\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} corrigé du TD \no 2 sur les probabilités}}\end{center}


%
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Une entreprise fabrique des articles en grande quantité qui nécessitent deux composants notés $a$ et $b$.  
%
%Les articles peuvent être défectueux en raison de la défaillance d'un des deux composants ou des deux composants.
%
%Les résultats obtenus lors des contrôles effectués avant la mise en vente des articles ont permis d'établir que 88\,\% des articles fabriqués ne sont pas défectueux, 8\,\% des articles ont un composant $a$ défectueux et  7\,\% des articles ont un composant $b$ défectueux.
%
%On choisit au hasard un des articles fabriqués pour le contrôler.
%
%On note  $A$ l'évènement : \og le composant $a$ est défectueux \fg{} et $B$ l'évènement : \og le composant $b$ est défectueux \fg .

\begin{enumerate}

\item %Traduire en terme de probabilités les données de l'énoncé.
D'après les données de l'énoncé, on a :
$p(A)=0,08$~;~$p(B)=0,07$~;~$p\left(\overline{A \cup B}\right)=0,88$ ou $p\left(\overline{1} \cap \overline{B}\right)=0,88$.


\item %Traduire par une phrase l'évènement $A\cup B$.
$A \cup B$ est l'événement \og{}avoir (au moins) l'un des deux défauts\fg{}.

%Donner la probabilité de l'évènement  $A\cup B$.
$p(A \cup B)=1-P\left(\overline{A \cup B}\right)=1-0,88=0,12$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cup B)=0,12}}$

\item %Montrer que la probabilité que les deux composants sont défectueux est égale à 0,03.
$p(A \cap B)=p(A)+p(B)-p(A \cup B)=0,08+0,07-0,12=0,03$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cap B)=0,03}}$

\item Un élément de $A$ appartient à $B$ ou n'appartient pas à $B$. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-3.)(5.,3.)
\rput{0.}(0.,0.){\psellipse[linewidth=2.pt](0,0)(3.9308523248781557,2.54)}
\psline[linewidth=2.pt](0.,2.54)(0.,-2.54)
\uput[u](-2,-0.3){$A \cap B$}
\uput[u](2,-0.3){\textcolor{red}{$A \cap \overline{B}$}}
\uput[r](4,0){\textcolor{red}{$A$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

%En déduire l'écriture de $A$ à l'aide de $A \cap B$ et de $A \cap \overline{B}$.
Les éléments de $A$ appartiennent à B ou pas à $B$, donc $A=(A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)$ (réunion d'événements incompatibles, c'est-à-dire d'intersection vide)

\item %Calculer la probabilité que, sur cet article, il n'y ait que le composant $a$ qui soit défectueux.  
On en déduit $p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)$ donc $p\left(A \cap \overline{B}\right)=p(A)-p(A \cap B)==0,08-0,03=\boxed{\textcolor{red}{0,05}}$.\\
La probabilité que, sur cet article, il n'y ait que le composant $a$ qui soit défectueux est 0,05.
\end{enumerate}

 \subsection{}

Une étude sur réalisée sur l'ensemble des \numprint{2700} salariés d'une entreprise a permis d'établir les résultats suivants :


\begin{itemize}
\item  216 salariés ont entre 15 et 24 ans, 62\,\% des salariés ont entre 25 et 49 ans et 810 salariés ont plus de 50 ans.
\item \numprint{2025} salariés ont un emploi à durée indéterminée.
\item 4\,\% des salariés ayant un emploi à durée indéterminée ont entre 15 et 24 ans et 64\,\% des salariés ayant un emploi à durée indéterminée ont entre 25 et 49 ans.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant la répartition des effectifs selon l'âge et le type de contrat :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{l|}{} & 15-24 ans & 25-49 ans & Plus de 50 ans & Total\\ \hline
Emplois à durée indéterminée&81&\numprint{1296}&648&\numprint{2025}\\ \hline
Autres catégories &135&378&162&675\\ \hline
Total &216&\numprint{1674}&810&\numprint{2700}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $62\:\%\times \numprint{2700}=\dfrac{62}{100}\times \numprint{2700}=62\times 27=\numprint{1674}$

\item $\numprint{2025}\times 4\:\%=\numprint{2025}\times \dfrac{4}{100}=81$

\item $64\:\%\times \numprint{2025}=\numprint{1296}$
\end{enumerate}
On place ces trois nombres dans le tableau. On calcule alors les nombres manquants à partir des différents totaux.

\item On choisit la fiche de paye d'un salarié de cette entreprise. On admet que chacune de ces fiches possède la même probabilité d'être choisie. Nous sommes donc en situation d'équiprobabilité. La probabilité d'un événement $A$ est $\dfrac{\text{nombre éléments de }A}{\text{nombre d'éléments de }\Omega}$

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $J$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant entre 15 et 24 ans \fg{};

\item $M$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant entre 25 et 49 ans \fg{};

\item $S$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant plus de 50 ans \fg{};

\item $D$  \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant un emploi à durée indéterminée \fg.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item %Définir par une phrase l'évènement $S \cap D$ puis calculer sa probabilité.
		L'évènement $S \cap D$ est l'événement \og{}le salarié a plus de 50 ans et un emploi à durée indéterminée\fg{}.\\
		$p(S \cap D)=\dfrac{648}{2700}=0,24=\dfrac{6}{25}$
		
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant entre 25 et 49 ans ou ayant un emploi à durée indéterminée \fg.
		La probabilité de l'évènement \og La fiche choisie est celle d'un salarié ayant entre 25 et 49 ans ou ayant un emploi à durée indéterminée \fg est $p(M \cup D)=p(M)+p(D)-p(M \cap D)=\dfrac{\numprint{1674}+\numprint{2025}-\numprint{1296}}{2700}=\dfrac{2403}{2700}=0,89$
 	\end{enumerate}
	
\item  On établit la fiche de paye d'un salarié \textbf{ayant entre 15 et 24 ans}. On \textbf{restreint} donc l'ensemble sur lequel porte l'étude.
	
%Calculer la probabilité que la fiche soit celle d'un salarié n'ayant pas un emploi à durée indéterminée.
La probabilité que la fiche soit celle d'un salarié n'ayant pas un emploi à durée indéterminée est $\dfrac{135}{216}=\boxed{\textcolor{red}{0,625=\dfrac{5}{8}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'un tableau}}

   On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6.    On note alors le plus grand des deux numéros sortis.
   \begin{enumerate}
      \item %Utiliser un tableau à double entrée pour modéliser la situation.
      Utilisons un tableau à double entrée pour modéliser la situation.
      
      \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{orange!60}\backslashbox{Dé 2}{Dé 1}&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}1&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}2&2&2&3&4&5&6\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}3&3&3&3&4&5&6\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}4&4&4&4&4&5&6\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}5&5&5&5&5&5&6\\
\hline
\cellcolor{cyan!30}6&6&6&6&6&6&6\\
\hline

\end{tabularx}
      
      \item %Quel est l'univers $\Omega$ de toutes les issues possibles ?
      $\Omega=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}$
      
      \item %Établir la loi de probabilité de l'expérience.
      Notons $X$ le plus grand deux deux nombres.


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

      \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(X=1)=\dfrac{1}{26}$
\item $p(X=2)=\dfrac{3}{26}$
\item $p(X=3)=\dfrac{5}{26}$
\item $p(X=4=\dfrac{7}{26}$
\item $p(X=5)=\dfrac{9}{26}$
\item $p(X=6)=\dfrac{11}{26}$
\end{enumerate}


\end{multicols}
On vérifie que la somme de toutes les probabilités vaut bien 1.
   \end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'un arbre}}
La porte d'entrée d'un immeuble est muni d'un clavier de trois touches marquées par les lettres $A,B$ et $C$. \\
Le code qui déclenche l'ouverture de la porte est formé d'une série de deux lettres distinctes ou non.

   \begin{enumerate}
      \item Recopier et compléter l'arbre suivant qui dénombre l'ensemble des codes possibles : \\
      
	     \begin{center}
	     %\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=70mm,treesep=6mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$A$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$B$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$C$}\tbput{ $$}}}

 \end{center}

	  \vspace*{0.5cm}  
      \item %Déterminer le nombre de codes différents possibles.
      Il y a 9 codes possibles.
      
      \item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants.
      
      \begin{itemize}
         \item[A :] $p(\og{}\text{Le code se termine par A}.\fg{})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}}}$
         
         \item[B :] $p(\og{}\text{Le code est formé de deux lettres différentes}.\fg{})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}}}$
         
         \item[C :] $p(\og{}\text{Le code comporte au moins une fois la lettre A}.\fg{})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{9}}}$ (AA~;~AB~;~AC~;~BA~;~CA)
      \end{itemize}
         \end{enumerate}


%\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  