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\textwidth 19cm \textheight 25.5cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2nde devoir sur feuille \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{}
Dans un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points $A(3~;~2)$, $B(-1~;~-2)$, et $C(5~;~0)
$.

\begin{enumerate}
\item %Faire une figure qui sera complétée au fur et à mesure. (On pourra prendre un grand carreau pour unité ou un cm.) 
Voir en fin d'exercice

\item %Calculer les coordonnées du point $M$, milieu de $[BC]$, puis placer $M$ sur la figure.
Soit $M$ le mieux de $[BC]$ ; $x_M=\dfrac{x_B+x_C}{2}=2$ \\
et $y_M=\dfrac{y_B+Y_C}{2}=-1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M(2~;~-1)}}$.

\item %Calculer $AB^2$ et en déduire la longueur $AB$ en détaillant les calculs.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4\\-4\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{(-4)^2+(-4)^2}=\sqrt{32}\\
=\sqrt{16\times 2}=4\sqrt{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{32}=4\sqrt{2}}}$.

\item %Calculer ensuite les valeurs exactes de $AC^2$ puis AC, et de $BC^2$ puis $BC$.
De même : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}\\
=2\sqrt{10}$.
\end{enumerate}

$\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{8}=2\sqrt{2}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{BC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}}}$.

\item %En déduire la nature du triangle $ABC$.
$BC^2=\sqrt{40}^2=40$ ;\\
$AB^2+AC^2=\sqrt{32}^2+\sqrt{8}^2=32+8=40$.

On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{BC^2=AB^2+AC^2}}$ ; d'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $ABC$ est \textbf{\textcolor{red}{rectangle}} en A.

\item %Tracer en justifiant le cercle circonscrit au triangle ABC, puis calculer la longueur de son rayon. 
Puisque le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, son cercle circonscrit a pour diamètre l'hypoténuse $[BC]$, donc pour centre $M$. Son rayon est donc $\dfrac{BC}{2}=\sqrt{10}$.

\item %Déterminer par le calcul les coordonnées du point $D$, tel que $M$ est le milieu de $[AD]$. Placer $D$ sur la figure.
$M$ est le milieu de $[AD]$ donc $x_M=\dfrac{x_A+x_D}{2}$ d'où $x_D=2x_M-x_A$ et de même $y_M=2y_D-y_A$.

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{D(1~;~-4)}}$.

\item  %Donner en justifiant la nature précise du quadrilatère $ABDC$.
$M$ est le milieu des deux diagonales du quadrilatère $ABDC$ donc c'est un parallélogramme ; celui a un angle droit en A, donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-5.)(6.,3.)
\multips(0,-5)(0,1.0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-2.,0)(6.,0)}
\multips(-2,0)(1.0,0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-5.)(0,3.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-5.)(6.,3.)
\pspolygon[linewidth=2.pt,fillcolor=red!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.,2.)(-1.,-2.)(1.,-4.)(5.,0.)
\pspolygon[linewidth=2.pt,fillcolor=blue!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](3.,2.)(-1.,-2.)(5.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](3.,2.)(-1.,-2.)
\psline[linewidth=2.pt](-1.,-2.)(5.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](5.,0.)(3.,2.)
\pscircle[linewidth=2.pt](2.,-1.){3.1622776601683795}
\psline[linewidth=2.pt](3.,2.)(-1.,-2.)
\psline[linewidth=2.pt](-1.,-2.)(1.,-4.)
\psline[linewidth=2.pt](1.,-4.)(5.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](5.,0.)(3.,2.)
\psdots[dotstyle=*](3.,2.)
\rput[bl](3.08,2.2){{$A$}}
\psdots[dotstyle=*](-1.,-2.)
\rput[bl](-1.16,-2.46){{$B$}}
\psdots[dotstyle=*](5.,0.)
\rput[bl](5.08,0.2){{$C$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](2.,-1.)
\rput[bl](2.08,-0.84){\darkgray{$M$}}
\psdots[dotstyle=*](1.,-4.)
\rput[bl](0.94,-4.44){{$D$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsection{}
%Résoudre l'équation (après avoir trouvé l'ensemble de définition) 
Soit l'équation $(E) : \dfrac{2}{3x-1}-\dfrac{3x}{3x+1}=\dfrac{4}{9x^2-1}-1$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Ensemble de définition : 
$3x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$

$3x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}$

$9x^2-1=0\Leftrightarrow (3x+1)(3x-1)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{3}\text{ ou }x=\dfrac{1}{3}$

L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right\}$

\item Pour $x\in\mathscr{D}$, $(E)\Leftrightarrow \dfrac{2}{3x-1}-\dfrac{3x}{3x+1}-\dfrac{4}{9x^2-1}+1=0\\
\Leftrightarrow \dfrac{2(3x+1)-3x(3x-1)-4+(3x-1)(3x+1)}{(3x+1)(3x-1)}=0\\
\Leftrightarrow \dfrac{9x-3}{(3x+1)(3x-1)}=0\Leftrightarrow 9x-3=0\Leftrightarrow 3(3x-1)=0\\
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\notin\mathscr{D}$ puisque $\dfrac{1}{3}$ est une valeur interdite.	

\item L'équation n'a donc pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
%Résoudre l'inéquation (après avoir trouvé l'ensemble de définition) 
Soit l'inéquation $(I)~\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x+1}\geqslant 0$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1~;~0\}$

\item Pour $x\in\mathscr{D}$ : $(I)\Leftrightarrow \dfrac{2(x+1)}{x}+\dfrac{3x}{x(x+1)}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{5x+2}{x(x+1)}\geqslant 0$.

\item $5x+2=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{5}$ et $5x+2>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{2}{5}$.

\item $x+1>0\Leftrightarrow x>-1$

\item On renseigne alors un tableau de signes :

\begin{variations}
x&\mI&&-1&&-\dfrac{2}{5}&&0&&\pI\\
\hline
5x+2&&-&\bb&-&\z&+&\bb&+&\\
\hline
x&&-&\bb&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
x+1&&-&\bb&+&\l&+&\bb&+&\\
\hline
\dfrac{5x+2}{x(x+1)}&&-&\bb&+&\z&-&\bb&+&\\
\hline
\end{variations}

\item L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{\mathscr{S}=\left]-1~;~-\dfrac{2}{5}\right]\cup]0~;~+\infty[}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un récipient de forme cylindrique, de rayon 4 cm, on verse de l'eau jusqu'à une hauteur de 3,75 cm. Puis, on ajoute une bille dans le récipient. Le liquide recouvre alors la bille \textbf{exactement}.

\psset{unit=0.6,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.,-1.)(9.,6.)
\multips(0,-1)(0,1.0){8}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-1.,0)(9.,0)}
\multips(-1,0)(1.0,0){11}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-1.)(0,6.)}
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(8.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(0.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](8.,0.)(8.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,3.75)(8.,3.75)
\psframe[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid](0,0)(8,3.75)
\uput[d](4,0){8 cm}
\uput[l](-0.5,2){3.75 cm}
\end{pspicture*}

\noindent \newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4.3,-0.8)(16.9,6.3)
\multips(0,-6)(0,1.0){13}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(-4.3,0)(16.9,0)}
\multips(-4,0)(1.0,0){22}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-6.62)(0,6.3)}
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(8.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,0.)(0.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](8.,0.)(8.,5.)
\psline[linewidth=2.pt](0.,4.4)(8.,4.4)
\psframe[fillcolor=cyan!40,fillstyle=solid](0,0)(8,4.4)
\pscircle[fillcolor=red!70,fillstyle=solid,linewidth=2.pt](4.,2.2){2.2}
%\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](3.88,-4.64)(6.08,-4.24)
%\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](6.08,-4.24)(4.22,-3.72)
%\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](4.22,-3.72)(3.88,-4.64)
\uput[d](4,0){8 cm}
\psline(4,2.2)(4,4.4)
\uput[r](4,3.3){R}
\end{pspicture*}

On veut trouver les rayons possibles de la boule. Pour cela :

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $r$ est solution de l'équation $r^3-24r+45=0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le volume d'eau est $V_1=\pi\times 4^2\times 3,75=60\pi$.

\item Le volume de la boule est $V_2=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

\item Le volume occupé par l'eau et la boule est $V=\pi\times 4^2\times (2r)$ car la hauteur du cylindre occupé par l'eau et la boule est le diamètre de la boule.

\item On a $V=V_1+V_2\Leftrightarrow 32\pi r=\dfrac{4}{3}\pi r^3+60\pi\Leftrightarrow \\
96\pi r=4\pi r^3+180\pi\Leftrightarrow r^3-24r+45=0$ en regroupant tout ensemble et en simplifiant par $4\pi$.
\end{enumerate}

\item %Vérifier que $r^3-24r+45=(r-3)\left(r^2+3r-15\right)$.
$(r-3)\left(r^2+3r-15\right)=r^3+3r^2-15r-3r^2-9r+45=r^3-24r+45$ donc $\boxed{\textcolor{red}{r^3-24r+45=(r-3)\left(r^2+3r-15\right)}}$

\item %Montrer que $r^2+3r-15=\left(r+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{69}{4}$.
$\left(r+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{69}{4}=r^2+2\times r\times \dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}-\dfrac{69}{4}=r^2+3r-15$ donc $r^2+3r-15=\left(r+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{69}{4}$.

\item %En déduire la factorisation de $r^2+3r-15$.
On en déduit : \\
$r^2+3r-15=\left(r+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{69}{4}\\
=\left[\left(r+\dfrac{3}{2}\right]-\dfrac{\sqrt{69}}{2}\right]\left[\left(r+\dfrac{3}{2}\right]+\dfrac{\sqrt{69}}{2}\right]\\
=\boxed{\textcolor{red}{\left(r+\dfrac{3-\sqrt{69}}{2}\right)\left(r+\dfrac{3+\sqrt{69}}{2}\right)}}$.

\item %En déduire les solutions de l'équation $r^3-24r+45=0$.
On en déduit que $r^3-24r+45=0$ équivaut à \\
$(r-3)\left(r+\dfrac{3-\sqrt{69}}{2}\right)\left(r+\dfrac{3+\sqrt{69}}{2}\right)=0$.

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $r-3=0\Leftrightarrow r=3$

\item $r+\dfrac{3-\sqrt{69}}{2}=0\Leftrightarrow r=\dfrac{-3+\sqrt{69}}{2}\approx 2,65$

\item $r+\dfrac{3+\sqrt{69}}{2}=0\Leftrightarrow r=\dfrac{-3-\sqrt{69}}{2}<0$
\end{enumerate}


\item %Quels sont les rayons possibles pour la boule ?
Le rayon de la boule doit être positif et inférieur ou égal au rayon du cylindre.

Les deux rayons possibles pour la boule sont \\
$r=\dfrac{-3+\sqrt{69}}{2}$ et $r=3$.
\end{enumerate}




\subsection{}
Soit $ABC$ un triangle quelconque. on considère les points $I$, $J$ et $K$ tels que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AJ}=3\overrightarrow{AC}$.

Figure : 
\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1.}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.,-5.)(15.,3.)
\multips(0,-5)(0,1.0){9}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0.,0)(15.,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){16}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=lightgray]{c-c}(0,-5.)(0,3.)}
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-2.,-5.)(15.,3.)
%\psgrid[subgriddiv=1](-2,-5.)(15.,3.)
\pspolygon[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq,fillcolor=blue!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](2.,2.)(1.,-1.)(6.,0.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](2.,2.)(1.,-1.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](1.,-1.)(6.,0.)
\psline[linewidth=2.pt,linecolor=zzttqq](6.,0.)(2.,2.)
\psline[linewidth=2.pt](1.6666666666666667,1.)(6.,0.)
\psline[linewidth=2.pt](1.,-1.)(14.,-4.)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2.,2.)
\rput[bl](1.636389454876077,2.17318441758932){\ududff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.,-1.)
\uput[d](1.,-1.){\ududff{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](6.,0.)
\rput[bl](6.082257501285445,0.18473710569315027){\ududff{$C$}}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](1.6666666666666667,1.)
\uput[l](1.6666666666666667,1.){$I$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](14.,-4.)
\rput[bl](14.0735646226795,-3.848434328813232){\darkgray{$J$}}
\end{pspicture*}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $\overrightarrow{BJ}$ à l'aide des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AJ}$ en précisant la relation utilisée.
$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}$ d'après la relation de Chasles.

\item %En déduire $\overrightarrow{BJ}$ en fonction de $\overrightarrow{IC}$.
On en déduit : \\
$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}=-3\overrightarrow{AI}+3\overrightarrow{AC}=3\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}\right)\\
=3\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{IA}\right)=3\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}\right)=3\overrightarrow{IC}$.\\
(car $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AI}$ donc $\overrightarrow{BA}=-3\overrightarrow{AI}$)

\item %Que peut-on en déduire pour les droites $(BJ)$ et $(IC)$ ?
Puisque $\overrightarrow{BJ}=3\overrightarrow{IC}$, les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{IC}$ sont colinéaires, donc les droites $(BJ)$ et $(IC)$ sont parallèles. (et $BJ=3IC$).
\end{enumerate}




\end{multicols}

\subsection{}
Lors d’un recensement de population, on a relevé le nombre d’enfants par famille dans un village de la région.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Nombre d’enfants par famille&0&1&2&3&4&5&6&7&8\\
\hline
Effectifs&105&139&97&63&47&33&10&4&2\\
\hline
E.C.C.&105&244&341&404&451&484&494&498&500\\
\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item %Donner le nombre moyen d’enfants par famille dans ce village.
Le nombre moyen d’enfants par famille est : 

$\dfrac{(0\times 105)+(1\times 139)+\cdots+8\times 2}{500}=\dfrac{979}{500}\approx \boxed{\textcolor{red}{1,958}}$.

\item %Donner la valeur du premier quartile $Q_1$ de la série ainsi que le troisième quartile $Q_3$.
L'effectif total est $N=500$ ; $\dfrac{N}{4}=125$ ; $\dfrac{3N}{4}=375$

Le premier quartile est $Q_1=x_{125}=1$ (125\ieme{} valeur)

Le troisième quartile est $Q_3=x_{375}=3$ (375\ieme{} valeur)

%Interpréter concrètement la valeur donnée.
$25\:\%$ des familles ont moins de 1 enfant et 75\:\% des familles ont moins de 3 enfants.

\item %Calculer le pourcentage des familles de ce village ayant au moins 5 enfants.
Le nombre de familles ayant au moins 5 enfants est 49. \\
$\dfrac{49}{500}=\dfrac{98}{1000}=\dfrac{9,8}{100}=9,8\:\%$ donc 9,8\:\% des familles ont au moins 5 enfants.

\textbf{Rappel }: la notation $x\:\%$ signifie $\dfrac{x}{100}$ donc on ne peut pas écrire $\dfrac{49}{500}\times 100=9,8\:\%$ ! \\
En effet, $\dfrac{49}{500}\times 100=9,8=\dfrac{980}{100}=980\:\%$ !
\end{enumerate}

\subsection{}
Tiphaine passe beaucoup de temps à accorder les couleurs de ses vêtements.

Elle possède par exemple quatre foulard (un noir, un bleu, un rose et un marron) et deux manteaux (un noir et un bleu).
\begin{enumerate}
\item %De combien de façons différentes Tiphaine peut-elle s'habiller ?
Le plus simple est de faire un arbre.
On note FN, Fb, Fr et Fm les quatre times de foulard, avec F pour foulard et l'initiale des quatre couleurs.

De même, on note Mn et Mb les deux types de manteaux.

Elle commence par choisir un foulard puis un manteau. On peut représenter la situation par l'arbre suivant :

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$Fn$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Mn$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$Mb$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$Fb$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Mn$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$Mb$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$Fr$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Mn$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$Mb$}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$Fm$}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$Mn$}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{$Mb$}\tbput{ $$}
}
}
\end{center}
Les résultats s'obtiennent en bout d'arbre ; il y a 8 façons possibles de s'habiller.

\item %De combien de façons différentes  peut-elle s'habiller avec des vêtements de couleurs différentes ?
Parmi celles-ci, il y en a 6 qui se font avec des vêtements de couleurs différentes.
\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}
Au prochain contrôle d'histoire-géographie, les élèves de la classe devront choisir parmi deux sujets : un sujet d'Histoire et un sujet de Géographie.

La moitié des élèves maîtrisent le sujet d'Histoire et les deux tiers maîtrisent le sujet de Géographie.

Seul un quart maîtrise les deux sujets.

On interroge un élève au hasard à la sortie du contrôle.

On note $H$ et $G$ les événements \og{}l'élève interrogé maîtrise le sujet d'Histoire\fg{} et \og{}l'élève interrogé maîtrise le sujet de Géographie\fg{}.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $p(H)$, $p(G)$ et $p(H\cap G)$.
D'après l'énoncé, on a :

$p(H)=\dfrac{1}{2}$ ; $p(G)=\dfrac{2}{3}$ et $p(H\cap G)=\dfrac{1}{4}$. 

\item %En déduire $p(H\cup G)$ et interpréter le résultat.
$p(H\cup G)=p(H)+p(G)-p(H\cap G)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{6+8-3}{12}=\dfrac{11}{12}$.

La probabilité qu'un élève choisi au hasard maîtrise le sujet d'Histoire ou le sujet de Géographique est $\dfrac{11}{12}$

\item %Quelle est la probabilité que l'élève interrogé ne maîtrise aucun des deux sujets ?
Ne maîtriser aucun des deux sujets est l'événement contraire de $H\cap G$, donc la probabilité que l'élève interrogé ne maîtrise aucun des deux sujets est $\dfrac{1}{12}$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  