\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}



\title{\textcolor{red}{Fonctions carré et fonction inverse}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{Fonction carré}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction carré la fonction $x\mapsto x^2$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction carré $x\mapsto x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

En effet, on peut calculer $x^{2}$ pour n'importe quelle valeur de $x\in\mathbb{R}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Parité}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$ est paire si : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère (donc, pour tout $x\in I$, $-x\in I$).

\item pour tout $x\in I$, $f(-x)=f(x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\vspace{1cm}


\parbox{6cm}{
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conséquence graphique :}} la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.}\hfill
\parbox{12cm}{
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Illustration graphique :}}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{unit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-1)(6,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-1)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=1](-7,-1)(6,6)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-6.0}{6.0}{5/(x^2+1)}
\rput[bl](-9,-0.22){$f$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0.98,2.55)
\uput[r](0.98,2.55){\xdxdff{$M(x~;~f(x))$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-0.98,2.55)
\uput[u](-3.5,2.5){\darkgray{$M'(-x~;~f(-x)=f(x))$}}
\psline[linestyle=dashed](0.98,2.55)(-0.98,2.55)
\uput[ur](0.98;0){$x$}
\psline[linestyle=dashed](0.98,0)(0.98,2.55)
\uput[ul](-0.98;0){$-x$}
\psline[linestyle=dashed](-0.98,0)(-0.98,2.55)
\end{pspicture*}
\end{center}}

\begin{minipage}{10cm}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction carré $f:x\mapsto x^2$ est paire
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $O$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f:x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textcolor{red}{\textbf{Démonstration} :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $[0~;~+\infty[$ avec $0\leqslant x_1<x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=x_1^2$ et $f\left(x_2\right)=x_2^2$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2^2-x_1^2=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{\geqslant 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{> 0}\geqslant 0$ donc $f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right)$.\\
En effet, $x_2+x_1\geqslant 0$ comme somme de nombres positifs et $x_2-x_1> 0$ car on a supposé $x_1<x_2$.\\
Les images sont classées dans le même ordre que les antécédents, donc $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0]$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0]$ avec $x_1<x_2\leqslant 0$.\\
On a le même calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{\leqslant 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{> 0}\leqslant 0$ $\left(x_1+x_2\leqslant 0\right) \text{car les deux nombres sont négatifs}$.\\
Les images cette fois sont classées dans l'ordre inverse des antécédents : la fonction est décroissante.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la parité de la fonction et la symétrie de la courbe par rapport l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&&\d&0&\c&&\\
\end{variations}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}
Pour tracer la courbe, on calcule des coordonnées de points (il en faut plus que deux, puisque la courbe n'est pas une droite). Comme la courbe est symétrique, on se limite à des points dont les abscisses sont des valeurs positives et on construit ensuite les points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

En général, on prend ces cinq valeurs positives :

\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{l|}}\hline
x&0&\dfrac{1}{2}&1&2&3\\
\hline
f(x)=x^{2}&0&\dfrac{1}{4}&1&4&9\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

La courbe représentative de la fonction carré est appelée \textbf{\textcolor{red}{parabole}}.
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.2,-1)(3.2,10)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3.2,-1)(3.2,10)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{3.0}{x^2}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,0)(0.5,0.25)(1,1)(2,4)(3,9)(-0.5,0.25)(-1,1)(-2,4)(3,9)
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les carrés des nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $0,2^2$ et $0,21^2$

\item $(-2,4)^2$ et $(-2,41)^2$

\item $(-3,1)^2$ et $4,2$
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,21 sont positifs ; sur $[0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto x^2$ est croissante.\\
$0,2<0,21$ donc $f(0,2)<f(0,21)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0,2^2<0,21^2}}$

\item -2,4 et -2,41 sont négatifs ; sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est décroissante.\\
$-2,4>-2,41$ ; comme $f$ est décroissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-2,4)^2<-2,41^2}}$.

\item $(-3,1)^2=3,1^2$ donc il suffit de comparer $3,1^2$ et $4,2^2$.\\
3,1 et 4,2 sont positifs et $3,1<4,2$ ; sur $[0~;~+\infty[$, $f$ est croissante, donc $3,1^2<4,2^2$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{(-3,1)^2<4,2^2}}$
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice}} : résoudre graphiquement l'équation $x^{2}=3x+2$.\\
On pose $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=3x+2$. 

On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses  des points d'intersubsection de ces deux courbes.

Puisqu'il s'agit d'une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-2)(5,16)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-5,-1)(5,16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-5,-2)(5,16)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{x^2}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200]{-5.0}{5.0}{3*x+2}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-0.56,0.32)
\psline[linestyle=dashed](-0.56,0.32)(-0.56,0)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](3.56,12.68)
\psline[linestyle=dashed](3.56,12.68)(3.56,0)
\uput[d](-0.56,0){$x_{1}$}
\uput[d](3.56,0){$x_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On trouve deux solutions : $x_{1}\approx -0,5$ et $x_{2}\approx 3,6$

\subsection{\textcolor{red}{Fonction polynôme du second degré}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définitions}} 

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction \textbf{\textcolor{red}{polynôme du second degré}} toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ de la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$ o˘ $a$, $b$ et $c$ sont des réels appelés coefficients avec $a\neq0$.
\end{bclogo}

\bigskip

	
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :
   Exemples de fonctions polynômes du second degré \\
   
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{yellow!60}fonctions polynôme de degré 2& coefficients \\
      \hline
      $f(x) =2x^2-5x+3$ & $a=2$, $b=-5$, $c=3$ \\
\hline
      $f(x) =-x^2+3$ & $a=-1$, $b=0$, $c=3$  \\
\hline
      $f(x) =-7x^2+3x$ &$a=-7$, $b=3$, $c=0$  \\
\hline
\end{tabularx}


\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'expression $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$  avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Cette forme est appelée \textbf{forme canonique}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration  :}}\\
$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=a\left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c=a\left(x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=\boxed{\textcolor{red}{a(x-\alpha)+\beta}}$ en  posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ ; on a alors  $\beta==-\dfrac{b^2}{4a}+c=f(\alpha)$, car en remplaçant $x$ par $\alpha$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on trouve  $\beta$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :\\

\begin{enumerate}
\item Soit $P(x) =2x^2-4x+5=ax^2+bx+c$ avec $a=2$, $b=-4$ et $c=5$.

On a $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times 2}=1$

$\beta=P\left(\alpha\right)=P(1)=3$

Par conséquent $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=2(x-1)^2+3$.

\item $P(x)=-5x^2+2x-7=ax^2+bx+c$ avec $a=-5$, $b=2$ et $c=-7$.

$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\times (-5)}=\dfrac{1}{5}$

$\beta=P(\alpha)=P\left(\dfrac{1}{5}\right)=-5\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^2+2\times \dfrac{1}{5}-7=-\dfrac{34}{5}$.

On en déduit $P(x)=-5\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2-\dfrac{34}{5}$

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations et représentation graphique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
   La fonction polynôme de degré $2$ définie sur $\mathbb{R}$ est :
   \begin{dinglist}{169}
      \item strictement décroissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$ \textbf{si $a>0$},
      \item strictement croissante sur $]-\infty~;~\alpha]$puis strictement décroissante $[\alpha~;~+\infty[$ \textbf{si $a<0$},
   \end{dinglist}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration  dans le cas $a>0$:}}
Sur $[\alpha~;~+\infty[$ :

On prend deux nombres $x_1$ et $x_2$ avec $\alpha\leqslant x_1\leqslant x_2$.\\
$\alpha\leqslant x_1\leqslant x_2\Rightarrow 0\leqslant x_1-\alpha\leqslant x_2-\alpha\Rightarrow0\leqslant \left(x_1-\alpha\right)^2\leqslant \left(x_2-\alpha\right)^2$ (car la fonction carré est croisante sur $[0~;~+\infty[$)

On en déduit $0\leqslant 0\leqslant a\left(x_1-\alpha\right)^2\leqslant a\left(x_2-\alpha\right)^2$ puis  $\beta\leqslant a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta\leqslant a\left(x_2-\alpha\right)^2\beta$.

Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction $f$ est croissante sur $[\alpha+\infty[$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration analogue}} sur $]-\infty~;~\alpha]$ et dans le cas où $a<0$

\newpage

\begin{center}
\textbf{T\textcolor{red}{ableau de variations  et représentation graphique :}}
\end{center}

\parbox{8cm}{\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{a>0}}}$
\end{center}

\bigskip

\begin{variations}
x&-\infty&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\beta&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{

   \begin{pspicture}(-1,-2.5)(5,6.5)
      \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1.5)(5,5.25)
      \psplot[linecolor=red]{-0.5}{4.5}{x -2 add x -2 add mul -1 add}
      \rput(1.9,5.5){\textcolor{blue}{$x=-\frac{b}{2a}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.07](2,5.25)(2,-1)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,-1)(4,-1)
      \psdot[dotstyle=x,dotscale=2](2,-1)
      \uput[ul](0,0){O}
      \rput(2,-1.4){minimum}
      \uput[l](0,-1){$\beta$}
            \uput[dr](2,0){$\alpha$}
   \end{pspicture}}
   
   \parbox{8cm}{\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{a<0}}}$

\bigskip

\end{center}   
   \begin{variations}
x&-\infty&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\beta}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{
 \begin{pspicture}(-4,-3.5)(2,5.5)
      \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-2.25)(2,4.5)
      \psplot[linecolor=red]{-3.5}{1.5}{x 1 add x 1 add mul -4 add -1 mul}
      \rput(-1,-2.5){\textcolor{blue}{$x=-\frac{b}{2a}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.07](-1,-2.25)(-1,4)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-3,4)(1,4)
      \psdot[dotstyle=x,dotscale=2](-1,4)
            \uput[ul](0,0){O}
      \rput(-1,4.4){Maximum}
            \uput[l](0,4){$\beta$}
            \uput[dr](-1,0){$\alpha$}

   \end{pspicture}}


Dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré $2$ est une \textbf{\textcolor{red}{parabole}}

Cette parabole admet un \textbf{\textcolor{red}{axe de symétrie}} parallèle à l'axe des ordonnées.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : pour calculer $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on effectue plusieurs transformations successives :

\noindent $x\mapsto (x-\alpha)^2\mapsto a(x-\alpha)^2\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$.

\noindent La première transformation correspond à une translation parallèlement à l'axe des abscisses de $\alpha$ unités~;~la deuxième, multiplication par $a$, correspond à une dilatation (et un renversement si $a<0$) et la troisième à une translation parallèlement à l'axe des ordonnées de $\beta$ unités.



\subsection{\textcolor{red}{Fonction inverse}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction inverse la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}=]-\infty~;~0[\cup]0~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\end{minipage}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Parité}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction $f$ définie sur un ensemble $I$ est impaire si : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $I$ est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère (donc, pour tout $x\in I$, $-x\in I$).

\item pour tout $x\in I$, $f(-x)=-f(x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\vspace{1cm}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conséquence graphique :}} la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine $O$ du repère.\\


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Courbe représentative d'une fonction.  impaire :}}
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1](-4,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-4.0}{4.0}{x^3/10}
\psline[linestyle=dashed](2.26,1.15)(-2.26,-1.15)
\rput[bl](-3.82,-6.44){$f$}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,,linecolor=xdxdff](2.26,1.15)
\rput[bl](2.34,1.28){\xdxdff{$M(x~;~f(x))$}}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](-2.26,-1.15)
\uput[d](-2.18,-1.04){\xdxdff{$M'(-x~;~f(-x)=-f(x))$}}
\uput[ul](0,0){$O$}
\end{pspicture*}

\end{center}

\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction inverse $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est impaire
\end{bclogo}
\end{minipage}\\

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est définie sur $\mathbb{R^*}$ et $\mathbb{R^*}$ est symétrique par rapport à $O$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R^*}$, $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\danger : attention, on ne peut parler de variation que sur un intervalle ; il est faux de dire que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : par exemple : $-2<2$ ~;~ $f(-2)=-\dfrac{1}{2}$, $f(2)=\dfrac{1}{2}$ donc $f(-2)<(2)$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\noindent \textcolor{red}{Démonstration :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]0~;~+\infty[$ avec $0\leqslant x_1<x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_{1}}$ et $f\left(x_2\right)=\dfrac{1}{x_{2}}$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres positifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0[$ avec $\leqslant x_1<x_2<0$.\\
On a le mÍme calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres négatifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]-\infty~;~0[$.\\


\noindent Remarque : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la  symétrie de la courbe par rapport à $O$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}\\
0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&0&&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&\h{0}&\d&\mI&\bb&\pI&\d&&0\\
\end{variations}
\end{center}


\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour tracer la courbe, on  trace la partie correspondant à des abscisses positives en calculant les coordonnées de quelques points.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{2}$&1&2&4\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&4&2&1&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{4}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée \textbf{\textcolor{red}{hyperbole}}. Elle est constituée de deux branches (symétriques par rapport à l'origine O).

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-3,-5)(3,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{3}{1/x}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les  nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{1}{0,2}$ et $\dfrac{1}{0,3}$

\item $-\dfrac{1}{2,4}$ et $-\dfrac{1}{2,5}$

\item $-\dfrac{1}{3,1}$ et $\dfrac{1}{4,2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,3 sont positifs ; sur $]0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante.\\
$0,2<0,3$ donc $f(0,2)>f(0,3)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{0,2}>\dfrac{1}{0,3}}}$

\item -2,4 et -2,5 sont négatifs ; sur $]-\infty~;~0[$, $f$ est décroissante.\\
$-2,4>-2,5$ ; comme $f$ est décroissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-\dfrac{1}{2,4})<-\dfrac{1}{2,5}}}$.

\item $-3,1<0$ et $4,2>0$ donc $-\dfrac{1}{3,1}<0$ et $\dfrac{1}{4,2}>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3,1}<\dfrac{1}{4,2}}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2 ne sont par dans les mêmes intervalles définition de la fonction inverse.
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Fonctions homographiques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction homographique toute fonction de la forme $x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels avec $c\neq 0$ et $ad-bc\neq 0$.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'ensemble de définition de la fonction $f:x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d}$ est $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $f:x\mapsto \dfrac{2x+3}{7x+3}$.\\
$f$ est bien homographique et l'ensemble de définition est $\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{3}{7}\right\}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole, constituée de deux branches.
\end{bclogo}
\bigskip
Pour la fonction $f:x\mapsto\dfrac{2x+3}{7x+3}$, la courbe représentative est :
\begin{center}
\newrgbcolor{dcrutc}{0.86 0.08 0.24}
\begin{pspicture*}(-4,-4)(4,4)
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\multips(0,-4)(0,1.0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4,0)(4,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-4)(0,4)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=200]{-4.0}{-0.429}{(2*x+3)/(7*x+3)}
\psplot[plotpoints=200]{-0.428}{4}{(2*x+3)/(7*x+3)}
\psline[linestyle=dashed,dash=4pt 4pt,linecolor=dcrutc](-0.43,-4)(-0.43,4)
\begin{scriptsize}
\rput[bl](-4.2,-0.08){$f$}
\rput[bl](-0.28,6){\dcrutc{$a$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}
