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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle}}\end{center}

\textbf{Remarque} : les deux premiers exercices ont été faits en classe ; j'ai simplement décalé les abscisses et ordonnées d'une unité !

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Une fonction $f$ définie sur [-4~;~8] admet le tableau de variation ci-dessous :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&-2&&2&&3&&8\\
\hline
\m{f(x)}&2&\c&\h{5}&\d&-1&\c&\h{1}&\d&-3\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Sur quel intervalle varie $f(x)$ si $x$ varie de 2 à 3 ?
Si $x$ varie de 2 à 3, $f(x)$ varie sur [-1~;~1].

\item %Sur quel intervalle varie $f(x)$ si $x$ varie de -2 à 0 ?
Erreur dans la question ; $x$ devait varier entre -2 et 2 et non 0.

\item %Peut-on comparer les nombres suivants ? Justifier.
\begin{enumerate}
\item %$f(-3)$ et $f(-3,5)$
-3 et -3,5 appartiennent à l'intervalle

[-4~;~-2], intervalle sur lequel $f$ est croissante. $f$ conserve l'ordre donc, comme $-3>-3,5$, $\boxed{\textcolor{red}{f(-3)>f(-3,5)}}$.

\item %$f(4)$ et $f(6)$
4 et 6 appartiennent à l'intervalle [3~;~8], intervalle sur lequel $f$ est décroissante. $f$ renverse l'ordre donc, comme $4<6$, $\boxed{\textcolor{red}{f(4)>f(6)}}$.

\item %$f\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)$ et $f(0,5)$
$\dfrac{\sqrt{5}}{2}\approx 1,118$ donc $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et 0,5 appartiennent à [-2~;~2], intervalle sur lequel $f$ est décroissante ; $f$ renverse l'ordre.

$\dfrac{\sqrt{5}}{2}>0,5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(0,5)<f\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)}}$

\item %Combien le réel 2 a-t-il d'antécédents ?
2 a deux antécédents (un égal  -4 et l'autre dans l'intervalle [-2~;~2] ).

\item question supprimée

\item %Combien le réel -1,5 a-t-il d'antécédents ?
-1,5 a un seul antécédent, dans l'intervalle $[3~;~8]$.

\item %Combien le réel 6 a-t-il d'antécédents ?
6 n'a pas d'antécédent, puisque le maximum de $f$ est 5
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
Soit le tableau d'une variation d'une fonction $f$ définie sur $[-2~;~2]$.

\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&-1&&0&&2\\
\hline
\m{f(x)}&-1&\c&\h{2}&\d&-6&\c&\h{0}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Lire $f(-2)$, $f(-1)$, $f(0)$ et $f(2)$.
$\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=-1}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=2}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(0)=-6}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$.

\item %Quel est le maximum de $f$ sur $[-2~;~2]$ ?
Le maximum de $f$ sur $[-2~;~2]$ est 2.

%Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
Il est atteint pour $x=-1$.

\item %Quel est le minimum de $f$ sur $[-2~;~2]$ ?
Le minimum de $f$ sur $[-2~;~2]$ est -6, atteint pour $x=0$
%
%Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?

\item %Pour $x\in[-1~;~0]$, encadrer $f(x)$.
Pour $x\in[-1~;~0]$, encadrer $f(x)$, $\boxed{\textcolor{red}{-6\leqslant f(x)\leqslant 2}}$.

\item %Donner un encadrement de $f(x)$ sur $[-2~;~2]$.
Sur $[-2~;~2]$, $\boxed{\textcolor{red}{-6\leqslant f(x)\leqslant 2}}$

\item %Encadrer les nombres suivants : 
%
%$f(-1,5)$, $f(-0,5)$ et $f(1)$.
D'après le tableau :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{-1\leqslant f(-1,5)\leqslant 2}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{-6\leqslant f(-0,5)\leqslant 2}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{-6\leqslant f(1)\leqslant 0}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}
Voici le tableau de variation d'une fonction $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-1&&2&&4\\
\filet
\m{f(x)}&0&\c&\h{1}&\d&-1&\c&\h{2}\\
\filet
\end{variations}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle définie ?
$f$ est définie sur l'intervalle [-5~;~4].

\item %Quelle est l'image de -5 ? de 2 ?
L'image de -5 est $f(-5)=0$.

L'image de 2 est $f(2)=-1$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %Combien le nombre 1 a-t-il d'antécédents ?
1 a deux antécédents : -1 et l'autre entre 2 et 4.

\item %3 a -t-il un antécédent ?
3 n'a pas d'antécédent puisque le maximum de $f$ est 2.

\item %L'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ a-t-elle des solutions ? Si oui, combien ?
L'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ a trois solutions, une entre -5 et -1, une entre -1 et 2 et l'autre entre 2 et 4.

\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Peut-on comparer $f(-4)$ et $f(-2)$ ?
-4 et -2 appartiennent à l'intervalle [-5~;~-1], intervalle sur lequel $f$  est croissante.

$f$ conserve l'ordre ; 

$-4<-2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-4)<f(-2)}}$.

\item %Peut-on comparer $f(-2)$ et $f(1)$ ?
Sur l'intervalle [-2~;~1], $f$ n'est pas monotone, donc on ne peut pas comparer $f(-2)$ et $f(1)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item %Construire le tableau de variation de la fonction $f$ sachant que : 
On sait que :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est définie sur $[-3~;~5]$

\item $f$ est croissante sur sur $[-3~;~-1]$, décroissante sur $[-1~;~1]$ et croissante sur $[1~;~5]$.

\item l'image de -1 est 2

\item le minimum de $f$ sur $[-3~;~5]$ est -3

\item le maximum de $f$ sur $[-3~;~5]$ est 4

\item $f(-3)=-1$
\end{enumerate}
Voilà le tableau de variation de $f$ :

\begin{variations}
x&-3&&-1&&1&&5\\
\hline
\m{f(x)}&-1&\c&\h{2}&\d&-3&\c&\h{4}\\
\hline
\end{variations}

\item  
Courbe possible :
\begin{center}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-4,-4)(6,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-4,-4)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-4,-4)(6,5)
\uput[dl](0,0){$O$}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=2pt](-3,-1)(-1,2)(1,-3)(5,4)
\psdots[dotstyle=x,dotscale=2](-3,-1)(-1,2)(1,-3)(5,4)
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  