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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : Correction. du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Un ingénieur a conçu un pont capable de supporter une charge maximale après calcul de $1000\left(99-70\sqrt{2}\right)$ tonnes.\\
Il demande un stagiaire de faire une pancarte pour avertir les usagers de la charge maximale autorisée.
\begin{enumerate}
\item  %Donner une valeur approchée de $\sqrt{2}$ à 0,001 près.\\
$\sqrt{2}\approx 1,414$ à $10^{-3}$ près.

\bigskip

Le stagiaire réalise la pancarte en prenant 1,414 comme valeur approchée de $\sqrt{2}$. %Qu'indique sa pancarte ?\\
%Un camion de 8 tonnes peut-il s'engager sur le pont en respectant la pancarte ?
Pour calculer une valeur approchée de charge possible, il calcule $1000\left(99-70\sqrt{2}\right)$ avec $\sqrt{2}\approx 1,414$ donc $1000\left(99-70\times 1,414\right)\boxed{\textcolor{red}{\approx 20}}$. Sa pancarte indique donc \og{}\fbox{\textcolor{red}{Charge maximum possible : 20 tonnes}}\fg{}.

\item Un camion de 12 tonnes s'est engagé sur le pont. Le pont s'est écroulé à son passage.\\

Au procès, l'ingénieur affirme qu'il avait interdit aux camions de plus de 5 tonnes de franchir le pont. Qui de l'ingénieur ou du stagiaire  avait raison ? (justifier précisément votre réponse).\\
En prenant davantage de décimales à la calculatrice, on trouve $1000\left(99-70\sqrt{2}\right)\boxed{\textcolor{red}{\approx 5}}$.\\
L'ingénieur \textbf{\textcolor{red}{avait raison}} d'avoir interdit aux camions de plus de cinq tonnes de franchir le pont. 
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(4~;~-2)$, $B(2~;~5)$ et $C(-3~;~-4)$.
\begin{enumerate}
%
%
\item 
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-6.,-6.)(6.,6.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-6.,-6.)(6.,6.)
\pspolygon[linewidth=1pt,](4.,-1.8)(2.,5.)(-3.,-4.)
\psline[linewidth=1pt](4.,-1.8)(2.,5.)
\psline[linewidth=1pt](2.,5.)(-3.,-4.)
\psline[linewidth=1pt](-3.,-4.)(4.,-1.8)
\psellipse[linewidth=1pt](-0.5,0.5)(5.053711507397311,5.053711507397311)
\psdots[dotstyle=*](4.,-1.8)
\rput[bl](4.099627906976744,-1.5660465116279054){$A$}
\psdots[dotstyle=*](2.,5.)
\rput[bl](2.0960930232558135,5.2324651162790685){$B$}
\psdots[dotstyle=*](-3.,-4.)
\rput[bl](-3.3517209302325592,-3.7721860465116257){$C$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-0.5,0.5)
\uput[l](-0.5,0.5){$M$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%
Calculons les distances $AB$, $BC$ et $AC$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(2-4)^2+(5-(-2))^2}\\
=\sqrt{(-2)^2+7^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(-3-2)^2+(-4-5)^2}\\=\sqrt{(-5)^2+(-9)^2}=\sqrt{25+81}=\sqrt{106}$.

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-3-4)^2+(-4-(-2))^2}\\
=\sqrt{(-7)^2+(-2)^2}=\sqrt{40+4}=\sqrt{53}$.

\end{enumerate}
%Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
$AB=AC$ donc le triangle ABC est isocèle en A.\\
$BC^2=106$ ; $AB^2+AC^2=53+53=106$ donc \\
$BC^2=AB^2+AC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.\\
ABC est donc un triangle \textbf{\textcolor{red}{isocèle rectangle}} en A.

\item %Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$. Justifier.
Puisque ABC est rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu M de l'hypoténuse et le rayon est la moitié de cette hypoténuse, donc $\dfrac{\sqrt{106}}{2}$.
\end{enumerate}
%
\subsection{}%https://perso.crans.org/pklein/Maths/lycee1/DS9_Enonce.pdf

Le tableau ci-dessous présente la série de notes obtenues par les élèves d’une classe de 2\up{nde} à un devoir.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Note sur 20&5&6&8&9&11&12&13&15&18&19\\
\hline
Effectif&1&2&6&2&1&4&2&3&1&1\\
\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Représenter cette série par un diagramme en bâtons.
Représentons cette série par un diagramme en bâtons.
\begin{center}
\psset{xunit=0.4,yunit=0.6}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,7)
\psaxes[Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(20,7)
\psline[linewidth=4pt](5,0)(5,1)
\psline[linewidth=4pt](6,0)(6,2)
\psline[linewidth=4pt](8,0)(8,6)
\psline[linewidth=4pt](9,0)(9,2)
\psline[linewidth=4pt](11,0)(11,1)
\psline[linewidth=4pt](12,0)(12,4)
\psline[linewidth=4pt](13,0)(13,2)
\psline[linewidth=4pt](15,0)(15,3)
\psline[linewidth=4pt](18,0)(18,1)
\psline[linewidth=4pt](19,0)(19,1)
\uput[r](0,6.8){Effectifs}
\uput[u](20.5,0){Notes}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Quel est l’effectif de la classe? 
L’effectif de la classe est $\boxed{\textcolor{red}{N=23}}$.

\item%Calculer la note moyenne de ce devoir. En donner la valeur arrondie au dixième de  point près.
La note moyenne est  :\\
$\overline{x}=\dfrac{(5\times 1)+(6\times 2)+\cdots+(19\times 1}{23}=\dfrac{5+12+48+18+11+48+26+45+18+19}{23}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{250}{23}\approx 10,9}}$

\item %Quel pourcentage, arrondi à 1 \:\% près, représente l’ensemble des élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8 ?
Le nombre d'élèves ayant une note inférieure ou égale à 8 est 9.\\
$\dfrac{9}{23}\approx 0,39\approx \dfrac{39}{100}=39\:\%$.\\
\fbox{\textcolor{red}{39\:\% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 8}}.

\item %Déterminer la note médiane de cette série.
L'effectif total est $N=23$, nombre impair : $23=2\times 11+1$. La médiane est donc le nombre de rang 12 (12\ieme valeur) :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=11}}$

\item %Déterminer les quartiles de cette série.
Donnons la liste des effectifs cumulés croissants, pour rendre la lecture plus facile :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
E.C.C&1&3&9&11&12&16&18&21&22&23\\
\hline
\end{tabularx}

$\dfrac{N}{4}=\dfrac{23}{4}=5,75$ ; le premier quartile est donc la valeur de rang 6 : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=8}}$.\\
$3\times \dfrac{N}{4}=17,25$ ; le troisième quartile est donc la valeur de rang 18 : $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=13}}$.\\
\end{enumerate}



\subsection{}
Dans une usine, une machine produit des pièces de différents diamètres.\\
On a mesuré le diamètre, en mm, de \numprint{1000} de ces pièces. Le tableau suivant donne les résultats obtenus : 

\bigskip
\tiny
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Diamètre & 30,25 & 30,26 & 30,27 & 30,28 & 30,29 & 30,30 \\\hline
\begin{minipage}{0.7cm}
Nombre de pièces
\end{minipage} & 112 & 262 & 236 & 181 & 127 & 82 \\\hline
E.C.C.&112 & 374 & 610 & 791 & 818 & \numprint{1000}\\
\hline
\end{tabularx}
\normalsize
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le mode, la médiane et l'étendue de cette série. (on appelle mode une valeur du caractère correspondant au plus grand effectif)
Ajoutons une ligne au tableau donnant les effectifs cumulés croissants. (voir tableau ci-dessus)
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item L'étendue est $30,30-30,25=\boxed{\textcolor{red}{0,05}}$

\item Le mode est 30,26.

\item L'effectif total est $N=\numprint{1000}$ ; ce nombre est pair. La médiane est donc $\text{Me}=\dfrac{x_{500}+x_{501}}{2}=\dfrac{30,27+30,27}{2}\\
=30,27$. $\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=30,27}}$

%\item $\dfrac{N}{4}=250$ donc le premier quartile est $Q_1=x_{250}=30,26$. $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=30,26}}$
%
%\item $3\times \dfrac{N}{4}=750$ donc le troisième quartile est $Q_3=x_{750}=30,28$ ; $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=30,28}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer le diamètre moyen de ces pièces.
Le diamètre moyen de ces pièces est :\\
$\overline{x}=\dfrac{(30,25\times 112)\cdots+(30,30\times 82)}{1000}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{30,27195}}}$.

\item On considère que la machine est déréglée si au moins 20\:\% des pièces ont un diamètre qui s'écarte du diamètre moyen de plus de 0,02 mm.\\
%La machine doit-elle ici être réglée ?
$\numprint{30,2795}-0,02=\numprint{30,2595}$ ; 112 pièces ont un diamètre inférieur à ce nombre.\\
$\numprint{30,2795}+0,02=\numprint{30,2995}$ ; 82 pièces ont un diamètre inférieur à ce nombre.\\
Au total, $194$ pièce ont un diamètre qui s'écarte du diamètre moyen de plus de 0,02 mm.\\
$\dfrac{194}{1000}=\dfrac{19,4}{100}=\boxed{\textcolor{red}{19,4\:\%}}$, donc moins de 20\:\%.\\
\textbf{\textcolor{red}{La machine n'a pas besoin d'être réglée}}.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère une fonction $f$ définie sur $[-4~;~5]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&3&&5\\
\hline
\m{\text{Variations de }f}&\h{2}&\d&-3&\c&\h{-1}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

%Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie, si elle est fausse, ou si on ne peut pas savoir. \\
%Expliquer :

\begin{enumerate}[a) ]
\item $f(0)<0$ ; $0\in[-4~;~3]$ ; $f(0)$ est compris entre -3 et 2, mais \textbf{\textcolor{red}{on ne peut pas savoir}} si $f(0)<0$.

\item $f(4)\geqslant 0$ ; $4\in[3~;~5]$. Sur cet intervalle, $f$ est croissante et a pour maximum $f(5)=-1$, donc $f(4)\leqslant 0$ ; \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}

\item $f(-1)> f(1)$ ; $-1$ et $1$ appartiennent tous deux à l'intervalle [-4~;~3] sur lequel $f$ est décroissante. $f$ renverse l'ordre. $-1<1$ donc $f(-1)>f(1)$. \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}

\item $f(3,5)<0$ : $3,5\in[3~;~5]$ ; sur cet intervalle, $f$ est croissante donc $f(3,5)<f(5)=-1<0$ donc \textbf{\textcolor{red}{VRAI}}.

\item $f(2)=-4$ ; $2\in[-4~;~3]$. Sur cet intervalle, $f$ est décroissante et a pour minimum -3, donc $f(2)\geqslant -3>-4$ : c'est \textbf{\textcolor{red}{FAUX}}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}%https://perso.crans.org/pklein/Maths/lycee1/DS4_Enonce.pdf\\
%Correction : https://perso.crans.org/pklein/Maths/lycee1/DS4_Cor.pdf
Pour la location d’un véhicule, une entreprise de location propose trois options :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $O_1$ : 150 \euro{} la première semaine, et 25 \euro{} par jour supplémentaire.

\item $O_2$ : 30 \euro{} par jour.

\item $O_3$ : 50 \euro{}de frais de dossier, et 25 \euro{}par jour.

\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item %Si $x$ désigne le nombre de jours de location, montrer que pour la première option, le prix de la location s’exprime de la façon suivante :

%\begin{itemize}
%\item si $0\leqslant x\leqslant 7 : f(x)=150$
%
%\item si $x>7 : f(x)=150+25(x-7)$
%\end{itemize}

\begin{itemize}
\item si $0\leqslant x\leqslant 7$ la location dure moins d'une semaine donc  : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=150}}$

\item si $x>7$, la location dure plus d'une semaine :  elle coûte 150 \euro{} pour la première semaine, puis 25 \euro{} par jour supplémentaire, soient $x-7$ jours : alors $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=150+25(x-7)}}$

\item Résumé : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\begin{cases}150\text{ si }0\leqslant x\leqslant 7\\150+25(x-7)\text{ si }7\leqslant x\leqslant 30\end{cases}}}$
\end{itemize}

\item %Pour la première option, combien coûte une location pour 3 jours ? Pour 12 jours ? Donner f(3) et f(12).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour 3 jours, la location coûte $\boxed{\textcolor{red}{150\text{ \euro}}}$.

\item Pour 12 jours, $f(12)=150+25(12-7)=150+25\times 5=275$ ; la location coûte $\boxed{\textcolor{red}{275\text{ \euro}}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\item %Écrire les fonctions $g$ et $h$ qui expriment les coûts de location pour les autres options.
Avec l'option $O_2$, le coût de location pour $x$ jours est $\boxed{\textcolor{red}{g(x)=30x}}$.\\
Avec l'option $O_3$, le coût de location pour $x$ jours est $\boxed{\textcolor{red}{h(x)=25x+50}}$.\\

\newpage


\item %Représenter ces fonctions pour $0\leqslant  x \leqslant  20$.\\
%Unités graphiques : 1 cm pour 2 jours en abscisses, 2 cm pour 100 euros en ordonnées.
Courbes :

\begin{itemize}
\item Sur [0~;~7], $f$ est constante sont $\mathscr{C}_f$ est un segment parallèle à l'axe des abscisses (points d'ordonnée 150).\\
Sur $[7~;~30]$, $f(x)=150+25(x-7)=25x+150-175=25x-25$. Pour tracer la demi-droite, on cherche deux points : $f(7)=150$ et $f(17)=400$ donc cette demi-droite passe par les points de coordonnées (7~;~150) et (17~;~400).

\item $g$ est affine donc la courbe $\mathscr{C}_g$ est une droite passant par origine et le point de coordonnées (10~;~300).

\item $h$ est affine donc la courbe $\mathscr{C}_h$ est une droite passant par les points de coordonnées (0~;~50) et (10~;~300).
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.01cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-100)(21,650)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=100.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(20,600)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{7}{150}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{7}{20}{150+25*(x-7)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{20}{25*x+50}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{20}{30*x}
\uput[u](1,150){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](13,300){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](18,500){$\mathscr{C}_g$}
\uput[u](15,450){$\mathscr{C}_h$}
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(20,\n)}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](7,150)(10,300)(17,400)
\end{pspicture*}

\end{center}
\item %En déduire la solution la plus avantageuse suivant le nombre de jours de location.
On choisit une abscisse $x$ ; pour cette abscisse, on compare les ordonnées des points d'abscisse $x$ sur chacun des courbes et on regarde celui qui a la plus petite ordonnée. On en déduit que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $0\leqslant x\leqslant 5$, le tarif le plus avantageux est le tarif $O_2$ (courbe $\mathscr{C}_g$).
\item Pour $x=5$, les tarifs les plus avantageux sont indifféremment le tarif $O_1$ ou le tarif $O_2$.

\item Pour $x>5$, le tarif le plus avantageux est le tarif $O_1$ (courbe $\mathscr{C}_f$).

\end{enumerate}
On remarque que le tarif $O_3$ n'est jamais le plus avantageux !
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice facultatif}}
Soit $ABCD$ un carré et $M$ un point de $(BC)$. La perpendiculaire à $(AM)$ passant par $A$ rencontre $(CD)$ en $N$, et on désigne par $I$ le milieu de $[MN]$. 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate} 
\item %Faire une figure. 
Figure :
\begin{center}
\psset{unit=0.65}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1.}
\newrgbcolor{qqwuqq}{0. 0.39215686274509803 0.}
\psset{unit=0.65,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-9.,-2.)(7.,13.5)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-9.,-2.)(7.,14.)
\pspolygon[linewidth=1pt](0.,0.)(5.,0.)(5.,5.)(0.,5.)
\pspolygon[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq](0.3367793938347862,0.5482768531630322)(-0.21149745932824593,0.8850562469978186)(-0.5482768531630322,0.3367793938347863)(0.,0.)
\pspolygon[linewidth=2.pt,linecolor=qqwuqq](4.356550026943754,5.)(4.356550026943754,4.356550026943754)(5.,4.356550026943754)(5.,5.)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=zzttqq](0.,0.)(5.,0.)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=zzttqq](5.,0.)(5.,5.)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=zzttqq](5.,5.)(0.,5.)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=zzttqq](0.,5.)(0.,0.)
\psline[linewidth=1pt](5.,-2.)(5.,14.)
\psplot[linewidth=1pt]{-9.}{7.}{(-0.--8.14*x)/5.}
\psplot[linewidth=1pt]{-9.}{7.}{(-0.--5.*x)/-8.14}
\psplot[linewidth=1pt]{-9.}{7.}{(-25.-0.*x)/-5.}
\psline[linewidth=1pt](5.,8.14)(-8.14,5.)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=red]{-9.}{7.}{(--32.85-6.57*x)/6.57}
\pscircle[linewidth=1pt](-1.57,6.57){6.754983345649344}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](0.,0.)
\uput[d](0,0){\ududff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](5.,5.)
\rput[bl](5.129126262039069,5.295686980756881){\ududff{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](0.,5.)
\rput[bl](0.12426002971297057,5.295686980756881){\ududff{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](5.,0.)
\rput[bl](5.129126262039069,0.29082074843078537){\ududff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](5.,8.14)
\rput[bl](5.129126262039069,8.45026933325333){\xdxdff{$M$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-8.14,5.)
\rput[bl](-8.00485603248942,5.235021935516564){\darkgray{$N$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-1.57,6.57)
\rput[bl](-1.4530311465352543,6.812313111764789){\darkgray{$I$}}
%\rput[bl](-0.30039528696924384,0.41215083891141796){\qqwuqq{$\alpha = 90\textrm{\degre}$}}
%\rput[bl](4.522475809635906,4.476708870012611){\qqwuqq{$\beta = 90\textrm{\degre}$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item %Montrer que $IC=IA=\frac{1}{2}MN$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\columnbreak

\item Puisque ABCD est un carré, le triangle MCN est rectangle en C. Le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de l'hypoténuse, I, milieu de [MN].\\
On en déduit $IC=\dfrac{MN}{2}$ puisque $\dfrac{MN}{2}$ est le rayon de ce cercle.

\item De même, par construction, le triangle MAN est rectangle en A ; le centre du cercle circonscrit à ce triangle a donc pour centre I, milieu de [MN] ; on en déduit $IA=\dfrac{MN}{2}$. Par conséquent, $\boxed{\textcolor{red}{IC=IA=\dfrac{MN}{2}}}$.

\end{enumerate}


\item %Monter que $B$ appartient à la médiatrice de $[AC]$. 
ABCD est un carré, donc $AB=AC$ ; B est équidistant des points A et C, donc B appartient à la médiatrice de [AC].

\item %Montrer que $B$, $I$ et $D$ sont alignés. 
De même, puisque $AD=CD$, D appartient aussi. à la médiatrice de [AC].\\
Puisque $IA=IC$, I appartient à la médiatrice de [AC].\\
B, D et I appartiennent à la médiatrice de [AC], donc ils sont \textbf{\textcolor{red}{alignés}}
\end{enumerate} 

\end{multicols}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Exercice&I&II&III&IV&V&VI&Facultatif\\
\hline
Points&3&4,5&4,5&4&2,5&4&2\\
\hline
\end{tabularx}
\label{fin}
\end{document}  