\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Signe d'une expression algébrique et inéquations}}\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Comparaison de deux nombres}}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$a<b\Leftrightarrow b-a>0$
\end{bclogo}

\end{minipage}

Pour comparer deux nombres (c'est-à-dire savoir lequel est le plus grand), on étudie le signe de la différence.

\subsection{\textcolor{red}{Quelques règles sur les inégalités}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Règle de l’addition et soustraction}}

\begin{minipage}{7cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle 1}}
 Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels alors :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant  b \Leftrightarrow  a + c \leqslant  b + c$

\item $a\leqslant b \Leftrightarrow  a - c \leqslant  b - c$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $2x+4\leqslant0\iff 2x+4\textcolor{red}{\mathbf{-4}}\leqslant0\textcolor{red}{\mathbf{-4}}\iff 2x\leqslant-4$

\item $3x-2<-3\iff 3x-2\textcolor{red}{\mathbf{+2}}<-3\textcolor{red}{\mathbf{+2}}\iff 3x<-1$

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Règles de la multiplication et division}}

\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle 2}}
        Soient $a$, $b$ deux réels et $c$ un réel \textbf{positif} alors  :
        \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant b \iff  a \times  c \leqslant b \times  c$

\item $a \leqslant b\text{ et }c\neq 0 \iff  \dfrac{a}{c} \leqslant \dfrac{b}{c}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : puisque $a\leqslant b$ : $b-a\geqslant 0$.

Pour comparer les deux nombres, on étudie le signe de leur différence :

Alors $bc-ac=c(b-a)\geqslant 0$ car $b-a\geqslant 0$ et $a\geqslant 0$, donc $\boxed{\textcolor{red}{ac\leqslant bc}}$.

\textbf{\textcolor{red}{De même}} : $\dfrac{b}{c}-\dfrac{a}{c}=\dfrac{b-a}{c}\geqslant 0$. Puisque $b-a\geqslant 0$ et $c\geqslant 0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a}{c}\leqslant \dfrac{b}{c}}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x>7\Leftrightarrow 2x\textcolor{red}{\mathbf{\times 3}}>7\textcolor{red}{\mathbf{\times 3}}\Leftrightarrow 6x>21$

\item $3x\leqslant 4\Leftrightarrow \dfrac{3x}{4}\leqslant \dfrac{4}{3}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x\leqslant \dfrac{4}{3}}}$

\item $x\sqrt{2}\geqslant 3\Leftrightarrow \dfrac{x\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\geqslant \dfrac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règle \no 3}}
Soient $a$, $b$ deux réels et $c$ un réel négatif ou nul
alors :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a \leqslant b \iff a \times c \geqslant  b \times c$ ( Changement de sens de l’inégalité )

\item 
et $a \leqslant b\text{ et }c <  0 \iff \dfrac{a}{c} \geqslant  \dfrac{b}{c}$ ( Changement de sens de l’inégalité )

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

Même démonstration que dans le cas $c\geqslant 0$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $-x>4\iff -x\textcolor{red}{\mathbf{\times(-1)}}<4\textcolor{red}{\mathbf{\times(-1)}}\iff x<-4$

\item $-4x<-3\iff  \dfrac{-4x}{-4} > \dfrac{-3}{-4} \iff x> \dfrac{3}{4}$

\item $-2x\geqslant6\iff \dfrac{-2x}{-2}\leqslant \dfrac{6}{-2} \iff x\leqslant-3$

\end{enumerate}     


\subsection{\textcolor{red}{Les inéquations du premier degré à une inconnue}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Méthode de résolution}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x+a\leqslant b\Leftrightarrow x+a-a\leqslant b-a\Leftrightarrow x\leqslant b-a$

\item $x-a\leqslant b\Leftrightarrow x-a+a\leqslant b+a\Leftrightarrow x\leqslant b+a$

\item Si $a>0$ :  $ax\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{ax}{a}\leqslant \dfrac{b}{a}\Leftrightarrow x\leqslant \dfrac{b}{a}$

\item Si $a<0$ :  $ax\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{ax}{a}\geqslant \dfrac{b}{a}\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{b}{a}$

\item Si $a>0$ :  $\dfrac{x}{a}\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{x}{a}\times a\leqslant b\times a\Leftrightarrow x\leqslant ab$

\item Si $a<0$ :  $\dfrac{x}{a}\leqslant b\Leftrightarrow  \dfrac{x}{a}\times a\geqslant b\times a\Leftrightarrow x\geqslant ab$
\end{enumerate}


               
\subsubsection{\textcolor{blue}{Signe de $ax+b$}}
On considère la fonction affine $f=x\mapsto ax+b$.

Si $a>0$, la fonction est croissante et si $a<0$, a fonction est décroissante.

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}$.

On en déduit le signe de $ax+b$ :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\textcolor{red}{\mathbf{\textbf{Cas }a>0}}$ :

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
ax+b&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}

$\textcolor{red}{\mathbf{\textbf{Cas }a<0}}$ :

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
ax+b&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{multicols}


\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Signe d’un produit de binômes}}

On appelle binôme une expression du type $ax+b$ (ou polynôme du premier degré).

\begin{minipage}{13cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété fondamentale}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le produit de deux nombres de même signe est positif.

\item Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\textbf{\textbf{\textcolor{red}{Méthode}}} :\\
Pour étudier le signe d'une produit de binômes : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item on étudie le signe de chacun d'entre eux, 

\item on récapitule tout cela dans un tableau de signes (une ligne par binôme) 

\item puis dans la dernière ligne, on trouve le signe du produit en appliquant la règle en appliquant la règle sur le signe d'un produit.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}  : étudions le signe de $A(x) = -x(2x - 3)(x + 6)(4 - 2x)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cherchons les valeurs de $x$ qui annulent chacun des quatre binômes de $A(x)$ :

\item $-x=0\Leftrightarrow x=0$

\item $2x-3=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ et $2x-3>0\Leftrightarrow x>\dfrac{3}{2}$

\item $x+6=0\Leftrightarrow x=-6$ et $x+6>0\Leftrightarrow x>-6$

\item  $4-2x=0\Leftrightarrow x=2$ et $4-2x>0\Leftrightarrow -2x>-4\Leftrightarrow x<2$ (en divisant par -2 qui est négatif, d'où le changement de sens de l'inégalité)


\item Dressons maintenant le tableau des signes de $A(x)$ :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-6&&0&&\dfrac{3}{2}&&2&&\pI\\
\hline
-x&&+&\l&+&\z&-&\l&-&\l&-&\\
\hline
2x-3&&-&\l&-&\l&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
x+6&&-&\z&+&\l&+&\l&+&\l&+&\\
\hline
4-2x&&+&\l&+&\l&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
A(x)&&+&\z&-&\z&+&\z&-&\z&+&&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} :

$A(x)>0\Leftrightarrow x\in\left]-\infty~;~-6\right[\cup\left]0~;~\dfrac{3}{2}\right[ \cup]2~;~+\infty[$\\
$A(x)<0\Leftrightarrow x\in[-6~;~0[\cup\left]\dfrac{3}{2}~;~2\right[$
\end{enumerate}


\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Signe d’une expression rationnelle factorisée}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une expression rationnelle factorisée est une expression littérale de la forme : \[\dfrac{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)(a_3x+b_3)\cdots(a_nx+b_n)}{(a'_1x + b'_1)(a'_2x + b'_2)(a'_3x + b'_3) \cdots(a'_nx + b'_n)}\]
avec $a_1$, $a_2$\dots $a_n$ et $a'_1$, $a'_2$ \dots $a'_n$ non nuls.
\end{bclogo}

\danger \textbf{\textcolor{red}{Attention}} : dans ce genre d’expressions, il y a des \textbf{\textcolor{red}{valeurs interdites}}.

Il faut donc commencer par chercher ces valeurs interdites !

On fait alors un tableau de signes comme pour un produit.

Exemple : 

Étudions le signe de $B(x) = \dfrac{2x(3x - 6)}{ (x-3)(1-x)}$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cherchons les valeurs de $x$ qui annulent chacun des binômes de $B(x)$ :
$2x=0\Leftrightarrow x=0$

$3x-6=0\Leftrightarrow x=2$ et $3x-6>0\Leftrightarrow x>2$

$x-3=0\Leftrightarrow x=3$ et $x-3>0\Leftrightarrow x>3$

$1-x=0\Leftrightarrow x=1$ et $1-x>0\Leftrightarrow x<1$

1 et 3 sont donc des valeurs interdites.

\item Dressons maintenant le tableau des signes de $B(x) $:
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&1&&2&&3&&\pI\\
\hline
2x&&-&\z&+&\bb&+&\l&+&\bb&+&\\
\hline
3x-6&&-&\l&-&\bb&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
x-3&&-&\l&-&\bb&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
1-x&&+&\l&+&\bb&-&\l&-&\bb&-&\\
\hline
B(x)&&-&\z&+&\bb&-&\z&+&\bb&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}


\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion :}}

$B(x) > 0\Leftrightarrow  x\in]0~;~1[\cup]2~;~3[$\\

$B(x) < 0\Leftrightarrow x\in] -\infty~;~ 0[\cup]1~;~2[\cup]3~;~+\infty[$

$B(x) = 0\Leftrightarrow  x \in\{0~;~2\}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Pour s'entraîner sur le site euler de l'académie de Versailles}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Etude du signe d'un produit de facteurs du premier degré  : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/inequations/latex/inequations1.jsp}{ici}

\item Résolution d'inéquations de la forme P(x)>0, P(x)<0, … où P(x) est un produit de facteurs du premier degré : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/inequations/latex/inequations2.jsp}{ici}

\item Résolution d'inéquations de la forme Q(x)>a, Q(x)<a, … où Q est une fonction rationnelle et a un nombre rationnel : cliquer \href{https://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/pi/inequations/latex/inequations11.jsp}{ici}

\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  