\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle commun \no 1 de seconde}}\end{center}


\subsection{}
Marie doute du bon fonctionnement de son four. Elle règle son four sur 200 degrés. D’après la notice, le four doit atteindre la
température de 200 degrés en 30 minutes puis maintenir la température constante.

Marie effectue des relevés de températures toutes les 10 minutes et obtient la courbe suivante qui donne en fonction du temps $x$ (en minutes) la température $f(x)$ du four (en degrés).

\psset{xunit=0.08,yunit=0.02}
\begin{pspicture}(-10,-20)(210,280)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=20,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-10,-20)(210,280)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=red](0,0)(10,80)(20,130)(30,160)(40,200)(50,220)(60,210)(70,200)(80,180)(90,165)(100,160)(110,170)(120,185)(130,200)(140,210)(150,205)(160,200)(170,195)(180,185)(190,182)(200,180)
\multido{\n=0+10}{22}{\psline(\n,0)(\n,280)}
\multido{\n=0+20}{15}{\psline(0,\n)(210,\n)}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](80,0)(80,180)(0,180)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](40,0)(40,200)(0,200)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](0,160)(200,160)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](30,160)(0,160)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](100,160)(0,160)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](0,200)(200,200)
\end{pspicture}

\bigskip
En utilisant le graphique ci-dessus, répondre sur cette feuille aux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item %Quel est le domaine de définition de la fonction $f$ ?
Le domaine de définition de la fonction $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[0~;~200]}}$.

\item %Quelle est la température du four au bout de 80 minutes ?
La température du four au bout de 80 minutes est de \textbf{\textcolor{red}{180 \degre}}.

\item %Déterminer l’image de 40 par $f$.
L’image de 40 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{f(40)=200}}$.

\item %Quels sont les instants où la température du four est de 160 degrés ?
Le four atteint 160 degrés à l'instant \textbf{\textcolor{red}{30}} minutes et à l'instant \textbf{\textcolor{red}{100}} minutes.

\item %Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) < 200.
Les solutions de l'inéquation  $f(x)<200$ sont les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnées est strictement inférieure  200 : l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[0~;~40[\cup]70~;~130[\cup]160~;~200[}}$.

\item %Quel est le maximum de la fonction $f$ sur son ensemble de définition? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de la fonction $f$ sur son ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{220}}$ degrés. Il est atteint à l'instant $\boxed{\textcolor{red}{50}}$ minutes.

\item %Dresser le tableau de variation de $f$ sur son ensemble de définition.
Tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&50&&100&&140&&200\\
\hline
f(x)&0&\c&\h{220}&\d&160&\c&\h{210}&\d&180\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Pensez-vous que le four deMarie fonctionne correctement ? Justifier votre réponse.
Le four de Marie ne fonctionne pas correctement puisqu'il n'atteint 200 degrés qu'en 40 minutes et non 30 et la température ensuite n'est pas constante.

\end{enumerate}

\subsection{}
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f (x) = -3x +8$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer l’image de 5 par $f$.
L’image de 5 par $f$ est $f(5)=-3\times 5+8=-15+8=-7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=-7}}$.

\item %Calculer les antécédents éventuels de 10 par $f$.
Un antécédent $x$ de 10 par $f$ est solution  de l'équation $f(x)=10$.

$f(x)=10$ s'écrit $-3x+8=10$ donc $-3x=10-8=2$ d'où $x=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac{2}{3}$.

10 a pour antécédent par $f$ le nombre $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}}}$.

\newpage


\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes et  tableau de variations de la fonction}}.




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variation}}

\bigskip
Le coefficient directeur de $f$ est -3, négatif, donc la fonction affine $f$ est décroissante.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\columnbreak
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de signe }}:

$f(x)=-3x+8=ax+b$ avec $\begin{cases}a=-3\\b=8\end{cases}$.

$f(x)$ s'annule pour $x=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{8}{-3}=\dfrac{8}{3}$.

Comme $f$ est décroissante, $f(x)$ prend d'abord des valeurs positives puis négatives.

\bigskip

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{8}{3}&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)= 3x^2 -5$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer l’image de -2 par $g$.
L’image de -2 par $g$ est $g(-2)=3\times (-2)^2-5=3\times 4-5=12-5=7$ : $\boxed{\textcolor{red}{g(2)=7}}$

\item %Calculer les antécédents éventuels de 43 par $g$.
Antécédents éventuels de 43 par $g$ :

On résout l'équation $g(x)=43$ c'est-à-dire  $3x^2-5=43$ qui donne $3x^2=48$ d'où $x^2=\dfrac{48}{3}=16$.

$x^2=16$ a deux solutions, -4 et 4.

43 a donc pour antécédents par $g$ les nombres \fbox{\textcolor{red}{-4 et 4}}.
\end{enumerate}

\item %Déterminer l’expression de la fonction affine $h$ telle que $h(2) = 7$ et $h(5) = 22$.
$h$ est une fonction affine, donc il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que $h(x)=ax+b$.

On sait que $h(2) = 7$ et $h(5) = 22$.

Le coefficient directeur $a$ vaut $a=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{h(5)-h(2)}{5-2}=\dfrac{22-7}{3}=\dfrac{15}{3}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$.

Alors : $\boxed{\textcolor{red}{h(x)=5x+b}}$.

$h(2)=7$ donne $5\times 2+b=7$ d'où $10+b=7$, donc $b=7-10=-3$.

L'expression de $h(x)$ est $\boxed{\textcolor{red}{h(x)=5x-3}}$.

\end{enumerate}


\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

%L’exercice est à rédiger entièrement sur le sujet.

Soit $f$ une fonction dont le tableau de variations est le suivant :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-2&&4&&7\\
\hline
\m{f(x)}&\h{8}&\d&4&\c&\h{12}&\d&-2\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f$ ?

L'ensemble de définition de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[-5~;~7]}}$.

\item %Quel est l’image de 4 par $f$ ?
L’image de 4 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{f(4)=12}}$

\item %Donner un antécédent de -2 par $f$. 

Un antécédent de -2 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{7}}$ car $f(7)=-2$.

\item %Peut-on comparer $f(0)$ et $f(5)$ ? (Si oui, le faire en justifiant soigneusement)  ; 
0 et 5 appartiennent à l'intervalle [-2~;~7] sur lequel $f$ n'est pas monotone. On ne peut pas comparer ces deux nombres, car on ne peut pas savoir lequel est le plus grand.

\item %Peut-on comparer $f(-4)$ et $f(-3)$ ? (Si oui, le faire en justifiant soigneusement) :
 -4 et -3 appartiennent à l'intervalle [-5~;~-2] sur lequel $f$ est  décroissante, donc renverse l'ordre.

Comme $-4<-3$, on en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f(-4)>f(-3)}}$.

\item %Quel est le maximum de $f$ ? En quelle valeur est-il atteint ? 
Le maximum de $f$ est \fbox{\textcolor{red}{12}}, atteint pour $\boxed{\textcolor{red}{x=4}}$.

\item %Combien d’antécédents 9 a-t-il par $f$ ? \dotfill
9 est entre 4 et 12 donc 9 a un antécédent dans l'intervalle [-2~;~4].

9 est entre -2 et 12 donc 9 a un antécédent dans l'intervalle [4~;~7]

9 a donc deux antécédents, l'un dans l'intervalle $[-2~;~4]$ et l'éutre dans l'intervalle $[4~;~7]$.

\item %Tracer dans le repère orthonormé ci-dessous une courbe compatible avec le tableau de variations :
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture}(-7,-3)(7,13)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(7,13)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-7,-3)(7,13)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=blue](-5,8)(-3,5)(-2,4)(-1,5)(4,12)(5,10)(7,-2)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-5,8)(-2,4)(4,12)(7,-2)
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}
\subsection{}
Dans tout l’exercice, les tailles sont exprimées en centimètres.

L’équipe de soins de la maternité \og{}Beaux jours\fg{} a relevé la taille des nouveaux-nés sur la totalité du mois de septembre 2015. Il y a eu en tout 57 naissances durant ce mois. 

\bigskip

Les 57 tailles sont données dans le tableau ci-dessous :

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Taille (en cm)&46& 47,5& 48& 48,5& 49& 49,5& 50& 50,5& 51& 51,5& 52& 52,5& 53\\
\hline
Effectif& 1& 2& 3& 5& 5& 7& 9& 8& 7& 5& 2& 2& 1\\
\hline
\rowcolor{red!30}Effectifs cumulés croissants&1&3&6&11&16&23&32&40&47&52&54&56&57\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants de cette série.
Effectifs cumulés (voir tableau ci-dessus)

\item %Calculer la taille moyenne des 57 nouveaux-nés de cette clinique durant le mois de septembre (arrondir au centième).
La taille moyenne des nouveaux-nés est :

$\overline{x}=\dfrac{(46\times 1)+\cdots+(53\times 1)}{57}=\dfrac{2849,5}{57}\approx 49,99$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\overline{x}\approx 49,99}}$

\item %Quelle est l’étendue de cette série ?
L’étendue de cette série  est $53-46=7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{e=7}}$

\item %Calculer la médiane de cette série.
L'effectif total est $N=57$, nombre impair ; $57=2\times 28+1$ donc la médiane est la valeur de rang 29, c'est-à-dire  50 : $\boxed{\textcolor{red}{\text{Me}=50}}$

\item %Calculer le premier et le troisième quartile de cette série.
Quartiles : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\dfrac{N}{4}=\dfrac{57}{4}=14,25$ donc le premier quartile est $Q_1=x_{15}$ (quinzième valeur) : $\boxed{\textcolor{red}{Q_1=49}}$.

\item $\dfrac{3N}{4}=42,75$ donc le troisième quartile est $Q_3=x_{43}$ (quarante-troisième valeur) : $\boxed{\textcolor{red}{Q_3=51}}$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Résumé}} : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
\rowcolor{blue!20}Moyenne&Etendue&Médiane& Premier quartile& Troisième quartile\\
\hline
49,99& 7& 50& 49& 51\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item A la maternité \og{}Bon accueil\fg{}, l y a eu 64 naissances durant ce même mois de septembre 2015.

La même étude statistique portant sur la taille des nouveaux-nés a été résumée dans le tableau suivant :
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
\rowcolor{blue!20}Moyenne&Etendue&Médiane& Premier quartile& Troisième quartile\\
\hline
49,3& 7& 49& 48& 50,5\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

%Parmi les deux maternités \og{}Beaux jours\fg{} et \og{}Bon accueil\fg{}, une seule possède un service pour les naissances prématurées.
%
%Dire quelle est cette maternité . Argumenter en utilisant les indicateurs adéquats.
%
Dans la deuxième maternité, on voit que la moyenne des tailles des bébés est plus faible, ce qui montre qu'il  y a davantage de nouveaux-nés de petite taille.

De même, dans cette deuxième maternité, la médiane est de 49, donc 50\:\% des bébés ont une taille inférieure ou égale à 49 cm (50 cm dans la première maternité).

Le premier quartile et le troisième quartile sont également plus faibles dans la seconde maternité.

On en déduit que c'est la seconde maternité qui possède un service pour les naissances prématurées.
\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Zoé joue aux fléchettes. La cible est placée dans le repère orthonormé (O~;~I~;~J) (ci-contre). 

Cinq fléchettes sont repérées par les points : \\
A(0~;~4) , B(1~;~-2), C$\left(\dfrac{1}{2}~;~2\right)$, D(-3~;~4) et E(1~;~-1).

Le nombre de points correspondant à chaque zone colorée est indiqué sur la cible.

%Calculer le score obtenu par Zoé.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item A n'est dans aucune cible, donc rapporte 0 point.

\item B rapporte 10 points.

\item C rapporte 10 points.

\item D n'est dans aucune cible donc rapporte 0 point.

\item E est dans la cible centrale donc rapporte 15 points.

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Zoé marque 35 points}} ($10+10+15$).

%\psset{unit=1}
%\begin{center}
%\psset{unit=.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-3.5,-5)(5.,4.5)
%\psset{unit=0.8}
%\pscircle[fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.7](1.,0.){4.}
%\pscircle[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.7](1.,0.){2.7}
%\pscircle[fillcolor=red!30,fillstyle=solid,opacity=0.7](1.,0.){1.2}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-3.)(5.,4.)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3.5,-5)(5.,4.5)
%\uput[ul](0,0){O}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,4)(1,-2)(0.5,2)(-3,4)(1,-1)
%\uput[r](0,4){A}
%\uput[r](1,-2){B}
%\uput[l](0.5,2){C}
%\uput[r](-3,4){D}
%\uput[r](1,-1){E}
%\uput[u](1,0){15}\uput[u](1,1.5){10}\uput[u](1,3){5}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\psset{unit=1}
\begin{center}
\psset{unit=.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-5)(5.,4.5)
\psset{unit=0.8}
\pscircle[fillcolor=red!40,fillstyle=solid,opacity=0.7](1.,0.){4.}
\pscircle[fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.7](1.,0.){2.7}
\pscircle[fillcolor=green!30,fillstyle=solid,opacity=0.7](1.,0.){1.2}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5.,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-5)(5.,5)
\uput[ul](0,0){O}
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](0,4)(1,-2)(0.5,2)(-3,4)(1,-1)
\uput[ur](0,4){A}
\uput[r](1,-2){B}
\uput[l](0.5,2){C}
\uput[r](-3,4){D}
\uput[r](1,-1){E}
\uput[u](1,0){15}\uput[u](1,1.5){10}\uput[u](1,3){5}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{multicols}






\subsection{}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère les points A, B, C, D, E et F placés sur la figure ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.9,-3.4)(10.9,6.8)
\multips(0,-3)(0,1.0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.9,0)(10.9,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){16}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-3.4)(0,6.8)}
\psline[linewidth=2pt](-1,1)(2,0)
\psline[linewidth=2pt](4,2)(1,3)
\psline[linewidth=2pt](1,3)(-1,1)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(4,2)
\psline[linewidth=2pt](4,2)(7,3)
\psline[linewidth=2pt](7,3)(5,1)
\psline[linewidth=2pt](5,1)(2,0)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=+](-1.,1.)
\rput[bl](-1.42,0.52){$A$}
\psdots[dotstyle=+](1.,3.)
\rput[bl](0.7,3.28){$B$}
\psdots[dotstyle=+](4.,2.)
\rput[bl](3.72,2.26){$C$}
\psdots[dotstyle=+](2.,0.)
\rput[bl](1.52,-0.58){$D$}
\psdots[dotstyle=+](7.,3.)
\rput[bl](7.08,3.2){$E$}
\psdots[dotstyle=+](5.,1.)
\rput[bl](5.1,0.32){$F$}
\psdots[dotstyle=x](4,4)\uput[u](4,4){G}
\psdots[dotstyle=x](6,6)\uput[u](6,6){H}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item G est l'image de B par la translation de vecteur $\overrightarrow{CE}$ donc $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{CE}$ 

\item H est  tel que E est l'image de H par la translation de vecteur $\overrightarrow{BD}$ donc $\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{BD}$.
\end{enumerate}

\item Simplifier les deux expressions suivantes : 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CF}}}$ d'après la relation de Chasles.

\item $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AE}}}$ car $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ puis on utilise la relation de Chasles.
\end{enumerate}

\item On considère un point $I$ tel que $\overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0}$.

%Montrer que $\overrightarrow{CI} = \overrightarrow{ID}$. Que peut-on en déduire pour les points C, I et D ?
On en déduit que $\overrightarrow{ID}=-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{CI}$ donc $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{ID}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{CI}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont colinéaires. Les points C, I et D sont alignés et I est le milieu de [CD].


\end{enumerate}


\end{multicols}

\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

On considère les points  A(4~;~1),   B(0~;~4)  et C(-6~;~-4)
\begin{enumerate}
\item %Placer les points A, B et C  dans un repère orthonormé du plan.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7.,-8)(5.,6.)
\pspolygon[fillcolor=cyan!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.,1.1)(0.,4.)(-6.,-4.)
\psline(4.,1.1)(0.,4.)
\psline(0.,4.)(-6.,-4.)
\psline(-6.,-4.)(4.,1.1)
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](4.,1.1)
\rput[bl](4.0913904761904805,1.355542857142859){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](0.,4.)
\rput[bl](0.11106666666666867,4.245714285714289){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=x,linecolor=blue](-6.,-4.)
\uput[dl](-6,-4){\blue{$C$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x,linecolor=darkgray](-1.,-1.45)
\rput[bl](-0.90302857142857,-1.3064571428571423){\darkgray{$K$}}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2.,Dy=2.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7.,-8.886819047619051)(5.,6.)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,gridlabels=0](-7,-8)(5,6)
\psdot[dotsize=3pt 0,dotstyle=x](-2,-7)
\uput[d](-2,-7){D}
\psline(-6,-4)(-2,-7)(4,1)
\end{pspicture*}
\end{center}


Calcul des longueurs  AB,  AC et BC :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ : $\boxed{\textcolor{red}{AB=5}}$.

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-6\\-8\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{(-6)^2+-82^2}=\sqrt{100}=10$ : $\boxed{\textcolor{red}{BC=10}}$.

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-10\\-5\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{(-10)^2+(-5)^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ : $\boxed{\textcolor{red}{AC=5=\sqrt{25}=\sqrt{5}}}$.
\end{enumerate}

\bigskip

$AC^2=125$ ; $AB^2+BC^2=25+100=125$ donc $AB^2+BC^2=25+100=125$ donc $\boxed{\textcolor{red}{AB^2+BC^2=AC^2}}$.

D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en B.
\item %On note $K$ le milieu de $[AC]$.

\begin{enumerate}
\item $K$ est le milieu de $[AC]$, donc $x_K=\dfrac{x_A+x_C}{2}\dfrac{4+(-6)}{2}=-1$ et $y_K=\dfrac{y_A+y_C}{2}\dfrac{1+(-4)}{2}=-1=-\dfrac{3}{2}$.

$K$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{K\left(-1~;~-\dfrac{3}{2}\right)}}$.

\item $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $K$ donc $K$ est le milieu de $[BD]$.

Alors : $x_K=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ d'où $2x_K=x_B+x_D$ qui donne $x_D=2x_K-x_B=-2-0=-2$.

De même : $y_D=2y_K-y_B=-3-4=-7$.

$D$ a donc pour coordonnées : $\boxed{\textcolor{red}{D(-2~;~-7)}}$.

\item Par construction, $K$ est le milieu des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ donc $ABCD$ est un parallélogramme. Comme le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, le parallélogramme $ABCD$ a un angle droit, donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}.

\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  