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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : TD sur les vecteurs}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
À l'aide du quadrillage, construire l'image des points R, S et T par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(0,0)(14,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](0,0)(14,8)%grille
\psline[linewidth=2pt]{->}(3,5)(6,7)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](5,3)(6,1)(10,5)
\uput[u](3,5){A},
\uput[u](6,7){B}
\uput[u](5,3){R}
\uput[u](6,1){S}
\uput[u](10,5){T}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
Considérons huit points D, O, R, E, M, I, F et A tels que les quadrilatères DORE, REMI et MIFA sont tous des parallélogrammes.\\

\begin{enumerate}

\item Faire une figure (attention, ce sont des parallélogrammes quelconques et respecter l'ordre des points !)

\item Montrer que $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$.

\item Compléter en expliquant : 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{ER}=\cdots$

\item $\overrightarrow{MI}=\cdots$
\end{enumerate}

\item Que peut-on en déduire pour les vecteurs $\overrightarrow{DO}$ et $\overrightarrow{AF}$ ?

\item Démontrer alors que le quadrilatère DOFA est lui aussi un parallélogramme.
\end{enumerate}

\subsection{}
En utilisant la relation de Chasles, compléter les égalités suivantes  ($\star$ représente le nom d'un point):

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\star C}$

\item $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{F\star }+\overrightarrow{U\star }$

\item $\overrightarrow{OU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UR}=\overrightarrow{\star \star }$

\item $\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{\star I}+\overrightarrow{I\star }$

\item $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{\star M}+\overrightarrow{\star N}+\overrightarrow{\star \star }$
\end{enumerate}



\subsection{}
ABCD est un carré de centre O ; I, J, K et L sont les milieux des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

Compléter, en utilisant uniquement des points de la figure :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{LK}+\overrightarrow{OB}$

\item $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

\item $\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OK}$

\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AL}$

\item $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{LI}+\overrightarrow{BK}$

\item $\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{JO}$
\end{enumerate}


\subsection{}
$ABC$ est un triangle \textbf{quelconque}, $A'$ est le milieu de $[BC]$, $B'$ celui de $[CA]$ et $C'$ celui de $[BA]$.
\begin{enumerate}
\item Représenter la somme vectorielle \[\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\] en partant de $A$. 

A quoi semble être égale cette somme ?

\item Comment teprésenterait-on géométriquement la somme $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

\item En déduire que $\overrightarrow{AA'}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

\item Écrire  $\overrightarrow{BB'}$ et $\overrightarrow{CC'}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ (en prenant modèle sur la question 2.).

\item En déduire alors la valeur de la somme initiale.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{L'intrus}}
Soit $ABCD$ un parallélogramme. $M$ et $N$ sont les milieux de $[AD]$ et $[BC]$. un intrus s'est glissé dans la liste suivante ; le débusquer.


\medskip

\begin{enumerate}[$\star$]
\item 
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NA}$

\medskip

\item 
$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{CM}$ 

\medskip

\item $\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{AN}$

\medskip

\item $ \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{DA}$ 

\medskip

\item 
$ \overrightarrow{CM}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{AD}$ 
\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  