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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

\emph{\og{}Arithmétique, algèbre, géométrie, trinité grandiose ! triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connu est un insensé ! Il mériterait l'épreuve des plus grands supplices.\fg{}, d'après le Comte de Lautréamont (1846 -1870))}

\subsection{}
Soit l'expression $f (x)=(-1+2x)^2 -(3-6x)(1-x)$ 

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : Écrire et transformer}} :

\begin{enumerate}
\item $f (x)=(-1+2x)^2 -(3-6x)(1-x)=(-1)^2+2\times (-1)\times 2x+(2x)^2-\left(3-3x-6x+6x^2\right)\\
=1-4x+4x^2-3+3x+6x-6x^2=\boxed{\textcolor{red}{-2x^2+5x-2}}$.

\item %Montrer à l’aide d’une factorisation que : $f (x)=(1-2x) (x-2)$. \\
%On pourra remarquer que $(-1+2x)^2=(-(1-2x))^2=(1-2x)^2$ et que $(3-6x)=3(1-2x)$
$f (x)=(-1+2x)^2 -(3-6x)(1-x)=\left[-(1)(1-2x)\right]^2-3(1-2x)(1-x)\\
=(1-2x)^2-3(1-2x)(1-x)=(1-2x)\left[(1-2x)-3(1-x)\right]=(1-2x)(1-2x-3+3x)=\boxed{\textcolor{red}{(1-2x)(x-2)}}$

\item %Montrer que pour tout réel $x$ : $f(x)=-2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}$.
Pour tout $x$, $-2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}=-2\left[x^2-2\times x\times \dfrac{5}{4}+\left(\dfrac{5}{4}\right)^2\right]+\dfrac{9}{8}=-2\left(x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{25}{16}\right)+\dfrac{9}{8}=-2x^2+5x-\dfrac{25}{8}+\dfrac{9}{8}=-2x^2+5x-\dfrac{16}{8}=-2x^2+5x-2=f(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}}}$
\end{enumerate}

\bigskip
\textcolor{red}{\textbf{Partie B : Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :}}

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $f\left(\dfrac{5}{4}\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Avec la forme factorisée, $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(1-2\times \dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{1}{2}-2\right)=0\times \left(\dfrac{1}{2}-2\right)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0}}$

\item Avec la forme trouvée à la question 3., on a : $f\left(\dfrac{5}{4}\right)=-2\left(\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{4}\right)+\dfrac{9}{8}=\dfrac{9}{8}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f\left(\dfrac{5}{4}\right)=\dfrac{9}{8}}}$

\end{enumerate}
\item %Montrer que $f\left(\sqrt{2}\right)=5\sqrt{2}-6$.
Avec la forme développée : $f(\sqrt{2})=-2\times \sqrt{2}^2+5\sqrt{2}-2=-2\times 2+5\sqrt{2}-2=-4-5\sqrt{2}-2=5\sqrt{2}-6$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(\sqrt{2})=5\sqrt{2}-6}}$

\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations :

\begin{enumerate}
\item $f(x)=0\Leftrightarrow (1-2x)(x-2)=0$ en utilisant la forme factorisée.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $1-2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$

\item Deuxième cas : $x-2=0\Leftrightarrow x=2$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{1}{2}~;~2\right\}}}$.

\item $f(x)=\dfrac{9}{8}\Leftrightarrow -2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{9}{8}=\dfrac{9}{8}\Leftrightarrow -2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow (x-\dfrac{5}{4})^2=0\Leftrightarrow x-\dfrac{5}{4}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5}{4}\right\}}}$.

\item $f(x)=(x-2)\Leftrightarrow (1-2x)(x-2)=(x-2)\Leftrightarrow (1-2x)(x-2)-(x-2)=0\Leftrightarrow (x-2)[(1-2x)-1]=0\Leftrightarrow (x-2)\times (-2x)=0\Leftrightarrow -2x(x-2)=0$.\\
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~2\}}}$

\end{enumerate}

\item %Déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ et le réel pour lequel il est atteint.
Pour tout $x$ réel, $\left(x-\dfrac{5}{4}\right)\geqslant 0$ (carré d'un nombre réel ), donc :\\
$-2\left(x-\dfrac{5}{4}\right)^2\leqslant 0$ (car on multiplie par un nombre négatif)\\
d'où, en ajoutant $\dfrac{9}{8}$ ux deux membres de l'inégalité : $-2(x-\dfrac{5}{4})^2+\dfrac{9}{8}\leqslant \dfrac{9}{8}$.\\
Pour tout $x$, $f(x)\leqslant \dfrac{9}{8}$, donc le maximum de $f(x)$ est $\dfrac{9}{8}$ et cette valeur atteinte pour $x=\dfrac{5}{4}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=4x^2-25-(2x-5)(3+2x).\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$.
$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=4\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2-25-\left(2\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)-5\right)\left(3+2\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)=4\times \dfrac{9}{4}-25-(-8)\times 0=9-25=\boxed{\textcolor{red}{-16}}$.

\item %Factoriser l’expression de $f (x)$.
Factorisons $f(x)$ :\\
$f(x)=4x^2-25-(2x-5)(3+2x)=(2x)^2-5^2-(2x-5)(3+2x)=(2x-5)(2x+5)-(2x-5)(3+2x)=(2x-5)\left[(2x+5)-(3+2x)\right]=(2x-5)(2x+5-3-2x)=\boxed{\textcolor{red}{2(2x-5)}}$

\item %Résoudre l’inéquation $f (x) \leqslant 0$.
$f(x)=0\Leftrightarrow 2(2x-5)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Le plan est muni du repère orthonormé (O , I , J).
On considère les points A(2~;~1), B(1~;~-3) et C (-6~;~3).


\begin{enumerate}
\item   %Placer les points A,B et C dans le repère (O , I , J). On complètera la figure au fur et à mesure de l’exercice. 
Figure :
\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-8.,-4.)(3.,4.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-8,-7)(12,7)
\pspolygon[linewidth=2.pt](2.,1.)(1.,-3.)(-6.,3.)
\pspolygon[linewidth=2.pt](2.,1.)(1.,-3.)(-7.,-1.)(-6.,3.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](2.,1.)(1.,-3.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](1.,-3.)(-6.,3.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](-6.,3.)(2.,1.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](2.,1.)(1.,-3.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](1.,-3.)(-7.,-1.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](-7.,-1.)(-6.,3.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](-6.,3.)(2.,1.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2.,1.)
\rput[bl](2.08,1.2){\ududff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.,-3.)
\rput[bl](1.26,-2.94){\ududff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-6.,3.)
\rput[bl](-5.92,3.2){\ududff{$C$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-7.,-1.)
\rput[bl](-7.22,-1.5){\darkgray{$D$}}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-8,-7)(12,7)
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Calculer les distances AB, AC et BC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(-6-1)^2+(3-(-3))^2}=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-6-2)^2+(3-1)^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$
\end{enumerate}

\item %Prouver que le triangle ABC est rectangle en A.
$[BC]$ est le plus grand côté ; $BC^2=85$ ; $AB^2+AC^2=17+68=85$ donc $BC^2=AB^2+AC^2$.\\
Après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en A.

\item %Calculer l’aire du triangle ABC.
L'aire du triangle $ABC$ est $\mathscr{A}(ABC)=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{17}\times \sqrt{68}}{2}=\dfrac{\sqrt{17}\times 2\sqrt{17}}{2}=17$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{A}(ABC)=17}}$

\item %Calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un rectangle.
Puisque $ABC$ est rectangle en A, pour que $ABDC$ soit un rectangle, il suffit que ce soit un parallélogramme.\\
Les diagonales doivent avoir le même milieu.\\
Notons $M$ le milieu de $[BC]$ ; $x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=-\dfrac{5}{2}$ : $y_M=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{-3+3}{2}=0$.\\
$M$ est le milieu de $[AD]$ ; $x_{M}=\dfrac{x_A+x_D}{2}$ donc $2x_M=x_A+x_D$ d'où $x_D=2x_M-x_A=-5-2=-7$. \\
De même : $y_D=2y_M-y_A=-1$. \\
$D$ a pour coordonnées : $\boxed{\textcolor{red}{D(-7~;~-1)}}$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition de l'inéquation $\dfrac{1}{5x-1}\leqslant \dfrac{1}{x+2}$ ?
Soit l'inéquation $\dfrac{1}{5x-1}\leqslant \dfrac{1}{x+2}$.\\
Les dénominateurs doivent être non nuls, donc l'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2~;~\dfrac{1}{5}\right\}}}$.

\item %Montrer que l'inéquation ci-dessus est équivalente à  l'inéquation $\dfrac{-4x+3}{(5x-1)(x+2)}\leqslant 0$.
On suppose que $x\in\mathscr{D}$.\\
$\dfrac{1}{5x-1}\leqslant \dfrac{1}{x+2}\Leftrightarrow \dfrac{1}{5x-1}- \dfrac{1}{x+2}\leqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{(x+2)-(5x-1)}{(5x-1)(x+2)}\leqslant 0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-4x+3}{(5x-1)(x+2)}\leqslant 0}}$

\item %Résoudre alors l'inéquation donnée à l'aide d'un tableau de signes.\\
% (rappel : mettre une double barre sous chaque valeur interdite).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-4x+3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}$ et $-4x+3\leqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{3}{4}$ (fonction affine décroissante, ça le coefficient directeur est -3 négatif)

\item $5x-1>0\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{1}{5}$

\item $x+2>0\Leftrightarrow x>-2$

\item On renseigne alors un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\dfrac{1}{5}&&\dfrac{3}{4}&&\pI\\
\hline
-4x+3&&+&\bb&+&\bb&+&\l&-&\\
\hline
5x-1&&-&\bb&-&\bb&+&\z&+&\\
\hline
x+2&&-&\bb&+&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{-4x+3}{(5x-1)(x+2)}&&+&\bb&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'un diagramme}}


   Une campagne de prévention routière s'intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l'éclairage de 400 véhicules :
   \begin{itemize}
      \item 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage.
      \item 140 des 400 véhicules présentent un défaut d'éclairage.
      \item 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d'éclairage. 
   \end{itemize}
   \begin{enumerate}
      \item Recopier puis compléter le diagramme de Venn ci-dessous avec des nombres pour représenter la situation.
	   \begin{center}
	            \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.65cm,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
	\begin{pspicture*}(-3.14,-1)(4.5,2.92)
	   \rput{-0.21}(0.71,0.99){\psellipse(0,0)(3.29,1.87)}
	   \rput{0.9}(-0.28,0.98){\psellipse(0,0)(1.54,0.86)}
	   \rput{1.11}(1.63,0.94){\psellipse(0,0)(1.37,0.91)}
	   \uput[dl](-0.5,1.5){F}
	   \uput[dl](2,1.5){E}
\uput[dl](-0.5,1){15}
\uput[dl](1,1.2){45}
\uput[dl](1.7,1){95}
\uput[dl](3.7,1){245}
	\end{pspicture*}
	\end{center}
    \item On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. Quelle est la probabilité que : 
	\begin{enumerate}
        \item %le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d'éclairage ?
        La probabilité que le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d'éclairage est : $\dfrac{15}{400}=\dfrac{3}{80}$.
        
         \item %le véhicule présente un défaut d'éclairage mais pas de défaut de freinage ?
         La probabilité que le véhicule présente un défaut d'éclairage mais pas de défaut de freinage est $\dfrac{95}{400}=\dfrac{19}{80}$
         
         \item %le véhicule ne présente aucun des deux défauts ?
         La probabilité que le véhicule ne présente aucun des deux défauts est $\dfrac{245}{400}=\dfrac{49}{80}$.
         
         \item %le véhicule présente au moins un des deux défauts ?
         La probabilité que le véhicule présente au moins un des deux défauts est $1-\dfrac{49}{80}=\dfrac{31}{80}$
      \end{enumerate}
   \end{enumerate}



\subsection{}

   Voici les résultats d'un sondage effectué en 1999 auprès de 2\,000 personnes, à propos d'Internet : 
   \begin{itemize}
      \item 40\% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 35\% des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être intéressées par Internet, 
      \item 30\% des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85\% ne sont pas intéressées par Internet. 
   \end{itemize} 
   \begin{enumerate}
   
      \item Complétons le tableau suivant : \\
Les renseignements se traduisent par :


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

      \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $40\:\%\times \numprint{2000}=800$

\item $35\:\%\times \numprint{2000}=700$

\item $700\times \dfrac{4}{5}=560$

\item $30\:\%\times \numprint{2000}=600$

\item $600\times \dfrac{85}{100}=510$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
            \rowcolor{yellow!60}& intéressées par Internet & non intéressées par Internet & \textbf{total} \\
            \hline 
            \cellcolor{blue!20}moins de 30 ans &\textcolor{red}{560} &140 & \textcolor{red}{700}\\
            \hline 
                        \cellcolor{blue!20}de 30 à 60 ans & 150&550 &700 \\
            \hline 
            \cellcolor{blue!20}            plus de 60 ans &90 & \textcolor{red}{510}& \textcolor{red}{600}\\
            \hline 
            \cellcolor{blue!20}            \textbf{total} & \textcolor{red}{800}&1200 & \textcolor{red}{\numprint{2000}} \\
            \hline 
\end{tabularx}      

\item On choisit au hasard une personne parmi les 2\,000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On considère les événements :
      \begin{itemize} 
         \item[A :]\og{\sl la personne interrogée a moins de 30 ans}\fg,
         \item[B :] \og{\sl la personne interrogée est intéressée par Internet}\fg. 
      \end{itemize}
      \begin{enumerate}
         \item %Calculer les probabilités $P(A)$ et $P(B)$. 
         $p(A)=\dfrac{700}{2000}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{20}}}$ ; $p(B)=\dfrac{800}{2000}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}}}$
         
         \item %Définir par une phrase l'événement $\overline{A}$ puis calculer $P(\overline{A})$. 
         $\overline{A}$ est l'événement contraire de $A$, c'est-à-dire \og{}La personne a plus de 30 ans\fg{}.\\
         $P\left(\overline{A}\right)=1-P(A)=1-\dfrac{7}{20}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{20}}}$.
         
         \item %Définir par une phrase l'événement $A\cap B$ puis calculer $P(A\cap B)$. En déduire $P(A\cup B)$. 
         $A \cap B$ est l'événement \og{}La personne interrogée est intéressée par Internet et a moins de 30 ans\fg{}.\\
         $P(A \cap B)=\dfrac{360}{800}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{9}{20}}}$.
      \end{enumerate}
      
      \item \textbf{On sait maintenant} que la personne interrogée est intéressée par Internet.\\               
%          Quelle est la probabilité qu'elle ait plus de 30 ans ? 
La probabilité qu'elle ait plus de 30 ans  est $\dfrac{150+90}{800}=\dfrac{240}{800}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{10}}}$.
   \end{enumerate} 

\label{fin}
\end{document}  