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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du  contrôle sur les vecteurs}}\end{center}

%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/pages/math2Scontrolesdevoirs.html




\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Dans la figure ci-dessous, on construit le point D tel que $ABCD$ soit un parallélogramme, avec un compas.
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-2.,-1.)(7.,6.)
%%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-1.)(7.,6.)
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0.,0.)
%\rput[bl](0.08,0.2){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](2.78,0.74)
%\rput[bl](2.86,0.94){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](0.94,4.58)
%\rput[bl](1.02,4.78){\blue{$C$}}
%\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=darkgray](-1.84,3.84)
%\rput[bl](-1.76,3.96){\darkgray{$D$}}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=2,linecolor=blue](5.56,1.48)
%\rput[bl](5.64,1.68){\blue{$E$}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.8,-1.)(7.,6.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3.,-1.)(7.,6.)
\psline(0.,0.)(2.78,0.74)
%\pscircle(0.94,4.58){2.876803781977492}
\psline(2.78,0.74)(0.94,4.58)
%\pscircle(0.,0.){4.258074682294804}
\parametricplot{1.8465170102153257}{2.184566421811465}{1.*4.2580746822948035*cos(t)+0.*4.2580746822948035*sin(t)+0.|0.*4.2580746822948035*cos(t)+1.*4.2580746822948035*sin(t)+0.}
\parametricplot{3.1278004247529596}{3.7046004635184406}{1.*2.876803781977492*cos(t)+0.*2.876803781977492*sin(t)+0.94|0.*2.876803781977492*cos(t)+1.*2.876803781977492*sin(t)+4.58}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,0.)
\rput[bl](0.08,0.2){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.78,0.74)
\rput[bl](2.86,0.94){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.94,4.58)
\rput[bl](1.02,4.78){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*](-1.84,3.84)
\uput[d](-1.84,3.84){{$D$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-1.492779399294374,3.0445572643797796)
%\rput[bl](-1.42,3.24){\xdxdff{$E_1$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-2.452453154632007,3.4809012517357507)
%\rput[bl](-2.38,3.68){\xdxdff{$F$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](-1.1592202539133778,4.097244000900727)
%\rput[bl](-1.08,4.3){\xdxdff{$G$}}
%\rput[bl](-1.72,3.92){$e$}
%\rput[bl](1.94,-3.72){$h$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.56,1.48)
\psline(0.94,4.58)(-1.84,3.84)
\psline(2.78,0.74)(5.56,1.48)
\psline(0.,0.)(-1.84,3.84)
\rput[bl](5.64,1.68){\blue{$E$}}

\end{pspicture*}

\item $E$ est le symétrique de $A$ par rapport à $B$.
\begin{enumerate}
\item B est le milieu de [AE].

\item %Donner deux vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$.
Puisque ABCD est un parallélogramme, on a $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

B est le milieu de [AE] donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BE}$

\item %En déduire la nature du quadrilatère $BECD$.
On en déduit que $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BE}$ donc BECD est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}

Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A(1~;~4), B(5~;~-3) et C(2~;~5).

%\textbf{Calculer} les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme équivaut à l'égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5-1=4\\-3-4=-7\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}2-x_D\\5-y_D\end{pmatrix}$.

Les deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées.
$2-x_D=4$ donne $x_D-2-4=-2$ et $5-y_D=-7$ donne $y_D=5+7+12$.

D a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(-2~;~12)}}$.

%\columnbreak
\subsection{}
À l’aide de la relation de Chasles, simplifier les expressions suivantes :

\begin{enumerate}

\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}$

\item $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DA}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormée, on donne les points : A(-2~;~4), B(3~;~3) C(-1~;~0), D(4~;~-1).

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-2)=5\\3-4=-1\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4-(-1)=5\\-1-0=-1\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$.

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux puisqu'ils ont les mêmes coordonnées. ABDC est donc un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\end{enumerate}

\item %Le quadrilatère ABDC est-il aussi un losange ?
Puisque ABDC est un parallélogramme, c'est un losange s'il a deux côtés consécutifs de même longueur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$ donne $AB=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$.

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1-3=-4\\0-3=-3\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\-3\end{pmatrix}$ d'où \\
$BC=\sqrt{(-4)^2+(3)^2}=\sqrt{16+9}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{25}=5}}$.

\item Il est clair que $AB\neq BC$ car $\sqrt{25}\neq\sqrt{26}$ donc ABDC n'est \textbf{\textcolor{red}{pas un losange}}.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On considère les points A(-2~;~-1), B(5~;~3) et C(7~;~4).

%Les point A, B et C sont-ils alignés ?
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}9\\5\end{pmatrix}$.

$7\times 5-9\times 4=35-36=-1\neq 0$ ; la condition de colinéarité n'est pas vérifiée donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires ; les points A, B et C ne sont \textbf{\textcolor{red}{pas alignés}}.

\item %On considère les points A(-3~;~2), B(1~;~4), C(-1~;~-3) et D(-3~;~-4)
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-2\\-1\end{pmatrix}$.

%Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?

Il est clair que $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{CD}$ donc ces deux vecteurs sont colinéaires. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ \textbf{\textcolor{red}{sont parallèles}}.

\end{enumerate}


\subsection{}

On donne les points A(3~;~-1), B(7~;~5) et C(-3~;~3) dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J).

\begin{enumerate}
%\item Placer les points A, B et C.

\item %Calculer les longueurs AB, AC et BC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{52}}}$ (=$\sqrt{4\times 13}=2\sqrt{13}$)

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-10\\-2\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{(-10)^2+(2)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{104}}}$ ($=\sqrt{4\times 26}=2\sqrt{26}$)

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{36+16}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{52}}}$

\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature du triangle ABC (Justifier !)
$AB=AC$ donc $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{isocèle}}.

$BC^2=104$ ; $AB^2+AC^2=52+52=104$ donc $BC^2=AB^2+AC^2$.

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en A.

$ABC$ est donc rectangle isocèle en A.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{non noté}}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

ABC est un triangle quelconque. 

\begin{enumerate}
\item M et N sont  tels que :
$\overrightarrow{AM} =\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CN} =\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}$.


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0.,-1.)(6.,6.)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0.,-1.)(6.,6.)
\pspolygon(2.62,5.2)(1.3,0.94)(5.5,-0.56)
\psline(2.62,5.2)(1.3,0.94)
\psline(1.3,0.94)(5.5,-0.56)
\psline(5.5,-0.56)(2.62,5.2)
\psline{->}(1.63,2.005)(4.78,0.88)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.62,5.2)
\rput[bl](2.7,5.4){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.3,0.94)
\uput[dl](1.3,0.94){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.5,-0.56)
\rput[bl](5.58,-0.36){\blue{$C$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.63,2.005)
\rput[bl](1.72,2.12){\darkgray{$M$}}
\psdots[dotsize=3pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](4.78,0.88)
\rput[bl](4.86,1.){\darkgray{$N$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}
\item 
\begin{enumerate}

\item %Exprimer $\overrightarrow{AN}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$


\item %Exprimer $\overrightarrow{MN}$ en fonction  de $\overrightarrow{BC}$. (utiliser la relation de Chasles)
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}\\
=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\\
=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{3}\overrightarrow{BC}}}$

%Quelle propriété géométrique retrouve t-on ?
Les deux vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{BC}$ donc donc colinéaires : $(MN)$ est donc parallèle à $(BC)$ et $MN=\dfrac{3}{4}BC$ ; on retouve la réciproque du théorème de Thalès.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  
