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\everymath{\displaystyle}
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\textwidth 18cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\newcommand{\V}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{Lycée Maurice Genevoix \\Année 2017-2018}}
\lfoot{24 mai 2018}

\begin{document}

\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Correction du contrôle commun \no 2}}
\end{center}

	
	



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 :}}

\medskip 

%\noindent Dans tout l'exercice, on se place dans un repère $(O~;~I~;~J)$ du plan. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. \textbf{Justifier chacune de vos réponses à l'aide de calculs. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}\\

\begin{enumerate}
\item Soient $A(-1;4)$ et $B(-3;2)$ deux points du plan. %\textbf{Affirmation :} Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.\\[0.15cm]

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3-(-1)=-2\\2-4=-2\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}}}$.

L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{fausse}}

\item On donne les vecteurs $\overrightarrow {u}\begin{pmatrix}\sqrt{3}-1\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow {v} \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}+1\end{pmatrix}$.

%\textbf{Affirmation :} Les vecteurs $\overrightarrow {u}$ et $\overrightarrow {v}$ sont colinéaires.\\[0.15cm]
On applique la condition de colinéarité : $\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)-2\times 1=\sqrt{3}^2-1-2=3-1-2=0$.

On en déduit que ces deux vecteurs ont des cordonnées proportionnelles, donc sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}} ; l'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}.

\item Soient $A(2~;~3)$, $B(1~;~4)$ et $M(-3~;~8)$ trois points du plan. %\textbf{Affirmation :} Les points $M$, $A$ et $B$ sont alignés.

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}-5\\5\end{pmatrix}$.

Il est clair que $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AM}=5\overrightarrow{AB}}}$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires ; les points $A$, $B$ et $M$ sont donc alignés. L'affirmation est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}.

\item On considère les points $A(-2~;~-2)$, $B(2~;~4)$, $C(10~;~2)$ et $D(6~;~4)$. %\textbf{Affirmation :} Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.\\[0.2cm]

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}$

Ces deux vecteurs ne sont pas égaux (mêmes abscisses, mais ordonnées différentes), donc le quadrilatère $ABCD$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas un parallélogramme}}.

\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2 :}} 
\label{Tableau-signes}
\begin{enumerate}
	\item %Factoriser l'expression $(2x-3)(8x+1)-(7x+4)(2x-3)$. 
	Factorisons l'expression $(2x-3)(8x+1)-(7x+4)(2x-3)$. 

On remarque que $2x-3$ est un facteur commun.

Alors : $(2x-3)(8x+1)-(7x+4)(2x-3)=(2x-3)\left[(8x+1)-(7x+4)\right]=(2x-3)(8x+1-7x-4)=\boxed{\textcolor{red}{(2x-3)(x-3)}}$.

	\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Dresser ci-dessous le tableau de signe de $(5x+8)(6-7x)$.
		Dressons ci-dessous le tableau de signe de $(-5x-8)(7x-)$.
		
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $-5x-8=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{8}{5}$ et $-5x-8>0\Leftrightarrow -5x><8\Leftrightarrow x<-\dfrac{8}{5}$ (en divisant par -5, nombre négatif).

\item $7x-6=0\Leftrightarrow x=\dfrac{6}{7}$ et $7x-6>0\Leftrightarrow x>\dfrac{6}{7}$ .

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{8}{5}&&\dfrac{6}{7}&&\pI\\
\filet
-5x-8&&+&\z&-&\l&-&\\
\filet
7x-6&&-&\l&-&\z&+&\\
\filet
(-5x-8)(7x-6)&&-&\z&+&\z&-&\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
		
\item% Factoriser $(x-7)^2-(6x+1)^2$.
 Factorisons $(x-7)^2-(6x+1)^2$.

On reconnaît une différence de deux carrés, donc une identité remarquable du type $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ avec $\begin{cases}a=(x-7)\\b=(6x+1)\end{cases}$.

On en déduit $(x-7)^2-(6x+1)^2=\left[(x-7)+(6x+1)\right]\left[(x-7)-(6x+1)\right]=\boxed{\textcolor{red}{(7x-6)(-5x-8)}}$

\item %En utilisant les questions $2. a)$ et $2. b)$, en déduire l'ensemble des solutions de $(x-7)^2\leqslant (6x+1)^2$.
$(x-7)^2\leqslant (6x+1)^2\Leftrightarrow (x-7)^2- (6x+1)^2\leqslant 0\Leftrightarrow (7x-6)(-5x-8)\leqslant 0$ (après la factorisation précédente 2. b.)\\

D'après le tableau de signes (2.a.), l'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{8}{5}\right] \cup \left[\dfrac{6}{7}~;~+\infty\right[}}$ \marginpar{1 pt}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 :}} 

\medskip 

\noindent Un quotidien d'information s'est intéressé aux tranches d'âge de ses abonnés. Ce quotidien est disponible en ligne ou en version papier. On a obtenu les résultats suivants  et on complète le tableau avec les totaux :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\cline{2-5}\multicolumn{1}{c|}{} & Moins de 20 ans & Entre 20 et 40 ans & Plus de 40 ans &Total\\
\hline
Version papier & 183 & 318 & 162&663 \\
\hline
Version en ligne & 96 & 175 & 66 &337\\
\hline
Total&279&493&228&\numprint{1000}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %Au total, combien d'abonnements ont été souscrits à ce journal ?
	
	Au total, 100\numprint{0} abonnements ont été souscrits à ce journal.

	
	\item On choisit au hasard l'un des abonnements souscrits. On considère les évènements suivants :
\begin{enumerate}[$\bullet$]

			\item L : \og\ L'abonnement souscrit est un abonnement en ligne\fg.
			\item A : \og\ L'abonnement a été souscrit par une personne de plus de 40 ans\fg.
			\item B : \og\ L'abonnement a été souscrit par une personne de moins de 20 ans\fg.
		\end{enumerate}
		\begin{enumerate}
			\item %Calculer la probabilité de l'évènement $L$. \dotfill
La probabilité de l'évènement $L$ est $\boxed{\textcolor{red}{p(L)=\dfrac{337}{1000}}}$

			\item %Décrire par une phrase l'évènement $L\cap A$ puis calculer sa probabilité.
			$L\cap A$ est l'événement \og{}L'abonnement a été souscrit en ligne \textbf{\textcolor{red}{et}} souscrit par une personne de plus de 40 ans\fg{}.
			
$p(L \cap A)=\dfrac{66}{\numprint{1000}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{33}{500}}}$

\item %Décrire par une phrase l'évènement $L\cup B$ puis calculer sa probabilité.
L'évènement $L\cup B$ est l'événement \og{}L'abonnement a été souscrit en ligne \textbf{\textcolor{red}{ou}} souscrit par une personne de moins de 20 ans\fg{}.

$p(L \cup B)=p(L)+p(B)-p(L\cap B)=\dfrac{337+279-96}{\numprint{1000}}=\dfrac{520}{1000}=\dfrac{13}{25}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(L \cup B)=\dfrac{13}{25}}}$
			
		\end{enumerate}
		
	\item %On choisit au hasard un abonnement papier. Quelle est la probabilité  que l'abonnement ait été souscrit par une personne âgée entre $20$ et $40$ ans.
La probabilité  que l'abonnement ait été souscrit par une personne âgée entre $20$ et $40$ ans sachant qu c'est un abonnement papier est $\dfrac{318}{663}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{106}{221}}}$
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 :}} 

\medskip

\noindent Une urne contient deux boules vertes numérotées 1 et 2, que l'on note $V_1$ et $V_2$, et deux boules rouges numérotées 1 et 2, que l'on note $R_1$ et $R_2$. Les boules sont indiscernables au toucher.

On tire une boule de l'urne puis, \textbf{sans la remettre}, on en tire une deuxième.

Une issue est donc un couple que l'on notera $(V_1;R_1)$, par exemple.
\begin{enumerate}
	\item %Représenter ci-dessous la situation à l'aide d'un arbre de dénombrement et en déduire le nombre total d'issues.
	Représentons ci-dessous la situation à l'aide d'un arbre de dénombrement

\psset{nodesep=0mm,levelsep=80mm,treesep=4mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V_1$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_2$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R_1$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$V_2$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_1$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R_1$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R_1$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_1$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$V_2$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R_2$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$R_2$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_1$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$V_2$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$R_1$}\tbput{ $$}
}
}

Le nombre total d'issues est 12. Il y a 12 couples possibles.



	
	\item %Calculer la probabilité des évènements suivants : 
	Calculons la probabilité des évènements suivants : 
	
	Nous sommes en situation d'équiprobabilité ; la probabilité d'un événement est le nombre de couples réalisant cet événement divisé par le nombre total de couples possibles.
	
	\begin{enumerate}
		\item %La boule $V_1$ a été tirée.
		$p(\text{\og{}La boule $V_1$ a été tirée\fg{}})=\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$ (6 branches contiennent $V_1$).

		\item %Lors du tirage, le numéro 2 apparaît exactement une fois.
		$p(\text{\og{}Lors du tirage, le numéro 2 apparaît exactement une fois\fg{}})=\dfrac{10}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{6}}}$.


		\item %Les des boules tirées sont de couleurs différentes.
		$p\left(\text{\og{}Les des boules tirées sont de couleurs différentes.\fg{}}\right)=\dfrac{8}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}}$

		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 5}}  

\medskip


\noindent On considère les quatre fonctions définies par :\\
 $f_1(x) = (x-2)^2+1$, $f_2(x) = -\frac{1}{2}\left(x-1\right)^2+2$, $f_3(x) = (x+3)^2-1$ et $f_4(x) = -\left(x-3\right)^2-1$.

On a tracé ci-dessous les quatre courbes représentatives.

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-5,-5)(5,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=black]{0.3}{3.5}{(x-2)^2+1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2.5}{4.2}{-(x-1)^2/2+2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.3}{4.2}{-(x-3)^2-1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=magenta]{-5}{-1}{(x+3)^2-1}
\uput[r](3,2){$\mathscr{C}_1$}
\uput[ur](3,0){$\mathscr{C}_2$}
\uput[ur](-3,0){$\mathscr{C}_3$}
\uput[l](2,-2){$\mathscr{C}_4$}
\end{pspicture}

\end{center}

%Associer chaque fonction à sa courbe représentative dans le repère ci-dessous (indiquer sur le graphique ci-dessus $\mathcal{C}_1$ pour la courbe représentative de $f_1$, $\mathcal{C}_2$ pour celle de $f_2$, $\mathcal{C}_3$ pour celle de $f_3$ et $\mathcal{C}_4$ pour celle de $f_4$).
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f_1(x)=a_1\left(x-\alpha_1\right)^2+\beta_1$ ; $a_1>0$ donc la parabole associée est tournée vers le haut et a pour sommet $S_1\left(\alpha_1~;~\beta_1\right)$ donc $S_1(2~;~1)$.

\item $f_2(x)=a_2\left(x-\alpha_2\right)^2+\beta_2$ avec $a_2=-\dfrac{1}{2}<0$ donc la parabole associée est trouvée vers le bas ; le sommet est $S_2\left(1~;~2\right)$

\item $f_3(x)=(x+3)^2-1$ ; le coefficient de $x^2$ est 1, positif, donc la parabole est tournée vers le haut ; le sommet est $S_3(-3~;~-1)$.

\item $f_4(x)=-(x-3)^2-1$ ; le coefficient de $x^2$ est -1, négatif, donc la parabole est tournée vers le bas ; le sommet est $S_4(3~;~1)$.

On a mis les noms des courbes sur le graphique.
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 6 :}} 

\medskip

\noindent Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-2x-3$.

\begin{enumerate}
	\item %Démontrer par le calcul que la forme factorisée de $f(x)$ est $(x-3)(x+1)$.
	$(x-3)(x+1)=x^2+x-3x-3=x^2-2x-3=f(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x-3)(x+1)}}$
	
	\item %Démontrer par le calcul que la forme canonique de $f(x)$ est $(x-1)^2-4$. 
	$f(x)=x^2-2x-3=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=1\\b=-2\\c=-3\end{cases}$.
	
	La forme canonique de $f(x)$ est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
	
	Alors $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{2}{2}=1$
	
	$\beta=f(\alpha)=f(1)=-4$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(x-1)^2-4}}$

	
	
	\item En utilisant la forme la plus adaptée de $f(x)$, répondre aux questions suivantes :
		\begin{enumerate}
			\item %Calculer les images de $0$, de $-1$ et de $1$ par $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=-3}}$ en utilisant la forme initiale (développée)

\item $f(-1)=(-1-3)(-1+1)=-4\times 0=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=0}}$ (en prenant la forme factorisée)

\item $f(x)=(x-1)^2-4$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(1)=-4}}$
\end{enumerate}
%			
			\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$.
			$f(x)=0\Leftrightarrow (x-3)(x+1)=0$
			
			Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $x-3=0\Leftrightarrow x=3$

\item Deuxième cas : $x+1=0\Leftrightarrow x=-1$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~3\}}}$
			
			\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
			On a $f(x)=(x-1)^2-4$ ; le coefficient de $x^2$ est $a=1>0$ donc la fonction est décroissante sur $]-\infty~;~1]$ puis croissante sur $[1~;~+\infty[$.
			
			\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation }}:
			\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&\pI\\
\hline
f(x)&&\d&-4&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

		\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 7}}  

\medskip

\noindent John veut construire une serre dans son jardin. Le contour de la façade est assimilé à la parabole $\mathcal{P}$ représentée dans le repère orthonormé ci-dessous (unité : 1 m) :

%$$\begin{tikzpicture}[scale=2]
%\tkzDefPoint(0,0){O}
%\tkzDefPoint(1.5,0){A}
%\tkzDefPoint[xshift=.5cm](1.5,0){A'}
%\tkzDefPoint(-1.5,0){B}
%\tkzDefPoint[xshift=-.5cm](-1.5,0){B'}
%\tkzDrawVector(B',A')
%\draw(1,.05)--(1,-.05)node[below]{1};
%\draw(-1,.05)--(-1,-.05)node[below]{-1};
%\draw(.05,1)--(-.05,1)node[left]{1};
%
%\tkzDefPoint(0,2.025){S}
%\tkzDefPoint[yshift=.5cm](0,2.025){S'}
%\tkzDrawVector(O,S')
%\draw[samples=200,domain=-1.5:1.5,red] plot (\x,{-0.9*(\x)^2+2.025});
%\draw[red](-1.3,1)node{\Large$\mathcal P$};
%
%\tkzDefPoint(0.5,0){F}
%\tkzDefPoint(-0.5,0){G}
%\tkzDefPoint(0.5,1.8){E}
%\tkzDefPoint(-0.5,1.8){H}
%\draw (G)--(H)--(E)--(F);
%
%\tkzLabelPoints[below](B,O,A,G,F)
%\tkzLabelPoints[above](H,E)
%\tkzLabelPoints[above right](S)
%\tkzDrawPoints(B,O,A,G,F,S,E,H) 
%
%% Décommander pour le marquage
%%\tkzDefPoint(0,1.8){W}
%%\tkzMarkRightAngles(A,F,E B,G,H O,W,E)
%%\tkzMarkSegments[mark=s||](G,O O,F)
%
%\end{tikzpicture}$$

\begin{center}
\psset{unit=2cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.2)(2,2.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.7,0)(1.7,2.3)
\psplot{-1.5}{1.5}{-0.9*x^2+2.025}
\uput[l](-1.2,1){$\mathscr{P}$}
\uput[d](0.5,0){F}
\uput[d](-0.5,0){G}
\uput[d](-0.5,1.8){H}
\uput[d](0.5,1.8){E}
\uput[d](-1.5,0){B}
\uput[d](1.5,0){A}
\uput[ur](0,2.025){S}
\psframe(-0.5,0)(0.5,1.8)
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle $EFGH$ représente la porte. $OS = 2, 025$ m et $OA = OB = 1,5$ m.
\begin{enumerate}
	\item %Établir que la parabole $\mathcal{P}$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[\ -1,5\ ; \ 1,5 \ ]$ par : \[f(x) = -0,9x^2+2,025.\]
	$\mathscr{P}$ est la courbe représentative d'une fonction définie par $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où $(\alpha~;~\beta)$ sont les cordonnées du sommet.
	
	Le sommet $S$ a pour cordonnées $(0~;~2,025)$ donc $\alpha=0$ et $\beta=2,025$.
	
donc	$f(x)=ax^2+2,025$.
	
	$OA=1,5$ donc $f(1,5)=0$ qui donne $a\times 1,5^2=2,025\Leftrightarrow 2,25a+2,025=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{2,025}{2,25}=-0,9$.
	
	On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-0,9x^2+2,025}}$.
	

	\item %John aimerait que la porte mesure $1,5$m de large pour pouvoir passer facilement avec sa brouette.

%	Quelle sera alors la hauteur, en m, de la porte ? Arrondir au centimètre près.
La largeur de la porte est $GF=1,5$ m donc $OF=0,75$.

La hauteur de la porte est alors $f(0,75)=1,51875$ donc la hauteur de la porte vaut environ 1,52 m.
	
	\item %Il se rend compte qu'il ne pourra pas passer sans se baisser. Il choisit une hauteur de porte de $1,80$m.

%	John pourra-t-il passer avec sa brouette ?
On cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=1,8$.

$f(x)=1,8\Leftrightarrow -0,9x^2+2,025=1,8\Leftrightarrow -0,9x^2=-0,225\Leftrightarrow x^2=\dfrac{-0,225}{0,9}=0,25$.

Cette équation a deux solutions, -0,5 et 0,5.

On a donc $x=0,5$ et la largeur de la porte vaut alors 1 m ; John ne pourra alors pas passer avec sa brouette.

\end{enumerate}







\label{fin}
\end{document}  