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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} correction sur le contrôle sur les probabilités (1 heure)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Pour les deux questions suivantes, $A$ et $B$ sont des événements d'une expérience aléatoire.

\begin{enumerate}
\item On sait que $p(A)=0,3$, $p(B)=0,5$ et \\
$p(A \cap B)=0,1$.

%Calculer $p(A \cup B)$.
$p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)\\
=0,3+0,5-0,1=0,7$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cup B)=0,7}}$.

\item On sait que $p(A)=0,35$, $p(B)=0,45$ et \\
$p(A \cup B)=0,7$.

%Calculer $p(A \cap B)$.
$p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)\\
\Leftrightarrow p(A \cap B)=p(A)+p(B)-p(A \cup B)\\
=0,35+0,45-0,7=0,1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cap B)=0,1}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
On lance une pièce de monnaie. 

\noindent Si on obtient Pile, on relance la pièce une fois, sinon, on la relance deux fois.

\noindent On note les résultats dans l'ordre obtenu.

%\noindent Quel est l'ensemble des issues possibles ?
\noindent Représentons la situation par un arbre :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$P$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$F$}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$P$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$F$}\tbput{ $$}}}}
\end{center}
L'ensemble des issues possibles est \\
$\Omega=\{PP~;~PF~;~FPP~;~FPF~;~FFP~;~FFF\}$ ; il y a donc six issues possibles.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un lycée, un tiers des élèves sont en seconde et 60\:\% sont des filles.

\noindent Les filles de seconde représentent un dixième des élèves du lycée.

\noindent On choisit un élève du lycée au hasard.

On note $S$ l'événement \og{}l'élève est en seconde\fg{} et F l'événement \og{}l'élève est une fille\fg{}

\begin{enumerate}

\item %Que valent $p(S)$ ? $p(F)$ ? $p(S \cap F)$ ?
Par lecture directe de l'énoncé, on a :

$\boxed{\textcolor{red}{p(S)=\dfrac{1}{3}}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{p(F)=60\:\%=\dfrac{3}{5}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{p(S \cap F)=\dfrac{1}{10}}}$.

\item %Quelle est la probabilité  qu'il s'agisse d'une fille ou d'un élève de seconde ?
La probabilité  qu'il s'agisse d'une fille ou d'un élève de seconde est \\
$p(S \cup F)=p(S)+p(F)-p(S \cap F)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{10}\\
=\dfrac{10+18-3}{30}=\dfrac{25}{30}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{6}}}$.

La probabilité  qu'il s'agisse d'une fille ou d'un élève de seconde est $\dfrac{5}{6}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
Alix, Basil, Antoine et Damien sont les quatre seuls élèves qui ne sont pas encore passés au tableau.

\noindent Le professeur a encore le temps de faire passer au tableau deux de ces élèves avant la fin de l'heure. Il les choisit au hasard.

\begin{enumerate}
\item %Représenter à l'aide d'un arbre tous les couples possibles d'élèves que le professeur peut envoyer au tableau.
Représentons à l'aide d'un arbre tous les couples possibles d'élèves que le professeur peut envoyer au tableau.
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=3mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{Alix}\taput{ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{Basile}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Antoine}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Damien}\tbput{ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{Basile}\taput{ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{Alix}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Antoine}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Damien}\tbput{ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{Antoine}\taput{ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{Alix}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Basile}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Damien}\tbput{ }
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{Damien}\taput{ }}
{
\Tdot~[tnpos=r]{Alix}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Basile}\taput{ }
\Tdot~[tnpos=r]{Antoine}\tbput{ }
}
}

\end{center}

\item %Combien y a-t-il de couples possibles ?
On constate qu'il y a douze couples possibles

\item %Quelle la probabilité que Basil et Antoine passent au tableau dans cet ordre ?
La probabilité que Basil et Antoine passent au tableau dans cet ordre est $\dfrac{1}{12}$.

\item %Quelle la probabilité que Basil et Antoine passent au tableau ?
La probabilité que Basil et Antoine passent au tableau est alors $\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$ puisqu'il y a les deux couples (Basil~;~Antoine) et (Antoine~;~Basil)

\item %Quelle la probabilité que Damien passe au tableau ?
On regarde les couples contenant Damien ; il y en six (les trois avec Damien en premier et les trois contenant Damien en second). On en déduit que la probabilité que Damien passe au tableau est $\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}


\end{multicols}




\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}



Une compagnie aérienne a constaté qu'elle vend 30\:\% de ses billets en classe affaire, le reste en classe économique.

\noindent 60\:\% des passagers en classe affaire et 20\:\% des passagers en classe économique commandent un repas à bord.

\begin{enumerate}
\item Un avion s'apprête à décoller avec 250 passagers à bord.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que 45 passagers sont en classe affaire et prennent un repas.
La compagnie vend 30\:\% de ses billets en classe affaire ; $\dfrac{30\times 250}{100}=75$ ; 75 personnes voyagent en classe affaire.

60\:\% des passagers en classe affaire commandent un repas ; cela concerne donc $\dfrac{60\times 75}{100}=45$.

Il y a bien 45 passagers qui sont en classe affaire et prennent un repas.

\item %Calculer de même le nombre de passagers qui sont en classe économique et qui prennent un repas.
Le nombre de passagers en classe économique est $250-75=175$ ; 20\:\% de ces 175 passagers precommandent un repas ; ils  sont donc 35.

\item Reproduire et compléter le tableau suivant des effectifs de passagers :

\bigskip

\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}&Commandent un repas&Ne commandent aucun repas&Total\\
\hline
Classe affaire&45&30&75\\
\hline
Classe économique&35&140&175\\
\hline
Total&80&170&250\\
\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\bigskip

\item Une hôtesse interroge un passager à la montée dans l'avion.
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité qu'il soit en classe affaire et ne commande pas de repas ?
La probabilité qu'il soit en classe affaire et ne commande pas de repas est $\dfrac{30}{250}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{25}}}$

\item %Quelle est la probabilité qu'il soit en classe économique et ne commande pas de repas ?
La probabilité qu'il soit en classe économique et ne commande pas de repas est $\dfrac{140}{250}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{14}{25}}}$.

\item %Quelle est la probabilité qu'il commande un repas ?
La probabilité qu'il commande un repas  est $\dfrac{80}{250}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{8}{25}}}$

\end{enumerate}


\end{enumerate}






\label{fin}
\end{document}  