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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde : TD probabilités (2)}}\end{center}



%\begin{multicols}{2}
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\subsection{}
 Soit $S$ et $T$ deux événements tels que:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
 \item $p(S)=0,5$
 
 \item $p(T)=0,6$
 
 \item $p(S\cup T)=0,9$
\end{enumerate}
 
% Calculer les probabilités suivantes:
 
 \begin{enumerate}
 \item On a vu en cours que $p(S\cup T)=p(S)+p(T)-p(T\cap S)$.
 
 On en déduit : $p(S\cap T)=p(S)+p(T)-p(S\cup T)=0,5+0,6-0,9=0,2$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(S\cap T)=0,2}}$
 
 \item $p\left(\overline{S\cup T}\right)=1-p\left(S\cup T\right)=1-0,9=0,1$ : $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{S\cup T}\right)=0,1}}$
 
 \item $p\left(\overline{S\cap T}\right)=1-p\left(S\cap T\right)=1-0,2=0,8$ : $\boxed{\textcolor{red}{p\left(\overline{S\cap T}\right)=0,2}}$
 \end{enumerate}

\subsection{}
 $A$ et $B$ sont deux événements tels que:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
 \item $p(A)=0,8$ \item $p(B)=0,53$
 \end{enumerate}

  \begin{enumerate}
  \item %$A$ et $B$ sont-ils incompatibles?
  Si $A$ et $B$ sont incompatibles, c'est-à-dire  $A\cap B=\emptyset$, alors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)=0,8+0,53=1,33$ ; c'est \textbf{\textcolor{red}{impossible}} puisque la probabilité d'un événement est comprise entre 0 et 1.

 $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles.
  
  \item On sait que $p(A\cup B)=0,95$, calculer :
  \begin{enumerate} 
  \item $p(A\cup B)=pA)+p(B)-p(A\cup B)\Leftrightarrow p(A\cap B)=pA)+p(B)-p(A\cup B)=0,8+0,53-0,95=0,38$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(A\cap B)==0,38}}$
  
  \item on peut séparer les éléments de A en deux parties : ceux qui appartiennent à B et ceux qui n'appartiennent pas à B.
  
  $A=(A\cap B)\cup \left(A\cup\overline{B}\right)$, réunion d'événements \textbf{incompatibles} (un élément ne peut pas appartenir à la fois à B et à l'événement contraire de B).
  
  On en déduit que $p(A)=p(A\cap B)+p\left(A\cap \overline{B}\right)$ donc 
  $p\left( A \cap \overline{B}\right)=p(A)-p(A\cap B)=0,8-0,38=0,42$  : $\boxed{\textcolor{red}{p\left( A \cap \overline{B}\right)=0,42}}$
  \end{enumerate}
    \end{enumerate}

\newpage


\subsection{}
Un groupe de 4 amis, Émile, Flore, Gaston et Hélène sont dans un bateau. Ils tirent au sort celui qui va ramer et, parmi les noms restants, celui qui va écoper.
\begin{enumerate}
\item %Représenter cette situation par un arbre.
On choisit d'abord l'ami qui va ramer puis celui qui va écoper (retirer l'eau qui rentre dans le bateau).
\begin{center}


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\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$Émile$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Flore$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$Gaston$}\taput{ $$}
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}
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}
\pstree
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\Tdot~[tnpos=r]{$Émile$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$Flore$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$Gaston$}\tbput{ $$}
}
}

\item Déterminer les probabilités suivantes.
L'univers est constitué des douze couples possibles.

Les amis comportent deux garçons (Émile et Gaston) et deux filles (Flore et Hélène) 
\begin{enumerate}
\item %C'est un garçon qui rame.
Il y a 6 couples possibles avec un garçon qui rame.

$\boxed{\textcolor{red}{p(\og{}\text{C'est un garçon qui rame}\fg{})=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}}}$

\item il y a trois couples avec Hélène qui écope (cela revient à prendre l'un des trois autres amis à la rame).

$\boxed{\textcolor{red}{p\left(\og{}\text{Hélène écope}\fg{}\right)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}}}$.

\item %Les deux qui travaillent sont de même sexe.
Quatre couples sont constitués d'amis de même sexe.

$\boxed{\textcolor{red}{p\left(\og{}\text{Les deux qui travaillent sont de même sexe}\fg{}\right)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}  
 


\subsection{}
Un univers associé à une expérience aléatoire est constitué de trois issues.

La loi de probabilité vérifie $p(A)=t^2$, $p(B)=t$ et $p(C)=\dfrac{1}{4}$.

Déterminer $t$.

La somme des probabilités des tris issues doit être égale à 1, donc $t^2+t+\dfrac{1}{4}=1$.

Cela s'écrit : $\dfrac{4t^2+4t+1}{4}=1\Leftrightarrow 4t^2+t+1=4\Leftrightarrow (2t)^2+2\times 2t\times 1+1^2=4\\
\Leftrightarrow (2t+1)^2=4\Leftrightarrow (2t+1)^2-2^2=0\Leftrightarrow [(2t+1)+2][(2t+1)-2]=0\Leftrightarrow (2t+3)(2t-1)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2t+3=0\Leftrightarrow t=-\dfrac{3}{2}$ qui est impossible car $t$ est la probabiité de B, donc un nombre compris entre 0 et 1.

\item $2t-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}$

\item Conclusion : $\boxed{\textcolor{red}{t=\dfrac{1}{2}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}


Une entreprise fabrique des ordinateurs portables. Ils peuvent présenter deux défauts:
\begin{itemize}
\item un défaut de clavier;
\item un défaut d'écran.
\end{itemize}
 Sur un grand nombre d'ordinateurs, une étude statistique montre que:
\begin{itemize}
\item 2\:\% présentent un défaut d'écran ;

\item 2,4\:\% présentent un défaut de clavier ;

\item 1,5\:\% présentent les deux défauts.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un ordinateur et on considère les événements suivants.

\begin {itemize}
\item $E$: \og L'ordinateur présente un défaut d'écran \fg{};

\item $C$: \og L'ordinateur présente un défaut de clavier \fg{}.

\end{itemize}

%Déterminer $p(E)$, $p(C)$ et $p(E \cap C)$.
D'après l'énoncé, on a : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(E)=2\:\%=\dfrac{2}{100}=0,02$

\item $p(C)=2,4\:\%=\dfrac{2,4}{100}=0,024$

\item $p(E\cap C)=1,5\:\%=\dfrac{1,5}{100}=0,015$
\end{enumerate}

\item (a) et (b) :

\begin{itemize}
\item $p\left(\text{\og L'ordinateur présente au moins un défaut \fg{}}\right)=p(E\cup C)=p(E)+p(C)-p(E\cap C)\\
=0,02+0,024-0,015=\boxed{\textcolor{red}{0,029}}$

\item $p\left(\og{}\text{\og L'ordinateur ne présente que le défaut de d'écran \fg{}}\fg{}\right)=p\left(E\cap\overline{C}\right)\\
=p(E)-p(E\cap C)=0,02-0,015=\boxed{\textcolor{red}{0,005}}$

\end{itemize}
\end{enumerate}


%\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  