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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TD sur le second degré}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère les deux fonctions $f:x\longmapsto x^2$ et $g:x\longmapsto -2x+5$.\\
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ leurs courbes représentatives.\\
On veut trouver graphiquement les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$.\\
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction carré $f$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.2,-1)(5.2,13)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5.2,-1)(5.2,13)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.7pt](-5.2,-1)(5.2,13)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-4.0}{4.0}{x^2}
%\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-4.0}{3.0}{-2*x+5}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(0.5,0.25)(1,1)(2,4)(3,9)(-0.5,0.25)(-1,1)(-2,4)(3,9)
\uput[r](3,9){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Sur le même graphique, représenter $\mathscr{C}_g$

\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ et leurs valeurs approchées

\item Soient $a=-1-\sqrt{6}$ et $b=-1+\sqrt{6}$.\\
Vérifier que $a$ et $b$ sont solutions de l'équation \\
$f(x)=g(x)$.
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Forme canonique de $\mathbf{ax^2+bx+c}$}}
\emph{En mathématiques, canonique qualifie des objets qui semblent être naturels et instinctifs et qui permettent de faciliter des manipulations ultérieures. (source wikipedia)}

\medskip

On considère l'expression $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres constants, $a\neq 0$ ; $x$ est un nombre variable. Il s'agit de trouver une forme de $A(x)$, dite canonique, qui permet de trouver des résultats intéressants.\\
Pour cela, répondre aux question suivantes.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$.

\item En déduire que $a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}$

\item Compléter les espaces vides :\\
$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{\cdots}\right)+c$\\


$=a\left(x+\dfrac{\cdots}{\cdots}\right)^2-\cdots\cdots+c$\\

\bigskip

$=a\left(x+\dfrac{\cdots}{\cdots}\right)-\dfrac{\cdots\cdots}{4a}$

\item En déduire que $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$.

\item En déduire que $\boxed{\textcolor{red}{ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}}$, en montrant que $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et en donnant l'expression de $\beta$.\\
L'expression $a(x-\alpha)^2+\beta$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{forme canonique}} de $f(x)=ax^2+bx+c$.\\
Le numérateur de $\beta$, $b^2-4ac$, joue un rôle important dans les équations et inéquations du second degré ; on le nomme \textbf{discriminant} et est noté $\Delta$ (Delta majuscule)
\item Montrer que $\beta=f(\alpha)$.

\end{enumerate}

\subsection{}
\textbf{\textcolor{red}{Application}} : donner le forme canonique des expressions suivantes :

\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x^2+5x-7$

\item $g(x)=-3x^2-x+8$

\item En déduire que $f(x)$ a un maximum ; donner sa valeur et indiquer pour quelle valeur il est atteint.

\item Que peut-on dire pour $g(x)$ ?
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  