\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}.\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\fbox{\textcolor{red}{Fonctions : généralités}}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents



\subsection{\textcolor{red}{Notion de fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $\mathscr{D}$ un intervalle de $\mathbb{R}$ ou une réunion d'intervalles.\\
Une fonction numérique $f$, définie sur $\mathscr{D}$, est un procédé qui, à chaque nombre de $x$ de $\mathscr{D}$ associe un \textbf{unique} nombre, noté $f(x)$.\\
Le réel $x$ est appelé la \textbf{variable}.\\
$f(x)$ est \textbf{l'image} de $x$  par $f$.\\
$x$ est un antécédent de $f(x)$.\\
On écrit : $f : \left.\begin{array}{l}\mathscr{D}\rightarrow \mathbb{R}\\x\mapsto f(x)\end{array}\right.$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item On enregistre la température en un endroit précis sur une période de 24 heures. $T:x\mapsto y=T(x)$ où $T(x)$ est la pression à l'instant $x$.

\item On enregistre la hauteur d'eau dans un port en fonction de l'heure (elle varie en fonction de la marée).

\item $v(x)$ est la vitesse d'une voiture à $x$ km de son point de départ sur un circuit automobile .

\item $f(x)$ est la carré du nombre $x$ : Sur $\mathbb{R}$ : $f:x\mapsto x^2$.

\item $\mathscr{D}=]-\infty~;~0[\cup ]0~;~=\infty[$ : $f:x\mapsto\frac{1}{x}$\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $]-\infty~;~0[\cup ]0~;~=\infty[$ se note aussi $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ou $\mathbb{R}^*$

\item $\mathscr{D}=[0~;~+\infty[$ : $f:x\mapsto \sqrt{x}$

\item $\mathscr{D}=]0,1[$. $p~:~x\mapsto y=p(x)$ où $y$ est la première décimale de $x$. \\
On a alors $p\left(\dfrac{1}{3}\right)=3$, $p(0,123)=1$
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!40, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarques}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un nombre ne peut avoir qu'une seule image par une fonction $f$.

\item Un nombre peut avoir plusieurs antécédents par $f$ ; exemple : pour $f(x)=x^2$, on a $f(-2)=f(2)=4$ donc 4 a deux antécédents par $f$
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}
\item Sur $\mathbb{R}$, on considère  la fonction $f:x\mapsto 3x^2+5x-4$.\\
Calculer les images de 0, 3, 5 et -1.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=3\times 0^{2}+5\times 0-4=-4$

\item $f(3)=38$

\item $f(5)=3\times 5^{2}+5\times 5-4=96$

\item $f(-1)=3\times (-1)^{2}+5\times (-1)-4=-5$
\end{enumerate}

\item $\mathscr{D}=\mathbb{R}$. $g(x)=x^2$.\\
Quels sont les antécédents de -4 ? de 2 ? \\
-1 a-t-il des antécédents ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Réponses :}}\\
$x$ est un antécédent de $-4$ si $g(x)=-4$, donc $x^{2}=-4$.\\
Or, $x^{2}\geqslant 0$ donc $x^{2}$ ne peut pas être égal à -4 qui est négatif.\\
-4 n'a pas d'antécédent.\\

Les antécédents de 2 sont les nombres $x$ tels que $x^{2}=2$, donc $x^{2}=2$.\\
2 a donc pour antécédents $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$.\\
(\textbf{\textcolor{red}{rappel}} : pour $a\geqslant 0$, l'équation $x^{2}=a$ possède deux solutions, $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ ; en effet, $x^{2}=a$ s'écrit $x^{2}-a=0$, d'où $x^{2}-\left(\sqrt{a}\right)^{2}=0$ soit $\left(x+\sqrt{a}\right)\left(x-\sqrt{a}\right)=0$ après factorisation ; on a bien les deux solutions proposées, en utilisant le fait qu'une produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. )\\

$x$ est un antécédent de -1 si et seulement si $g(x)=-1$, donc si et seulement si $x^{2}=-1$, ce qui est impossible car $x^{2}\geqslant 0$.\\
-1 n'a pas d'antécédent par $g$.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{red}{Courbe représentative}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$.\\
La courbe $\mathscr{C}_f$,  représentative de $f$, est l'ensemble des points $M(x~;~f(x))$ où $x\in\mathscr{D}$.
\end{bclogo}

\bigskip

$x$ est donc l'abscisse et $f(x)$ l'ordonnée d'un point $M$ de la courbe $\mathscr{C}_{f}$.

\newpage
\noindent \textcolor{red}{\textbf{Exemple} : }

\noindent Voici la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1,5~;~5]$
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
\psset{algebraic=true}
\psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1] {<->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0](-3,-3)(5,5)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](4.8,0){$x$}\uput[l](0,4.8){$y$}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-1.5}{5}{(x+1)*(x-2)*(x-4)/5}
\psdots(1,1.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt](1,1.2)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](1,1.2)(0,1.2)
\uput[ul](1,0){$x$}
\uput[l](0,1.2){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent \textcolor{blue}{\textbf{Lecture d'une image} :} Quelles sont les images de -1.5 ? de -1 ? de 0 ? de 1? de 2 ?\\
L'image de $-1,5$ est environ égale à -1,9 ; $\boxed{\textcolor{red}{f(-1,5)\approx -1,9}}$\\
L'image de -1 est 0 : $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=0}}$\\
L'image de 0 est 1,6 :  $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=1,6}}$\\
De même : $f(1)=1,2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$\\

\noindent \textcolor{blue}{\textbf{Lecture d'un antécédent} :} Quelles sont les antécédents de 0 ? de 1 ? de 2 ? de 4 ?\\
Pour lire les antécédents de 0, on regarde les abscisses des points de la courbe qui ont 0 pour ordonnée :\\
Les antécédents de 0 sont -1, 2 et 4.\\

\noindent Antécédents de 1 : approximativement -0,5 ; 1,2 et 4,4.\\

\noindent Antécédents de 4 : il n'y en a pas sur l'intervalle considéré.\\

%\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercices}}

\subsection{\textcolor{red}{Variations d'une fonction}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sens de variation}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ est croissante sur un intervalle $I$ signifie que sur l'intervalle $I$, si les valeurs de la variable $x$ augmentent, alors les images $f(x)$ augmentent aussi.\\
\textcolor{blue}{Traduction mathématique :} Pour tous $x_1$ et $x_2$ de $I$ tels que $x_1\leqslant x_2$, alors $f(x_1\leqslant f(x_2$.\\
(une fonction croissante conserve l'ordre.)
\end{bclogo}

\newpage
\textcolor{red}{\textbf{Illustration graphique} :}\\

\begin{center}
\psset{algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(10,3)
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(10,3.5)
\psplot[plotpoints=200]{0}{10}{sqrt(x)}
\uput[d](2.3,0){$x_{1}$}
\uput[d](4.3,0){$x_{2}$}
\uput[l](0,1.516){$f\left(x_{1}\right)$}
\uput[ur](0,2.07){$f\left(x_{2}\right)$}
\psline[linestyle=dashed](2.3,0)(2.3,1.516)
\psline[linestyle=dashed](2.3,1.516)(0,1.516)
\psline[linestyle=dashed](4.3,0)(4.3,2.07)
\psline[linestyle=dashed](4.3,2.07)(0,2.07)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}
\begin{bclogo}[couleur =cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ est décroissante sur un intervalle $I$ signifie que sur l'intervalle $I$, si les valeurs de la variable $x$ augmentent, alors les images $f(x)$ diminuent.\\
\textcolor{blue}{Traduction mathématique :} Pour tous $x_1$ et $x_2$ de $I$ tels que $x_1\leqslant x_2$, alors $f(x_1\geqslant f(x_2$.\\
(une fonction croissante renverse l'ordre.)
\end{bclogo}

\bigskip
\textcolor{red}{\textbf{Illustration graphique} :}\\
\begin{center}
\psset{unit=0.7,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(10,5)
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(-2,-1)(10,5)
\psplot[linecolor=red]{-1.5}{10}{2.71828^(-x)}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Extremum :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathscr{D}$.\\
$f$ admet un maximum en $a\in\mathscr{D}$ si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(x)\leqslant f(a)$.
$f$ admet un minimum en $a\in\mathscr{D}$ si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(x)\geqslant  f(a)$.
$f$ admet un extremum en $a$ si $f$ admet un maximum ou un minimum.
\end{bclogo}

%\newpage
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples : }}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,3)
\psset{xunit=1,yunit=2,algebraic=true}
  \psaxes[Ox=0,Dx=1,Oy=0,Dy=1]%
      {->}(0,0)(-4,-0.5)(4,1.5)
      \uput[dl](0,0){0}
\psplot{-4}{4}{2.71828^(-x^2)}
\end{pspicture}
\end{center}
Le maximum est 1, atteint en 0, mais $f$ n'a pas de minimum.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Tableau de variation d'une fonction}}
Un tableau de variation sert à rassembler visuellement toutes les informations sur les variations d'une fonction.\\

\noindent \textcolor{blue}{\textbf{Exemples} : }\\
\begin{enumerate}
\item 
%Soit la courbe ci-dessous, représentative de la fonction définie par :$f(x)=\frac{{x^3}}{3}+\frac{3 {x^2}}{2}-4 x$\\
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-6,-2)(3,6)
%\psset{yunit=0.3,algebraic=true}
%\psline{->}(-6,0)(3,0)
%\psline{->}(0,-3)(0,18)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\uput[d](1,0){I}
%\uput[l](0,1){J}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-3)(3,20)
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-6}{3}{x^3/3+3*x^2/2-4*x}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%
%
%La fonction $f$ est définie sur $[-6;3]$,  croissante sur $[-6;-4]$, décroissante sur $[-4;1]$ et croissante sur $[-1;3]$. On a : $f(-6)=6$ ; $f(-4)=\frac{56}{3}$ ; $f(1)=-\frac{13}{6}$ ; $f(3)=\frac{21}{2}$.\\
%Le tableau de variation est alors :
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&-6&&-4&&1&&3\\
%\filet
%\m{f(x)}&6&\c&\h{\frac{56}3}&\d&-\frac{13}6&\c&\h{\frac{21}2}\\
%\end{variations}
%\end{center}

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{2 x^{3}-3 x^{2}-12 x}{2}$.

\noindent La courbe représentative est 
\begin{center}

\psset{xunit=2.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5.,-16.)(5.,10.)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5.,-16.)(5.,10.)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-5.,-16.)(5.,10.)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{(2.0*x^(3.0)-3.0*x^(2.0)-12.0*x)/2.0}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le tableau de variation de $f$ est : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&2&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{3,5}&\d&-10&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\newpage
\item Soit $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction définie par : $f(x)=\frac{1}{x-2}$\\
\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-6)(5,6)
\psline{->}(-6,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\psaxes[Ox=00,Dx=1,Oy=0,Dy=1,linewidth=1.5pt] {<->}(0,0)(-6,-5)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-5)(5,5)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](2,-5)(2,5)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-6}{1.8}{1/(x-2)}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{2.2}{5}{1/(x-2)}
\uput[r](3,1){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}

La fonction $f$ n'est \textbf{pas définie} en $x=2$. 2 est une valeur \textbf{\textcolor{red}{interdite}}.

\noindent On traduit cette situation par une double barre verticale dans le tableau de variation.

\noindent La fonction est décroissante sur $]\-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$. Quand $x$ tend vers $-\infty$, $f(x)$ se rapproche de plus en plus de 0, de même que quand $x$ tend vers $+\infty$.
Le tableau de variation est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&2&&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&\h{0}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&0\\
\end{variations}
\end{center}

\newpage
\item Soit la fonction $f$ définie sur $[-6~;~6]$ par $f(x)=1+\frac{3}{x^2+1}$ dont voici la courbe représentative :\\
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-0.5)(6,5)
\psset{yunit=1.2}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-6,0)(6,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-0.5)(0,4)
%repère
\uput[dr](0,0){$O$}
\uput[d](1,0){I}
\uput[l](0,1){J}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-0.5)(6,4)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-6}{6}{1 3 x 2 exp 1 add div add}
\uput[u](2,1.6){$\mathscr{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center}


Cette fonction est croissante sur $]-6~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~6[$.

\noindent Le maximum de $f(x)$ est 4 ($f(0)=4$). $f(-6)=f(6)=\dfrac{40}{37}$.

\noindent Le tableau de variation est : 

\begin{center}
\begin{variations}
x&-6&&0&&6\\
\hline
\m{f(x)}&\dfrac{40}{37}&\c&\h{4}&\d&\dfrac{40}{37}\\
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

%\textcolor{red}{Exercices :}

%\subsection{\textcolor{red}{…léments de symétrie d'une courbe :}}
%\textcolor{blue}{Définition :}\\
%\fbox{\begin{minipage}{18cm}Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}$ symétrique par rapport à 0. $f$ est paire si la courbe représentative de $f$ a l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.\\
%Traduction mathématique : pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(-x)=f(x)$.\end{minipage}}\\
%
%\textcolor{red}{Exemple :}\\
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=3+\frac{x^2-4}{x^4+2x^2+1}$\\\\
%\begin{center}\begin{pspicture}(-5,-1)(5,3)
%\psline{->}(-5,0)(5,0)
%\psline{->}(0,-1)(0,3)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\psline{->}(0,0)(1,0)
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-5,-1)(5,3)
%\psplot[plotpoints=100,linecolor=red]{-5}{5}{3 x 2 exp 4 sub x 4 exp x 2 exp 2 mul add 1 add div add}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%$f$ est bien paire, car $f(-x)=f(x)$ et la courbe $\mathscr{C}_f$ est bien symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.\\\\
%
%\textcolor{red}{Définition :}\\
%\fbox{\begin{minipage}{18cm}Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $\mathscr{D}$ symétrique par rapport à 0. $f$ est impaire si la courbe représentative de $f$ est symétrique par rapport à l'origine O du repère.\end{minipage}}\\\\
%
%\textcolor{red}{Exemple :} Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\frac{4(x^3-x)}{x^2+1}$
%
%\begin{center}\begin{pspicture}(-2,-5)(2,5)
%\psline{->}(-2,0)(2,0)
%\psline{->}(0,-5)(0,5)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\psline{->}(0,0)(1,0)
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-2,-5)(2,5)
%\psplot[linecolor=red]{-2}{2}{4 x 3 exp x sub mul x 2 exp 1 add div}
%\end{pspicture}\end{center}
%
%Le courbe est symétrique par rapport à O et $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x$.
%
%
%\newpage
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
%\textcolor{red}{Exemple : }\\
%Voici la courbe représentative d'une fonction définie sur l'intervalle $[-1,5~;~5]$
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
%  \psaxes[Ox=00,Dx=1,Oy=0,Dy=1] {<->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
%  \psgrid[subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,gridlabels=0](-3,-3)(5,5)
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-1.5}{5}{x 1 add x 2 sub mul  x 4 sub mul 5 div}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\vspace{1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-6,-2)(3,6)
%\psset{yunit=0.3}
%\psline{->}(-6,0)(3,0)
%\psline{->}(0,-3)(0,18)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\psline{->}(0,0)(1,0)
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-3)(3,20)
%\psplot[linecolor=red]{-6}{3}{x 3 exp 3 div x 2 exp 3 mul 2 div add x 4 mul sub}
%\end{pspicture}\end{center}
%
%\vspace{1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-4.5,-5)(7,5)
%\psset{xunit=0.7,yunit=0.7}
%\psline{->}(-6,0)(7,0)
%\psline{->}(0,-5)(0,5)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\psline{->}(0,0)(1,0)
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-5)(7,5)
%\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](2,-5)(2,5)
%\psplot[linecolor=red]{-6}{1.8}{1 x 2 sub div}
%\psplot[linecolor=red]{2.2}{7}{1 x 2 sub div}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\vspace{1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-6,-0.5)(6,4)
%\psset{yunit=1}
%\psline{->}(-6,0)(6,0)
%\psline{->}(0,-0.5)(0,4)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\psline{->}(0,0)(1,0)
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-6,-0.5)(6,4)
%\psplot[linecolor=red,plotpoints=200]{-6}{6}{1 3 x 2 exp 1 add div add}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{multicols}
%
%\newpage
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%
%\begin{center}\begin{pspicture}(-3,-1)(5,3)
%\psline{->}(-5,0)(5,0)
%\psline{->}(0,-1)(0,3)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\psline{->}(0,0)(1,0)
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-5,-1)(5,3)
%\psplot[plotpoints=100,linecolor=red]{-5}{5}{3 x 2 exp 4 sub x 4 exp x 2 exp 2 mul add 1 add div add}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\vspace{1cm}
%\begin{center}\begin{pspicture}(-2,-5)(2,5)
%\psline{->}(-2,0)(2,0)
%\psline{->}(0,-5)(0,5)
%%repère
%\uput[dr](0,0){$O$}
%\psline{->}(0,0)(1,0)
%\psline{->}(0,0)(0,1)
%\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
%\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridwidth=0.5pt](-2,-5)(2,5)
%\psplot[linecolor=red]{-2}{2}{4 x 3 exp x sub mul x 2 exp 1 add div}
%\end{pspicture}\end{center}
%
%\end{multicols}
%\vspace{2cm}
%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
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%%repère
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\label{fin}
\end{document} 


 