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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur développements, factorisation, tableaux de signes}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Développer les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A(x)=~$]
\item $(3x+4)^2=(3x)^2+2\times 3x\times 4+4^2\\
=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{9x^2+24x+16}}}$\\
(on a appliqué l'identité remarquable \\
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$)

\item $(7x+5)(7x-5)=(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\
=(7x)^2-5^2=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{49x^2-25}}}$ avec $a=7x$ et $b=5$.

\item $(2x+7)(7x-4)=2x\times 7x-4\times 2x+7\times 7x-7\times 4\\
=14x^2-8x+49x-28=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{14x^2+41x-28}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Factoriser les expresions suivantes :

\begin{enumerate}[$A(x)=~$]
\item $\textcolor{red}{\mathbf{(2x+3)}}(7x-1)-\textcolor{red}{\mathbf{(2x+3)}}(3x-7)\\
=\textcolor{red}{\mathbf{(2x+3)}}[(7x-1)-(3x-7)]\\
=(2x+3)(7x-1-3x+7)=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{(2x+3)(4x+6)}}}$

On peut améliorer la factorisation :

$A(x)=(2x+3)\times 2(2x+3)=2(2x+3)(2x+3)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{2(2x+3)^2}}}$

\item $(7x+5)^2-(2x-3)^2=A^2-B^2\\
=(A+B)(A-B)\text{ avec }A=(7x+5)\\
\text{ et }B=(2x-3)\\
=[(7x+5)+(2x-3)][(7x+5)-(2x-3)]\\
=(7x+5+2x-3)(7x+5-2x+3)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{(9x+2)(5x+8)}}}$
\end{enumerate}-

\subsection{}
Résoudre les équation suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $(3x+7)(2x+3)=0$

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

\columnbreak

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Premier cas}} : $3x+7=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{7}{3}$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième cas}} : $2x+3=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{7}{3}~;~\dfrac{3}2{}\right\}}}}$.

\item $(3x+2)^2=(5x-3)^2\Leftrightarrow (3x+2)^2-(5x-3)^2=0\\
\Leftrightarrow [(3x+2]+(5x-3)][(3x+2]-(5x-3)]=0\\
\Leftrightarrow (8x-1)(-2x+5)=0$.

On applique le même théorème que précédemment :

On obtient deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{1}{8}~;~\dfrac{5}{2}\right]}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Étudier le signe de $(3x+5)(7x-1)$

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textcolor{blue}{\textbf{Signe de }$\mathbf{3x+5}$} :

$3x+5=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{3}$.

$3x+5>0\Leftrightarrow 3x>-5\Leftrightarrow x>-\dfrac{5}{3}$

\item \textcolor{blue}{\textbf{Signe de }$\mathbf{7x-1}$}.

$7x-10\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{7}$.

$7x-1>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{7}$
\end{enumerate}

On peut aussi utiliser le fait que nous avons deux expressions de fonctions affines croissantes, donc dabord négatives puis positives.

On en déduit le tableau de signes :

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{5}{3}&&\dfrac{1}{7}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }3x+5&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }7x-1&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }(x+5)(7x-1)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

Par conséquent, $(x+5)(7x-1)$ est positif sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{5}{3}\right]\cup\left[\dfrac{1}{7}~;~+\infty\right[$ et négatif sur $\left[-\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{1}{7}\right]$.


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  