac{16}{3}$.

\noindent Alors : $f(10)=\dfrac{16}{3}+5=\dfrac{16+15}{3}=\dfrac{31}{3}$.

\bigskip
De même : 

$\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}=\dfrac{f[-3]-f(2)}{-3-2}$

\noindent d'où :  $\dfrac{7-5}{5-2}=\dfrac{f(-3)-5}{-3-2}$

\noindent d'où :  $\dfrac{2}{3}=\dfrac{f(-3)-5}{-5}$ qui donne 

\noindent $f(-3)-5=\dfrac{2}{3}\times (-5)=-\dfrac{10}{3}$.

\noindent Alors : $f(-3)=-\dfrac{10}{3}+5=\dfrac{-10+15}{3}=\dfrac{5}{3}$.

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Autre méthode}}.

\noindent On commence par déterminer l'expression de la fonction affine $f$ puis on calcule les images demandées.

\noindent Le coefficient directeur est $a=\dfrac{f(5)-f(2)}{5-2}=\dfrac{2}{3}$.

\noindent On en déduit que $f(x)=\dfrac{2}{3}x+b$.

\noindent \textbf{Calcul de $b$ }:

\noindent $f(2)=5$ donc $\dfrac{2}{3}\times 2+b=5$ soit $\dfrac{4}{3}+b=5$ d'où 

$b=5-\dfrac{4}{3}=\dfrac{15-4}{3}=\dfrac{11}{3}$.

\noindent Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{11}{3}}}$.

\noindent On retrouve $\boxed{\textcolor{red}{f(10)=\dfrac{31}{3}}}$et $\boxed{\textcolor{red}{f(-3)=\dfrac{5}{3}}}$
\label{fin}
\end{document}  